专题11 圆-2020年中考数学真题分专题训练(江苏专版)(教师版含解析)

2020年江苏中考数学试题汇编——圆
一．选择题(共11小题)
1．(2020•无锡)正十边形的每一个外角的度数为( ) A ．36︒
B ．30︒
C ．144︒
D ．150︒
【解答】正十边形的每一个外角都相等，因此每一个外角为：3601036︒÷=︒，故选：A ． 2．(2020•苏州)如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，2OA =，过AB 的中点C 作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为( )
A ．1π-
B ．
12
π
- C ．12
π-
D ．
12
2
π
-
【解答】CD OA ⊥，CE OB ⊥， 90CDO CEO AOB ∴∠=∠=∠=︒，
∴四边形CDOE 是矩形，
连接OC ，
点C 是AB 的中点， AOC BOC ∴∠=∠， OC OC =，
()COD COE AAS ∴∆≅∆， OD OE ∴=，
∴矩形CDOE 是正方形，
2OC OA ==，
1OE ∴=，
∴图中阴影部分的面积9021113602
ππ
⨯=
-⨯=-， 故选：B ．
3．(2020•南京)如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，P 与x 轴、y 轴都相切，且经过矩形AOBC 的顶点C ，与BC 相交于点D ．若P 的半径为5，点A 的坐标是(0,8)．则点D 的坐标是( ) A ．(9,2)
B ．(9,3)
C ．(10,2)
D ．(10,3)
【解答】设O 与x 、y 轴相切的切点分别是F 、E 点，连接PE 、PF 、PD ，延长EP 与CD 交于点G ， 则PE y ⊥轴，PF x ⊥轴， 90EOF ∠=︒，
∴四边形PEOF 是矩形，
PE PF =，//PE OF ，
∴四边形PEOF 为正方形，
5OE PF PE OF ∴====，
(0,8)A ， 8OA ∴=， 853AE ∴=-=，
四边形OACB 为矩形，
8BC OA ∴==，//BC OA ，//AC OB ， //EG AC ∴，
∴四边形AEGC 为平行四边形，四边形OEGB 为平行四边形，
3CG AE ∴==，EG OB =， PE AO ⊥，//AO CB ， PG CD ∴⊥， 26CD CG ∴==，
862DB BC CD ∴=-=-=， 5PD =，3DG CG ==， 4PG ∴=，
549OB EG ∴==+=，
(9,2)D ∴．
故选：A ．
4．(2020•泰州)如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 为AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ．若CDE ∠为36︒，则图中阴影部分的面积为( )
A ．10π
B ．9π
C ．8π
D ．6π
【解答】连接OC ，
90AOB ∠=︒，CD OA ⊥，CE OB ⊥，
∴四边形CDOE 是矩形，
//CD OE ∴，
36DEO CDE ∴∠=∠=︒，
由矩形CDOE 易得到DOE CEO ∆≅∆， 36COB DEO ∴∠=∠=︒
∴图中阴影部分的面积=扇形OBC 的面积，
2361010360
OBC
S ππ⋅⨯==扇形
∴图中阴影部分的面积10π=，
故选：A ．
5．(2020•扬州)如图，小明从点A 出发沿直线前进10米到达点B ，向左转45︒后又沿直线前进10米到达点C ，再向左转45︒后沿直线前进10米到达点D ⋯照这样走下去，小明第一次回到出发点A 时所走的路程为( )
A ．100米
B ．80米
C ．60米
D ．40米
【解答】小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，
∴他走过的图形是正多边形， ∴边数360458n =︒÷︒=，
∴他第一次回到出发点A 时，一共走了81080()m ⨯=．
故选：B ．
6．(2020•扬州)如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以
AB 为直径的圆经过点C 、D ，则sin ADC ∠的值为( )
A ．
213
B ．
313
C ．
23
D ．
32
【解答】如图，连接BC ．
ADC ∠和ABC ∠所对的弧长都是AC ，
∴根据圆周角定理知，ADC ABC ∠=∠．
在Rt ACB ∆中，根据锐角三角函数的定义知，
sin AC
