【精选】北师大版八年级数学上册 三角形解答题(提升篇)(Word版 含解析)

【精选】北师大版八年级数学上册 三角形解答题（提升篇）（Word 版 含解
析）
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．（1）如图1．在△ABC 中，∠B =60°，∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，则∠O = °，
（2）如图2，若∠B =α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O 的大小； （3）如图3，若∠B =α，11
,PAC DAC PCA E n n
AC ∠=∠∠=∠，则∠P = （用含α的代数式表示）．
【答案】（1）∠O =60°；（2）90°－12α；（3）11(1)180P n n
α∠=-⨯- 【解析】 【分析】
（1）由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解；
（2）根据题意设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°，利用角平分线性质和外角定义找等量关系，用含α的代数式表示∠O 的大小；
（3）利用（2）的条件可知n=2时，∠P=
1
11-1802
2
α︒
⨯-（），再将2替换成n 即可分析求解. 【详解】
解：（1）因为∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，且∠B=60°， 所以18060120OAC OCA οοο∠+∠=-=， 有∠O=180120οο-=60°.
（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180° ∵∠ACE 是△ABC 的外角， ∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β ∵CO 平分∠ACE
11
()22
ACO ACE αβ∴∠=
∠=+ 同理可得：1
()2
CAO αγ∠=
+ ∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，
∴11
180180()()22
O ACO CAO αβαγ︒︒
∠=-∠-∠=-
+-+ 1180()2αβαγ︒=-+++111
180()1809090222
αβααα︒︒︒︒=-++=--=-；
（3）∵∠B=α，11
,PAC DAC PCA E n n
AC ∠=
∠∠=∠， 由（2）可知n=2时，有∠P=1
180902α︒
︒
--=
111-1802
2
α︒
⨯-（），将2替换成n 即可， ∴11(1)180P n n
α∠=-⨯-. 【点睛】
本题考查用代数式表示角，熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.
2．已知：线段AB ，以AB 为公共边，在AB 两侧分别作ABC ∆和ABD ∆，并使
C D ∠=∠．点E 在射线CA 上．
（1）如图l ，若AC BD ，求证：AD BC ∥；
（2）如图2，若BD BC ⊥，请探究DAE ∠与C ∠的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BAC BAD ∠=∠，过点D 作DF BC ∥交射线于点
F ，当8DFE DAE ∠=∠时，求BAD ∠的度数．
【答案】（1）见详解；（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由见详解；（3）99°． 【解析】 【分析】
（1）根据平行线的性质和判定定理，即可得到结论；
（2）设CE 与BD 交点为G ，由三角形外角的性质得∠CGB=∠D+∠DAE ，由
BD BC ⊥，得∠CGB+∠C=90°，结合C D ∠=∠，即可得到结论；
（3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ，由DF BC ∥，DAE ∠+2C ∠=90°，得关于x 的方程，求出x 的值，进而求出∠C ，∠ADB 的度数，结合∠BAD=∠BAC ，即可求解． 【详解】
（1）∵AC
BD ，
∴∠C+∠CBD=180°， ∵C D ∠=∠， ∴∠D+∠CBD=180°，
∴AD BC ∥；
（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由如下： 设CE 与BD 交点为G ， ∵∠CGB 是∆ADG 的外角， ∴∠CGB=∠D+∠DAE ， ∵BD BC ⊥， ∴∠CBD=90°，
∴在∆BCG 中，∠CGB+∠C=90°， ∴∠D+∠DAE+∠C=90°， 又∵C D ∠=∠， ∴DAE ∠+2C ∠=90°； （3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ， ∴∠AFD=180°-8x ， ∵DF BC ∥，
∴∠C=∠AFD=180°-8x ， 又∵DAE ∠+2C ∠=90°，
∴x+2(180°-8x)=90°，解得：x=18°， ∴∠C=180°-8x=36°=∠ADB ， 又∵∠BAD=∠BAC ， ∴∠ABC=∠ABD=
1
2
∠CBD=45°， ∴∠BAD=180°-45°-36°=99°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定定理，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握平行线的性质和三角形外角的性质，是解题的关键．
3．如图，在△ABC 中，已知AD BC ⊥于点D ，AE 平分()BAC C B ∠∠>∠ （1）试探究EAD ∠与C B ∠∠、的关系；
（2）若F 是AE 上一动点，当F 移动到AE 之间的位置时，FD BD ⊥,如图2所示，此时
EFD C B ∠∠∠与、的关系如何？
（3）若F 是AE 上一动点，当F 继续移动到AE 的延长线上时，如图3，FD BC ⊥，①中的结论是否还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论.
【答案】（1）∠EAD=1
2
（∠C-∠B），理由见解析；
（2）∠EFD=1
2
（∠C-∠B），理由见解析；
（3）∠AFD=1
2
（∠C-∠B）成立，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由图不难发现∠EAD=∠EAC-∠DAC，再根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义分别用结论中出现的角替换∠EAC和∠DAC；
（2）作AG BC
⊥于G转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决；
（3）作AH BC
于H转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决．
【详解】
解：（1）∠EAD=1
2
（∠C-∠B）.理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=1
2
∠BAC
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）
∴∠EAC=1
2
[180°-（∠B+∠C）]
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C，∵∠EAD=∠EAC-∠DAC
∴∠EAD=
12 [180°-（∠B+∠C ）]-（90°-∠C ）=1
2（∠C-∠B ）． （2）∠EFD=1
2
（∠C-∠B ）.理由如下：
作AG BC ⊥于G
由（1）可知∠EAG=1
2
（∠C-∠B ） ∵FD BD ⊥，AG BC ⊥ ∴FD ∥AG
∴∠EAG=∠EFD
∴∠EFD=
1
2
（∠C-∠B ） （3）∠AFD=
1
2
（∠C-∠B ）．理由如下：
作AH BC ⊥于H
由（1）可知∠EAH=1
2
（∠C-∠B ） ∵FD BD ⊥，AH BC ⊥ ∴FD ∥AH
∴∠EAH=∠AFD
∴∠AFD=1
2
（∠C-∠B ） 【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的定义和三角形内角和定理是解答此题的关键．
4．探究：
