高中三年级数学下期中模拟试卷及答案(5)

高中三年级数学下期中模拟试卷及答案(5)
一、选择题
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
，若对任意*N n ∈，都有
()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）
A ．()2,3
B ．[]2,3
C ．92,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．92,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
2．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为( )
A ．8
B ．7
C ．2
D ．1
3．已知数列{}n a 中，(
)111,21,n n n
a a a n N S *
+==+∈为其前n 项和，5
S
的值为（ ）
A ．63
B ．61
C ．62
D ．57
4．正项等比数列
中，的等比中项为
，令
，则
（ ） A ．6
B ．16
C ．32
D ．64
5．ABC ∆中有：①若A B >，则sin sin A>B ；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩
，则22
(2)x y -+的最小值为（ ） A 32
B 5
C ．5
D ．
92
7．数列{}n a 的前n 项和为2
1n S n n =++,()()1N*n
n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项
和为（ ） A ．49
B ．50
C ．99
D ．100
8．已知函数22()
()()
n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则
123100a a a a ++++=L
A ．0
B ．100
C ．100-
D ．10200
9．已知{}n a 为等差数列，若20
19
1<-a a ，且数列
{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1S
B ．19S
C ．20S
D ．37S
10．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1
B ．6
C ．7
D ．6或7
11．关于x 的不等式()2
10x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）
A ．[)(]3,24,5--⋃
B ．()()3,24,5--⋃
C ．(]4,5
D ．（4,5）
12．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）
A ．()8,10
B ．()
22,10
C ．()
22,10
D ．
(
)
10,8
二、填空题
13．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ． 14．在钝角ABC V 中，已知7,1AB AC ==，若ABC V 的面积为6
，则BC 的长为______．
15．设x ，y 满足则220,220,20,x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪++≥⎩
则3z x y =-的最小值是______.
16．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且13a =，131n n a S +=+，*n ∈N ，则5S =______. 17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且
8a =，73b c +=，则ABC V 的面积为______．
18．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.
19．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，
15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．
20．定义11222n n n a a a H n
-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值1
2n n H +=,
记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．
三、解答题
21．已知数列中，
，
. （1）求证：是等比数列，并求
的通项公式； （2）数列
满足
，求数列
的前项和
.
22．已知函数f(x)＝x 2－2ax －1＋a ，a∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝
()
f x x
(x>0)的最小值； (2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a 成立，试求a 的取值范围． 23．
已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；
（Ⅱ）是否存在*
,,m n k N ∈使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的
,,m n k 的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设3
2
n n n b a -=-
，若对于任意的*n N ∈，不等式 125111(1)(1)(1)23
n m b b b n ≤++++L m 的最大值． 24．已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；
(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项
和n T .
25．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，
2cosA cos A =．
()1求C ；
()2若2a =，求，ABC V 的面积ABC S V
26．已知数列{}n a 的前n 项和2
38n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令1
(1)(2)n n n n n a c b ++=
+.求数列{}n c 的前n 项和n T .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
1
1
111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11221244133212n
n
n n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭
()143n p S n ≤-≤Q
即22113332n p ⎛⎫
⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
对任意*n N ∈都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤
当3n =时，4
43
p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤
故选B
点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果
2．B
解析：B 【解析】
试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线
:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大
值．故选B ．
考点：简单的线性规划问题．
3．D
解析：D 【解析】
解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：
1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，
分组求和有：(
)5
521255712
S ⨯-=-=- .
本题选择D 选项.
4．D
解析：D 【解析】
因为，即
，
又
，所以
.
本题选择D 选项.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
①根据正弦定理可得到结果；②根据A B =或,2
A B π
+=
可得到结论不正确；③可由余弦
定理推得222a b c =+，三角形为直角三角形. 【详解】
①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理
sin sin a b A B =知sinA sinB >，①正确；②22sin A sin B =，则A B =或,2
A B π
+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错
误；③由已知及余弦定理可得222222
22a c b b c a a b c ac bc
+-+--=，化简得222a b c =+，
所以③正确. 故选C. 【点睛】
本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
6．C
解析：C 【解析】
由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.
7．A
解析：A 【解析】
试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，
()
()()2
2111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦
,把1n =代入上式可得
123a =≠.综上可得3,1
{2,2
n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数
.数列{}n b 的前50项
和为
()()
503235749224650S =--+++++++++L L ()()2434925250322492
2
++=--⋅
+⋅
=.故A 正确.
考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.
8．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()2
2()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当
n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以
()
1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，
故选B.
考点：数列的递推公式与数列求和.
【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与
运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22()
{()
n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及
()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分
组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
由已知条件判断出公差0d <，对20
19
1<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】
已知{}n a 为等差数列，若20
191<-a a ，则201919
0a a a +<，
由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，
19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，
则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】
本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.
10．B
解析：B 【解析】
试题分析：由等差数列
的性质，可得
，又，所以
，所以数列
的通项公式为
，令
，解得
，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得
取最小值时的为
，故选B ．
考点：等差数列的性质.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得
1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。