ABC AB
∠=
， 2AC =，3BC =，
2213AB AC BC ∴=+=， 213
sin 13ABC ∴∠=
=， 213
sin ADC ∴∠=
． 故选：A ．
7．(2020•连云港)10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A 、B 、C 、D 、E 、O 均是正六边形的顶点．则点O 是下列哪个三角形的外心( )
A ．AED ∆
B ．ABD ∆
C ．BC
D ∆
D ．ACD ∆
【解答】三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
∴从O 点出发，确定点O 分别到A ，B ，C ，D ，E 的距离，只有OA OC OD ==， ∴点O 是ACD ∆的外心，
故选：D ．
8．(2020•徐州)如图，AB 是O 的弦，点C 在过点B 的切线上，OC OA ⊥，OC 交AB 于点P ．若70BPC ∠=︒，则ABC ∠的度数等于( ) A ．75︒
B ．70︒
C ．65︒
D ．60︒
【解答】OC OA ⊥， 90AOC ∴∠=︒， 70APO BPC ∠=∠=︒， 907020A ∴∠=︒-︒=︒， OA OB =， 20OBA A ∴∠=∠=︒， BC 为O 的切线，
OB BC ∴⊥， 90OBC ∴∠=︒，
902070ABC ∴∠=︒-︒=︒．
故选：B ．
9．(2020•常州)如图，AB 是O 的弦，点C 是优弧AB 上的动点(C 不与A 、B 重合)，CH AB ⊥，垂足为H ，点M 是BC 的中点．若O 的半径是3，则MH 长的最大值是(
) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【解答】CH AB ⊥，垂足为H ， 90CHB ∴∠=︒，
点M 是BC 的中点． 1
2
MH BC ∴=
， BC 的最大值是直径的长，O 的半径是3，
MH ∴的最大值为3，
故选：A ．
10．(2020•淮安)如图，点A 、B 、C 在O 上，54ACB ∠=︒，则ABO ∠的度数是( ) A ．54︒
B ．27︒
C ．36︒
D ．108︒
【解答】54ACB ∠=︒，
∴圆心角2108AOB ACB ∠=∠=︒，
OB OA =，
1
(180)362
ABO BAO AOB ∴∠=∠=⨯︒-∠=︒，
故选：C ．
11．(2020•镇江)如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，106ADC ∠=︒，则CAB ∠等于( ) A ．10︒
B ．14︒
C ．16︒
D ．26︒
【解答】连接BD ，如图，
AB 是半圆的直径，
90ADB ∴∠=︒，
1069016BDC ADC ADB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
16CAB BDC ∴∠=∠=︒．
故选：C ．
二．填空题(共14小题)
12．(2020•无锡)已知圆锥的底面半径为1cm ，高为3cm ，则它的侧面展开图的面积为= 2π 2cm ．
【解答】根据题意可知，圆锥的底面半径1r cm =，高3h cm =，
∴圆锥的母线222l r h =+=，
()2122S rl cm πππ∴==⨯⨯=侧．
故答案为：2π．
13．(2020•苏州)如图，已知AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连接OC 交O 于点D ，连接BD ．若40C ∠=︒，则B ∠的度数是 25 ︒． 【解答】
AC 是O 的切线，
OA AC ∴⊥， 90OAC ∴∠=︒，
90904050AOC C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， OB OD =， OBD ODB ∴∠=∠，
而AOC OBD ODB ∠=∠+∠， 1
252
OBD AOC ∴∠=∠=︒，
即ABD ∠的度数为25︒， 故答案为：25．
14．(2020•南京)如图，在边长为2cm 的正六边形ABCDEF 中，点P 在BC 上，则PEF ∆的面积为 23 2cm ．
【解答】连接BF ，BE ，过点A 作AT BF ⊥于T ABCDEF 是正六边形，
//CB EF ∴，AB AF =，120BAF ∠=︒， PEF BEF S S ∆∆∴=，
AT BE ⊥，AB AF =，
BT FT ∴=，60BAT FAT ∠=∠=︒，
sin 603BT FT AB ∴==︒=， 223BF BT ∴==，