（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求证：∠P＝90°+1
2
∠A．
（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论．
【答案】（1）见解析；（2）1
2
∠A＝∠P，理由见解析；（3）∠P＝90°﹣
1
2
∠A，理由见
解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的性质进行解答即可：
（2）根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果，
（3）根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明.
【详解】
证明：（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．
又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝1
2
∠ABC，
∠PCB＝1
2
∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝1
2
（180°﹣∠A），
根据三角形内角和定理可知∠BPC＝180°﹣1
2
（180°﹣∠A）＝90°+
1
2
∠A；
（2）1
2
∠A＝∠P，理由如下：
∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠PBC＝1
2
∠ABC，∠PCE＝
1
2
∠ACE．
∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，
∴1
2
∠ACP＝
1
2
∠ABC+
1
2
∠A，
∴1
2
∠ABC+
1
2
∠A＝∠PBC+∠P，
∴1
2
∠A＝∠P．
（3）∠P＝90°﹣1
2
∠A，理由如下：
∵P点是外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣1
2
（∠FBC+∠ECB）
＝180°﹣1
2
（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°﹣1
2
（∠A+180°）
＝90°﹣1
2
∠A．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解.
5．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；
（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究
∠A，∠P，∠C的关系并证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究
∠A，∠P，∠C的关系并证明．
【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.【解析】
【分析】
（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；
（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；
（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到.
【详解】
（1）如图1,延长AD交BC于E，
在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，
在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；
（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：
如图2，
∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3
∴∠A+∠1=∠P+∠3
∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∴∠A+∠2=∠P+∠4
由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C
∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C
∴∠A－∠C=2∠P
（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:
如图3,
同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2
∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3
∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠A+∠C=2∠P
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
6．(1)如图①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；
(2)如图②，设x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，运用(1)中的结论填空．
x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；
(3)如图③，一个六角星，其中∠BOD＝70°，则
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.
【答案】（1）证明见解析. (2)180；180；180；(3)140
【解析】
【分析】
（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根据∠BDC=∠A+∠B，判断出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．
（2）a、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据
∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．
b、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据
∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．
c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得
∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得
x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，据此解答即可．
（3）根据∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，据此求出
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可．
【详解】
(1)证明：如图，延长BO交AC于点D，则∠BOC＝∠BDC＋∠C，
又∵∠BDC＝∠A＋∠B，
∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.
(2)180；180；180
(3)140
【点睛】
（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
7．如图，已知，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E的线段AD(除去端点A、D)上一动点，EF⊥BC于点F.
(1)若∠B＝40°，∠DEF＝10°，求∠C的度数．
(2)当E在AD上移动时，∠B、∠C、∠DEF之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．
【答案】(1)∠C＝60°.
(2)∠C－∠B＝2∠DEF.理由见解析
【解析】
试题分析：（1）已知：EF⊥BC，∠DEF＝10°可以求得∠EDF的度数，∠EDF又是∆ABD的
外角，已知∠B的度数，可求得∠BAD的值，AD平分∠BAC，所以∠BAC的值也可求出，从而求出∠C。

