四川省棠湖中学2017-2018学年高一下学期第一次月考试题

四川省棠湖中学2017-2018学年高一下学期第一次月考
数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题
1.若集合{
}{}5,4,3,1,4,3,2,1==B A ，则的子集个数为 （ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9 2.下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为 （ ） A. 12-=x y B.x y ln = C. x
y 1-= D. 3
2x y = 3.若将函数x y 2sin =的图象向左平移
π
12
个单位长度，则平移后的图象的对称轴为 （ ） A. ππ()26k x k =-∈Z B. ππ
()26k x k =+∈Z
C. ππ()212k x k =-∈Z
D. ππ
()212
k x k =+∈Z
4.已知等差数列{}n a 前9项的和为8,2710=a ，则=100a （ ） A. 100 B. 99 C. 98 D. 97
5.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,已知3
2
cos ,2,5===A c a ，则=b （ ） A.
2 B.
3 C. 2 D. 3
6．函数()45x
g x x =+的零点0x 所在的一个区间是 （ ） A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 7．已知11
ln8,ln5,62,62
a b c =
==则 （ ） A. a c b << B a b c << C. c a b << D c b a <<
8．若1
tan 3
α=
，则cos2α=（ ） A.12 B.54- C.53 D.5
4 9．若函数()21ln 1
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())e f f （其中e 为自然对数的底数）=（ ）
A ．
1e B ．2
1
C ．2-
D ．eln 2
10．若π1sin()63α-=
则2πcos(2)3
α+= （ ） A ．
97 B ．9
7
- C ．37 D ．37-
11.已知点O 是ABC ∆内部一点，并且满足532=++，OAC ∆的面积为1S ，
ABC ∆的面积为2S ；则
=2
1
S S （ ） A.
103 B.83 C.52 D.21
4 12.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，a c =且满足
cos (cos )cos 0C A A B +=，若点O 是ABC ∆外的一点，24OA OB ==，则四边
形OACB 的面积的最大值为 （ ）
A 8+
B 4+
C 12
D 6 二．填空题
13.2
23π3π
sin cos 88
-= 14.已知ππ2
0,cos(),233
αα<<+=-则=αcos
15.在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则=a
16.已知函数1
23
63sin 6)(232+++-=x x x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ；则m M +=
三、解答题
17.已知)3,1(,4||-==. （Ⅰ）若//，求的坐标；
（Ⅱ）若与的夹角为0
120，求||-.
18．若集合{}
0211A x x =≤-≤，{
}
lg(7)B x y x ==
-，集合
{}
2
{(21)(1)0C x x
a x a a =-+++≤．
（Ⅰ）求A B ；
（Ⅱ）若A C ⊆，求实数a 的取值范围．
19.在ABC ∆中，已知B A tan ,tan 是关于x 的方程0132
=+++p px x 的两个实根.
（Ⅰ）求C ∠；
（Ⅱ）若8,7=+=b a c ，求ABC ∆的面积S .
20.已知函数()2
2
sin cos cos f x x x x x =+-.
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称中心坐标；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调增区间及()f x 在π0,2
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上的最大值和最小值.
21.△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . （Ⅰ）求sin ∠B
sin ∠C
；
（Ⅱ）若∠BAC ＝60°，求∠B .
22.已知定义域为R 的函数()1221
x a
f x =-++是奇函数.
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）判断函数f x 的单调性并证明；
（III ）若关于m 的不等式()()
222120f m m f m mt -+++-≤在()1,2m ∈有解，求实数t 的取值范围.
【参考答案】
13，
22 14.6
215- 15.61236- 16. 6 17.解：（1）∵)3,1(-=，∴2||=，与共线的单位向量为)23
,21(|
|-±==b .
∵//,4||=，∴)32,2(||-==或)32,2(-.
（2）∵0120,,2||,4||>=<==，∴4,cos ||||->=<=⋅， ∴282)(2
2
2
=+⋅--=-，∴72||=-. 18.解（Ⅰ）由0211π≤-≤得
112x ≤≤∴112A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭ ，43070
x x -≥⎧⎨
->⎩解之得3
74x ≤<， ∴374B x
x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，∴172A B x x ⎧⎫
=≤<⎨⎬
⎩⎭
； （Ⅱ）由2
(21)(1)0x a x a a -+++≤得：()[(1)]0x a x a --+≤， 解之得：1a x a ≤≤+ ，∴{
}1
c x a x a ≤≤+，
∵A c ≤， ∴1211a a ⎧
≤
⎪⎨⎪+≥⎩
，解之得：102a ≤≤
即a 的取值范围为：102a a ⎧⎫
≤≤
⎨⎬⎩⎭
19.解：(1)由0≥∆得3
2
-
≤p 或2≥p ，故0≠p ， 由题有tan tan ,π()tan tan 1
A B C A B A B p ⎧+=⎪=-+⎨
=+⎪⎩，
∴3)
1(13tan tan 1tan tan )tan(tan -=+---=-+-=+-=p p
B A B A B A
C .
又(0,π)C ∈，∴2π3
C =. (2)∵2π
7,3
c C ==
，∴由余弦定理可得4922=++ab b a . 又8=+b a ，∴15=ab . ∴4
315sin 21==
C ab S .
20．解：()2
2
sin cos cos f x x x x x =+-
2cos 2x x =-
π2sin 26x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，∴()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，
由()0f x =得：π2π6x k -
=，k ∈Z ，解得：ππ
212
k x =+,k ∈Z ∴()f x 的图象的对称中心坐标为ππ,0212k ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，k ∈Z （2）由πππ2π22π262k x k -
-+≤≤，k ∈Z 解得：ππ
ππ63
k x k -+≤≤，k ∈Z ， ∴()f x 的单调区间为πππ,π63k k ⎡
⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦
，k ∈Z ， ∴()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上是增函数，在ππ,32
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数，
∴当π0,2x ⎡
⎤∈⎢⎥⎣⎦时()max π23f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ()min f x 是()0f 与π2f ⎛⎫
⎪⎝⎭中的较小者，
∵()π0112f f ⎛⎫
=-<=
⎪⎝⎭
，∴()min 1.f x =- 21．解：(1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DC
sin ∠CAD .
因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ， 所以sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12
.
(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，
所以sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B ) ＝
32cos ∠B ＋1
2
sin ∠B . 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ， 所以tan ∠B ＝
3
3
，即∠B ＝30°. 22.解：(1)由f x 为奇函数可知，f x f x ，解得1a .
(2)由21x y
递增可知112
21
x f x
在R 上为减函数，
证明：对于任意实数12,x x ，不妨设12x x ，
21
12121
2
1
1
222121
2121
x x x x x x f x f x
∵2x y
递增，且12x x ，∴1
222x x ，∴12
0f x f x ，
∴12f x f x ，故f x 在R 上为减函数.
(3)关于m 的不等式222120f m m f m mt ，
等价于()()
22212f m m f m mt -++≤-+，即22212m m m mt -++≥-+， 因为()1,2m ∈，所以1
21t m m
≤-++， 原问题转化为1
21t m m
≤-++在()1,2m ∈上有解， ∵1
1y m
m 在区间1,2上为减函数， ∴11y
m m ，()1,2m ∈的值域为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
∴21t ，解得1
2
t
， ∴t 的取值范围是1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭.。