120AFE ∠=︒，30AFB ABF ∠=∠=︒， 90BFE ∴∠=︒， 11
2232322
PEF BEF S S EF BF ∆∆∴==
=⨯⨯=， 故答案为23．
15．(2020•泰州)如图，直线a b ⊥，垂足为H ，点P 在直线b 上，4PH cm =，O 为直线b 上一动点，若以1cm 为半径的O 与直线a 相切，则OP 的长为 3cm 或5cm ． 【解答】直线a b ⊥，O 为直线b 上一动点， O ∴与直线a 相切时，切点为H ， 1OH cm ∴=，
当点O 在点H 的左侧，O 与直线a 相切时，如图1所示：
413()OP PH OH cm =-=-=；
当点O 在点H 的右侧，O 与直线a 相切时，如图2所示： 415()OP PH OH cm =+=+=；
O ∴与直线a 相切，OP 的长为3cm 或5cm ，
故答案为：3cm 或5cm ．
16．(2020•扬州)圆锥的底面半径为3，侧面积为12π，则这个圆锥的母线长为 4 ． 【解答】S rl π=侧， 312l ππ∴=，
4l ∴=．
答：这个圆锥的母线长为4． 故答案为：4．
17．(2020•扬州)如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度3b cm =，则螺帽边长a =
3 cm ．
【解答】如图，连接AC ，过点B 作BD AC ⊥于D ， 由正六边形，得
120ABC ∠=︒，AB BC a ==， 30BCD BAC ∠=∠=︒．
由3AC =，得 1.5CD =． 3cos CD BCD BC ∠=
=，即1.53
a =
， 解得3a =， 故答案为：3．
18．(2020•连云港)用一个圆心角为90︒，半径为20cm 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 5 cm ． 【解答】设这个圆锥的底面圆半径为r ， 根据题意得9020
2180
r ππ⨯=， 解得5()r cm =． 故答案为：5．
19．(2020•连云港)如图，正六边形123456A A A A A A 内部有一个正五边形12345B B B B B ，且3434//A A B B ，直线l 经过2B 、3B ，则直线l 与12A A 的夹角α= 48 ︒．
【解答】设l 交12A A 于E 、交43A A 于D ，如图所示：
六边形123456A A A A A A 是正六边形，六边形的内角和(62)180720=-⨯︒=︒， 1232347201206
A A A A A A ︒
∴∠=∠=
=︒， 五边形12345B B B B B 是正五边形，五边形的内角和(52)180540=-⨯︒=︒，
2345401085
B B B ︒
∴∠=
=︒， 4318010872B B D ∴∠=︒-︒=︒，
3434//A A B B ，
34372EDA B B D ∴∠=∠=︒，
1232343360360120127248CED A A A A A A EDA α∴=∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒--︒-︒=︒，
故答案为：48．
20．(2020•连云港)如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，
点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线3
34
y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE ∆面积的最小值为 2 ．
【解答】如图，连接OB ，取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN DE ⊥于N ． AC CB =，AM OM =， 1
12
MC OB ∴==，
∴点C 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的
M ，设M 交MN 于C '．
直线3
34
y x =
-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ， (4,0)D ∴，(0,3)E -， 4OD ∴=，3OE =，
22345DE ∴=+=，
MDN ODE ∠=∠，MND DOE ∠=∠， DNM DOE ∴∆∆∽，
∴MN DM
OE DE =
， ∴
3
35
MN =， 95
MN ∴=，
当点C 与C '重合时，△C DE '的面积最小，最小值19