（2）EF⊥BC，可得到∠EDF＝90°－∠DEF，∠EDF又是∆ABD的外角，可得到∠BAD＝∠EDF－∠B=90°－∠DEF－∠B，然后可将∠ BAC用含∠DEF、∠B的角来表示，即∠ BAC =2(90°－∠DEF－∠B),最后利用∠B、∠ BAC、∠C的和为180°求得三角之间的等量关系。

试题解析：(1)∵EF⊥BC，∠DEF＝10°，
∴∠EDF＝80°.
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝∠EDF－∠B＝80°－40°＝40°.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝80°.
∴∠C＝180°－40°－80°＝60°.
(2)∠C－∠B＝2∠DEF.理由如下：
∵EF⊥BC，∴∠EDF＝90°－∠DEF.
∵∠EDF＝∠B＋∠BAD，
∴∠BAD＝90°－∠DEF－∠B.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝180°－2∠DEF－2∠B.
∴∠B＋180°－2∠DEF－2∠B＋∠C＝180°.
∴∠C－∠B＝2∠DEF.
【点睛】本题主要考查考生对三角形外角和性质得理解及灵活运用，以及对三角形内角和，角平分线的定义的理解。

此为易考点及重点。

考查考生等量代换思想的形成及掌握，在解题过程中涉及到角与角之间的转换。

此为难点。

8．我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：．（填“能“或“不能”）
（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．则θ=度；
活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小
棒，且A1A2=AA1．
数学思考：
（3）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
【答案】（1）能．(2)θ=22.5；(3) 15°≤θ＜18°．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件：小棒两端能分别落在两射线上进行判断即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即得结果；
（3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得关于θ的不等式组，解不等式组即得结果.
【详解】
(1)∵根据已知条件∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去；
(2)∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3=45°，
∴∠AA2A1+∠θ=45°，
∵∠AA2A1=∠θ，
∴∠θ=22.5°；
(3)如图乙，∵A2A1=A2A3，∴∠A2A3A1=∠A2A1A3=2θ°，
∵A2A3=A4A3，∴∠A3A2A4=∠A3A2A4=3θ°，
∵A4A3=A4A5，∴∠A4A3A5=∠A4A5A3=4θ°，
根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可得6θ⩾90°，5θ<90°，
∴15°⩽θ<18°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质，根据题意找出规律并结合等腰三角形的性质是解题的关键.
9．（1）如图①∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？为什么？
（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B＋∠C(填
“＞”“＜”“=”)，当∠A＝40°时，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝______.
（3）如图③,是由图①的△ABC沿DE折叠得到的,如果∠A＝30°,则
x＋y＝360°－（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）＝360°－＝ ,猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系为
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
试题分析：（1）根据三角形内角是180度可得出，∠1+∠2=∠B+∠C；（2）△ABC沿DE 折叠，∠1+∠2=∠B+∠C，从而求出当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°，（3）根据以上计算可归纳出一般规律：∠BDA+∠CEA=2∠A．
试题解析：
解：（1）∠1+∠2 = ∠B+∠C，理由如下：
在△ADE中，∠1+∠2 = 180°- ∠A
在△ABC中，∠B+∠C = 180°- ∠A
∴∠1+∠2 = ∠B+∠C
（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°，∴∠1+∠2=∠B+∠C，当
∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°
（3）如果∠A=30°，则x+y=360°-（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°-300°=60°，所以∠BDA+∠CEA 与∠A的关系为：∠BDA+∠CEA=2∠A.
考点：1.翻折变换（折叠问题）；2. 三角形内角和．
【详解】
请在此输入详解！
10．（问题背景）
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
（简单应用）
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，
求∠P的度数；
（问题探究）
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若
∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
（拓展延伸）
（4）在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=1
3∠CAB，∠CDP=1
3
∠CDB，试问∠P与
∠C、∠B之间的数量关系为： ______ （用α、β表示∠P,不必证明）
【答案】（1）证明见解析；（2）26°；（3）26°；（4）∠P=2
3
α+
1
3
β.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理即可证明．
（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；
（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；
（4）列出方程组即可解决问题．
【详解】
（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；
(2) 如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠2+∠B=∠3+∠P，
∠1+∠P=∠4+∠D，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=1
2
（∠B+∠D）=
1
2
×（36°+16°）=26°；
(3)如图3，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=1
2
（∠B+∠D）=
1
2
×（36°+16°）=26°；
(4)∠P=2
3
α+
1
3
β.。