【详解】
关于x 的不等式()2
10x a x a -++<，
∴不等式可变形为(1)()0x x a --<，
当1a >时，得1x a <<，此时解集中的整数为2，3，4，则45a <≤； 当1a <时，得1<<a x ，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则32a -≤<- 故a 的取值范围是[)(]3,24,5--⋃，选：A 。

【点睛】
本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对a 和1的大小进行分类讨论。

其次在观察a 的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B 选项。

12．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围． 【详解】
由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个
角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到222
222
1313a a ⎧+>⎨+>⎩
，
由于0a >，解得a <<C ． 【点睛】
本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：
A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<.
二、填空题
13．8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为8
解析：8 【解析】 【分析】 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ， 则351712610a a a a a d +=+=+=， 所以71101028a a =-=-=，故答案为8.
14．【解析】【分析】利用面积公式可求得再用余弦定理求解即可【详解】由题意得又钝角当为锐角时则即不满足钝角三角形故为钝角此时故即故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用属于中等题
【解析】 【分析】
利用面积公式可求得A ,再用余弦定理求解BC 即可. 【详解】
由题意得11sin sin 2A A =⨯⇒=
又钝角ABC V ,当A 为锐角时,cos A ==则2
717BC =+-=,
即7BC =不满足钝角三角形.
故A 为钝角.此时2
61cos 177A ⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭
.故2
17127107BC =++⨯=. 即10BC = 故答案为：10 【点睛】
本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用,属于中等题型.
15．-4【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：作出可行域如图所示当直线经过点时故答案为：【点睛】本题考查简单的线性
解析：-4 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】
解：作出可行域如图所示，
当直线3z x y =-经过点()2,2时，min 2324z =-⨯=-. 故答案为：4- 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
16．853【解析】【分析】由与的关系可得即进而得到是以为首项为公比的等比数列可得令即可得到的值【详解】由题即则是以为首项为公比的等比数列即当
时故答案为：853【点睛】本题考查等比数列通项公式考查由与的关
解析：853 【解析】 【分析】
由n S 与n a 的关系可得,131n n n S S S +-=+,即141n n S S +=+,进而得到13n S ⎧+⎫⎨⎬⎩⎭
是以103
为首项,4为公比的等比数列,可得1101
433
n n S -=⋅-,令5n =,即可得到5S 的值 【详解】
由题,1131n n n n a S S S ++=-=+,即141n n S S +=+,则()14n n S S λλ++=+
143n n S S λ+∴=+,1
3
λ∴=
13a =Q ,111110
333S a ∴+=+=,
∴13n S ⎧
+⎫⎨⎬⎩
⎭是以103为首项,4为公比的等比数列,
∴1110433n n S -+
=⋅,即1101433
n n S -=⋅- 当5n =时,515101101
42568533333
S -=⨯-=⨯-= 故答案为：853 【点睛】
本题考查等比数列通项公式,考查由n S 与n a 的关系求n S ,根据1n n S k S b +=⋅+,可构造数列
{}n S λ+为等比数列,公比为k
17．【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值由余弦定理可求64=（b+c ）2﹣bc 求bc 即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC 中btanB+btanA=﹣2ctanB∴由正弦
【解析】 【分析】