5(1)225
=⨯⨯-=，
故答案为2．
21．(2020•徐州)如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =．若以AC 所在直线为
轴，把ABC ∆旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 15π ．
【解答】由已知得，母线长5l =，底面圆的半径r 为3，
∴圆锥的侧面积是5315s lr πππ==⨯⨯=．
故答案为：15π．
22．(2020•徐州)如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若18ADB ∠=︒，则这个正多边形的边数为 10 ．
【解答】连接OA ，OB ，
A 、
B 、
C 、
D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，
∴点A 、B 、C 、D 在以点O 为圆心，OA 为半径的同一个圆上，
18ADB ∠=︒，
236AOB ADB ∴∠=∠=︒，
∴这个正多边形的边数3601036︒
=
=︒
， 故答案为：10．
23．(2020•盐城)如图，在O 中，点A 在BC 上，100BOC ∠=︒．则BAC ∠= 130 ︒． 【解答】如图，取O 上的一点D ，连接BD ，CD ， 则四边形ABDC 是O 的内接四边形， 180D BAC ∴∠+∠=︒． 100BOC ∠=︒， 50D ∴∠=︒，
18050130BAC ∴∠=︒-︒=︒，
故答案为：130．
24．(2020•南通)已知O 的半径为13cm ，弦AB 的长为10cm ，则圆心O 到AB 的距离为 12
cm ．
【解答】如图，作OC AB ⊥于C ，连接OA ， 则1
52
AC BC AB ==
=， 在Rt OAC ∆中，2213512OC =-=， 所以圆心O 到AB 的距离为12cm ．
故答案为12．
25．(2020•镇江)点O 是正五边形ABCDE 的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案(如图)．这个图案绕点O 至少旋转 72
︒后能与原来的图案互相重合．
【解答】连接OA ，OE ，则这个图形至少旋转AOE ∠才能与原图象重合， 360725
AOE ︒
∠=
=︒． 故答案为：72． 三．解答题(共12小题)
26．(2020•无锡)如图，DB 过O 的圆心，交O 于点A 、B ，DC 是O 的切线，点C 是切点，已知30D ∠=︒，3DC =． (1)求证：BOC BCD ∆∆∽； (2)求BCD ∆的周长． 【解答】证明：(1)DC 是O 的切线，
90OCD ∴∠=︒， 30D ∠=︒，
3090120BOC D OCD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒， OB OC =， 30B OCB ∴∠=∠=︒， 120DCB BOC ∴∠=︒=∠，
又30B D ∠=∠=︒， BOC BCD ∴∆∆∽；
(2)30D ∠=︒，3DC =，90OCD ∠=︒， 33DC OC ∴==，2DO OC =，
1OC OB ∴==，2DO =， 30B D ∠=∠=︒， 3DC BC ∴==，
BCD ∴∆的周长3321323CD BC DB =++=+++=+．
27．(2020•苏州)如图，已知90MON ∠=︒，OT 是MON ∠的平分线，A 是射线OM 上一点，8OA cm =．动点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿AO 水平向左作匀速运动，与此同时，
动点Q 从点O 出发，也以1/cm s 的速度沿ON 竖直向上作匀速运动．连接PQ ，交OT 于点B ．经过O 、P 、Q 三点作圆，交OT 于点C ，连接PC 、QC ．设运动时间为()t s ，其中08t <<． (1)求OP OQ +的值；
(2)是否存在实数t ，使得线段OB 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由． (3)求四边形OPCQ 的面积．
【解答】(1)由题意可得，8OP t =-，OQ t =， 88()OP OQ t t cm ∴+=-+=．
(2)当4t =时，线段OB 的长度最大．
如图，过点B 作BD OP ⊥，垂足为D ，则//BD OQ ． OT 平分MON ∠， 45BOD OBD ∴∠=∠=︒， BD OD ∴=，2OB BD =．
设线段BD 的长为x ，则BD OD x ==，22OB BD x ==，8PD t x =--， //BD OQ ，
∴PD BD
OP OQ =
， ∴
88t x x
t t
--=-， 2
88
t t x -∴=． 2282
2(4)2288
t t OB t -∴==--+．
当4t =时，线段OB 的长度最大，最大为22cm ． (3)90POQ ∠=︒， PQ ∴是圆的直径． 90PCQ ∴∠=︒． 45PQC POC ∠=∠=︒， PCQ ∴∆是等腰直角三角形．
211221224
PCQ S PC QC PQ PQ PQ ∆∴=
=⨯=． 在Rt POQ ∆中，22222(8)PQ OP OQ t t =+=-+．
∴四边形OPCQ 的面积211
24
POQ PCQ S S S OP OQ PQ ∆∆=+=
+， 2211
(8)[(8)]24t t t t =-+-+， 2211
41641622
t t t t =-++-=．
∴四边形OPCQ 的面积为216cm ．
28．(2020•南京)如图，在ABC ∆中，AC BC =，D 是AB 上一点，O 经过点A 、C 、D ，交BC 于点E ，过点D 作//DF BC ，交O 于点F ． 求证：(1)四边形DBCF 是平行四边形； (2)AF EF =． 【解答】证明：(1)AC BC =，
BAC B ∴∠=∠， //DF BC ，
ADF B ∴∠=∠，
BAC CFD ∠=∠， ADF CFD ∴∠=∠， //BD CF ∴， //DF BC ，
∴四边形DBCF 是平行四边形；
(2)连接AE ，
ADF B ∠=∠，ADF AEF ∠=∠， AEF B ∴∠=∠，
四边形AECF 是O 的内接四边形， 180ECF EAF ∴∠+∠=︒， //BD CF ，
180ECF B ∴∠+∠=︒，
EAF B ∴∠=∠，
AEF EAF ∴∠=∠，
AF EF ∴=．
29．(2020•泰州)如图，在O 中，点P 为AB 的中点，弦AD 、PC 互相垂直，垂足为M ，BC 分别与AD 、PD 相交于点E 、N ，连接BD 、MN ．
(1)求证：N 为BE 的中点．
(2)若O 的半径为8，AB 的度数为90︒，求线段MN 的长． 【解答】(1)证明：AD PC ⊥，
90EMC ∴∠=︒，
点P 为AB 的中点，
∴PA PB =，
ADP BCP ∴∠=∠， CEM DEN ∠=∠，
90DNE EMC DNB ∴∠=∠=︒=∠，
PA PB =，
BDP ADP ∴∠=∠，
DEN DBN ∴∠=∠，
DE DB ∴=，
EN BN ∴=， N ∴为BE 的中点；
(2)连接OA ，OB ，AB ，AC ， AB 的度数为90︒， 90AOB ∴∠=︒， 8OA OB ==， 82AB ∴=，
由(1)同理得：AM EM =， EN BN =，
MN ∴是AEB ∆的中位线， 1
422
MN AB ∴=
=．
30．(2020•扬州)如图，ABC ∆内接于O ，60B ∠=︒，点E 在直径CD 的延长线上，且AE AC =．
(1)试判断AE 与O 的位置关系，并说明理由； (2)若6AC =，求阴影部分的面积． 【解答】(1)证明：连接OA 、AD ，如图， CD 为O 的直径， 90DAC ∴∠=︒，
又60ADC B ∠=∠=︒， 30ACD ∴∠=︒，
又AE AC =，OA OD =，
ADO ∴∆为等边三角形，
30E ∴∠=︒，60ADO DAO ∠=∠=︒， 30EAD ∴∠=︒， 90EAD DAO ∴∠+∠=︒， OA AE ∴⊥，
AE ∴为O 的切线；
(2)作OF AC ⊥于F ，
由(1)可知AEO ∆为直角三角形，且30E ∠=︒， 23OA ∴=，6AE =，
∴阴影部分的面积为2
160(23)6236322ππ⨯⨯⨯-=-．
故阴影部分的面积为632π-．
31．(2020•连云港)筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋)中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m 的筒车O 按逆时针方向每分钟转
5
6
圈，筒车与水面分别交于点A 、B ，筒车的轴心O 距离水面的高度OC 长为2.2m ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间． (1)经过多长时间，盛水筒P 首次到达最高点？ (2)浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面多高？
(3)若接水槽MN 所在直线是O 的切线，且与直线AB 交于点M ，8MO m =．求盛水筒P 从
最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．
(参考数据：
11
cos43sin47
15
︒=︒≈，
11
sin16cos74
40
︒=︒≈，
3
sin22cos68)
8
︒=︒≈
【解答】(1)如图1中，连接OA．
由题意，筒车每秒旋转
5
360605
6
︒⨯÷=︒，
在Rt ACO
∆中，
2.211 cos
315
OC
AOC
OA
∠===．
43
AOC
∴∠=︒，
∴18043
27.4
5
-
=(秒)．
答：经过27.4秒时间，盛水筒P首次到达最高点．
(2)如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时 3.4517
AOP
∠=⨯︒=︒，
431760
POC AOC AOP
∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，
过点P作PD OC
⊥于D，
在Rt POD
∆中，
1
cos603 1.5()
2
OD OP m =︒=⨯=，
2.2 1.50.7()
m
-=，
答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面0.7m．(3)如图3中，
点P在O上，且MN与O相切，
∴当点P在MN上时，此时点P是切点，连接OP，则OP MN
⊥，
在Rt OPM
∆中，
3 cos
8
OP
POM
OM
∠==，
68
POM
∴∠=︒，
在Rt COM
∆中，
2.211 cos
840
OC
COM
OM
∠===，
74COM ∴∠=︒，
180180687438POH POM COM ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
∴需要的时间为
38
7.65
=(秒)， 答：盛水筒P 从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN 上．
32．(2020•连云港)(1)如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，6PF =，AEP ∆的面积为1S ，CFP ∆的面积为2S ，则12S S += 12 ；
(2)如图2，点P 为ABCD 内一点(点P 不在BD 上)，点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S (其中21)S S >，求PBD ∆的面积(用含1S 、2S 的代数式表示)；
(3)如图3，点P 为ABCD 内一点(点P 不在BD 上)，过点P 作//EF AD ，//HG AB ，与各边分别相交于点E 、F 、G 、H ．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PGCF 的面积为2S (其中21)S S >，求PBD ∆的面积(用含1S 、2S 的代数式表示)；
(4)如图4，点A 、B 、C 、D 把O 四等分．请你在圆内选一点P (点P 不在AC 、BD 上)，设PB 、PC 、BC 围成的封闭图形的面积为1S ，PA 、PD 、AD 围成的封闭图形的面积为2S ，
PBD ∆的面积为3S ，
PAC ∆的面积为4S ，根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有1S 、2S 、3S 、4S 的等式(写出一种情况即可)．
【解答】(1)如图1中，
过点P 作PM AD ⊥于M ，交BC 于N ．
四边形ABCD 是矩形，//EF BC ，
∴四边形AEPM ，四边形MPFD ，四边形BNPE ，四边形PNCF 都是矩形，
2BE PN CF ∴===，1
62PFC S PF CF ∆=⨯⨯=，AEP APM S S ∆∆=，PEB PBN S S ∆∆=，PDM PFD S S ∆∆=，
PCN PCF S S ∆∆=，ABD BCD S S ∆∆=，
AEPM PNCF S S ∴=矩形矩形， 126S S ∴==，
1212S S ∴+=，
故答案为12．
(2)如图2中，连接PA ，PC ， 在APB ∆中，点E 是AB 的中点，
∴可设APE PBE S S a ∆∆==，同理，APH PDH S S b ∆∆==，PDG PGC S S c ∆∆==，PFC PBF S S d ∆∆==，
AEPH PFCG S S a b c d ∴+=+++四边形四边形，PEBF PHDG S S a b c d +=+++四边形四边形， 12AEPH PFCG PEBF PHDG S S S S S S ∴+=+=+四边形四边形四边形四边形， 121
2
ABD ABCD S S S S ∆∴==+平行四边形，
1121121()()PBD ABD PBE PHD S S S S S S S S a S a S S ∆∆∆∆∴=-++=+-++-=-．
(3)如图3中，由题意四边形EBGP ，四边形HPFD 都是平行四边形，
2EBP EBGP S S ∆∴=四边形，2HPD HPFD S S ∆=四边形，
()()1212111
22222ABD EBP HPD EBP HPD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∴==+++=+++平行四边形，
1211
()()2
PBD ABD EBP HPD S S S S S S S ∆∆∆∆∴=-++=-．
(4)如图41-中，结论：2134S S S S -=+．
理由：设线段PB ，线段PA ，弧AB 围成的封闭图形的面积为x ，线段PC ，线段PD ，弧CD 的封闭图形的面积为y ． 由题意：1413S x S S y S ++=++，
34x y S S ∴-=-，
12142()S S x y S x S +++=++，
214342S S x y S S S ∴-=-+=+．
同法可证：图42-中，有结论：1234S S S S -=+． 图43-中和图44-中，有结论：1234||||S S S S -=-．
33．(2020•常州)如图1，I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交I 于P 、Q 两点(Q 在P 、H 之间)．我们把点P 称为I 关于直线a 的“远点“，把PQ PH 的值称为I 关于直线a 的“特征数”．
(1)如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为(0,4)．半径为1的O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．
①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则O 关于直线m 的“远点”是点 D (填“A ”．“ B ”、“ C ”或“D ” )，O 关于直线m 的“特征数”为 ；
②若直线n 的函数表达式为4y =+．求O 关于直线n 的“特征数”；
(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,4)M ，点F 是坐标平面内一点，以F 为圆心，
F ．若F 与直线1相离，点(1,0)N -是F 关于直线1的“远点”
．且F
关于直线l 的“特征数”是l 的函数表达式．
【解答】(1)①由题意，点D 是O 关于直线m 的“远点”， O 关于直线m 的特征数
2510DB DE ==⨯=，
故答案为：D ，10．
②如图11-中，过点O 作OH ⊥直线n 于H ，交O 于Q ，P ．
设直线34y x =+交x 轴于43
(F -，0)，交y 轴于(0,4)E ， 4OE ∴=，43
OF =
3
tan OF FEO OE ∴∠=
=
， 30FEO ∴∠=︒， 1
22
OH OE ∴==，
3PH OH OP ∴=+=，
O ∴关于直线n 的“特征数” 236PQ PH ==⨯=．
(2)如图2中，设直线l 的解析式为y kx b =+． 当0k >时，过点F 作FH ⊥直线l 于H ，交F 于E ，N ．
由题意，22EN =，45EN NH =， 10NH ∴=，
(1,0)N -，(1,4)M ，
222425MN ∴=+=，
22201010HM MN NH ∴=-=-=， MNH ∴∆是等腰直角三角形， MN 的中点(0,2)K ， 5KN HK KM ∴===，
(2,3)H ∴-，
把(2,3)H -，(1,4)M 代入y kx b =+，则有423k b k b +=⎧⎨-+=⎩
， 解得13113k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴直线l 的解析式为11133
y x =+， 同理可得,当0k <时，可得直线l '的解析式为37y x =-+．
综上所述，满足条件的直线l 的解析式为11133
y x =+或37y x =-+． 34．(2020•盐城)如图，O 是ABC ∆的外接圆，AB 是O 的直径，DCA B ∠=∠．
(1)求证：CD 是O 的切线；
(2)若DE AB ⊥，垂足为E ，DE 交AC 于点F ，求证：DCF ∆是等腰三角形．
【解答】证明：(1)连接OC ，
OC OA =，
OCA A ∴∠=∠，
AB 是O 的直径，
90BCA ∴∠=︒，
90A B ∴∠+∠=︒，
DCA B ∠=∠，
90OCA DCA OCD ∴∠+∠=∠=︒，
OC CD ∴⊥，
CD ∴是O 的切线；
(2)90OCA DCA ∠+∠=︒，OCA A ∠=∠，
90A DCA ∴∠+∠=︒，
DE AB ⊥，
90A EFA ∴∠+∠=︒，
DCA EFA ∴∠=∠，
EFA DFC ∠=∠，
∴∠=∠，
DCA DFC
∴∆是等腰三角形．
DCF
35．(2020•淮安)如图，AB是O的弦，C是O外一点，OC OA
⊥，CO交AB于点P，交O于点D，且CP CB
=．
(1)判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；
(2)若30
OP=，求图中阴影部分的面积．
∠=︒，1
A
【解答】(1)CB与O相切，
理由：连接OB，
=，
OA OB
∴∠=∠，
OAB OBA
=，
CP CB
∴∠=∠，
CPB CBP
∠=∠，
CPB APO
∴∠=∠，
CBP APO
在Rt AOP
∠+∠=︒，
∆中，90
A APO
∴∠+∠=︒，
90
OBA CBP
即：90
∠=︒，
OBC
∴⊥，
OB CB
又OB是半径，
∴与O相切；
CB
(2)30
A
AOP
∠=︒，
∠=︒，90
∴∠=︒，
APO
60
∴∠=∠=︒，
BPD APO
60
=，
PC CB
∴∆是等边三角形，
PBC
∴∠=∠=︒，
PCB CBP
60
∴∠=∠=︒，
30
OBP POB
OP PB PC
∴===，
1
∴=，
1
BC
223OB OC BC ∴=-=， ∴图中阴影部分的面积230(3)311324
OBC OBD S S ππ∆⋅⨯=-=⨯⨯-=-扇形． 36．(2020•南通)(1)如图①，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AD AE =，B C ∠=∠．求证：AB AC =．
(2)如图②，A 为O 上一点，按以下步骤作图：
①连接OA ；
②以点A 为圆心，AO 长为半径作
弧，交O 于点B ；
③在射线OB 上截取BC OA =；
④连接AC ．
若3AC =，求O 的半径．
【解答】(1)证明：在ABE ∆和ACD ∆中
B C
A A AE AD
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()ABE ACD AAS ∴∆≅∆，
AB AC ∴=；
(2)连接AB ，如图②，
由作法得OA OB AB BC ===，
OAB ∴∆为等边三角形，
60OAB OBA ∴∠=∠=︒，
AB BC =，
C BAC ∴∠=∠，
OBA C BAC ∠=∠+∠，
30C BAC ∴∠=∠=︒
90OAC ∴∠=︒，
在Rt OAC ∆中，3
3
33OA AC ==⨯=．
即O 的半径为3．
37．(2020•镇江)如图，ABCD 中，ABC ∠的平分线BO 交边AD 于点O ，4OD =，以点O 为圆心，OD 长为半径作O ，分别交边DA 、DC 于点M 、N ．点E 在边BC 上，OE 交O 于点G ，G 为MN 的中点．
(1)求证：四边形ABEO 为菱形；
(2)已知1cos 3ABC ∠=，连接AE ，当AE 与O 相切时，求AB 的长．
【解答】(1)证明：G 为MN 的中点，
MOG MDN ∴∠=∠．
四边形ABCD 是平行四边形．
//AO BE ∴，180MDN A ∠+∠=︒，
180MOG A ∴∠+∠=︒，
//AB OE ∴，
∴四边形ABEO 是平行四边形．
BO 平分ABE ∠，
ABO OBE ∴∠=∠，
又OBE AOB ∠=∠，
ABO AOB ∴∠=∠，
AB AO ∴=，
∴四边形ABEO 为菱形；
(2)如图，过点O 作OP BA ⊥，交BA 的延长线于点P ，过点O 作OQ BC ⊥于点Q ，设AE 交OB 于点F ，
则PAO ABC ∠=∠，
设AB AO OE x ===，则
1cos 3ABC ∠=
， 1cos 3PAO ∴∠=
， ∴13
PA AO =，
13
PA x ∴=，
OP OQ ∴= 当AE 与O 相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F 为切点，
∴由勾股定理得：2224
())83x +=，
解得：x =舍负)．
AB ∴的长为。