由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值，由余弦定理可求64=（b +c ）2﹣bc ，求bc ，即可得三角形的面积． 【详解】
∵在△ABC 中btanB +btanA=﹣2ctanB ，
∴由正弦定理可得sinB （tanA +tanB ）=﹣2sinCtanB ，
∴sinB （tanA+tanB ）=﹣2sinC•sinB
cosB
， ∴cosB （tanA+tanB ）=﹣2sinC ，
∴cosB （sinA cosA +sinB
cosB
）=﹣2sinC ， ∴cosB•sinAcosB cosAsinB
cosAcosB
+=﹣2sinC ，
∴cosB•
()sin A B cosAcosB
+=
sinC
cosA
=﹣2sinC ， 解得cosA=﹣
12，A=23
π； ∵a=8，73,b c +=由余弦定理可得：64=b 2+c 2+bc=（b+c ）2﹣bc ， ∴bc=9
∴△ABC 的面积为S =
12bcsinA=1392⨯⨯=93
， 故答案为
934
． 【点睛】
本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属于中档题．
18．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的
解析：300 【解析】
试题分析：由条件，
,所以
,
,
,所以
,
,这样在
中，,在
中，
，解得
,
中，
，故填：300.
考点：解斜三角形
【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.
19．【解析】【分析】△ACD 中求出AC △ABD 中求出BC △ABC 中利用余弦定理
可得结果【详解】解：由已知△ACD 中∠ACD ＝15°∠ADC ＝150°∴∠DAC=15°由正弦定理得△BCD 中∠BDC ＝15
解析：
【解析】 【分析】
△ACD 中求出AC ，△ABD 中求出BC ，△ABC 中利用余弦定理可得结果. 【详解】
解：由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，
∴∠DAC=15
°由正弦定理得80sin15040
sin15
AC ===o
o
，
△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， ∴∠DBC=30°， 由正弦定理，
CD BC
sin CBD sin BDC
=∠∠，
所以
BC 80sin151601540
12
CD sin BDC sin sin CBD
⋅∠⨯︒
=
==︒=∠；
△ABC 中，由余弦定理，
AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB
＝
(
(
081
1600816021600
2
-+++⨯⨯
⨯
16001616004160020=⨯+⨯=⨯
解得：
AB =
则两目标A ，B
间的距离为．
故答案为． 【点睛】
本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．
20．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据
解析：712
[,]35
【解析】 【分析】
因为1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅,2121()2212n n
n b b b n --++⋯+=-⋅,从而求出
2(1)n b n =+,可得数列
{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c ,从而将5n S S ≤对任
意的*(N )n n ∈恒成立化为50c ≥,60c ≤,即可求得答案. 【详解】
Q 1
112222n n n n b b b H n
-++++==L ,
∴ 1112222n n n b b b n -++++=⋅L ,
故2121()(22212)n n
n b b n b n --⋅++=-≥+L ,
∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅,
则2(1)n b n =+,对1b 也成立,
∴2(1)n b n =+,
则()22n b kn k n -=-+,
∴数列{}n b kn -为等差数列,
记数列{}n b kn -为{}n c .
故5n S S ≤对任意的*
N ()n n ∈恒成立,可化为:50c ≥,60c ≤；
即5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩
,解得,71235k ≤≤,
故答案为:712
[,]35
． 【点睛】
本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前n 项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
三、解答题
21．(1)答案见解析；(2) .
【解析】
试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明是等比数列，
并求
的通项公式
，⑵利用错位相减法即可求得答案；
解析：（1）∵ ∴ ∴
，
∵，，
∴是以为首项，以4为公比的等比数列∴，
∴，
∴，
（2），
∴①
②
①-②得
∴.
22．（1）2
-；（2）
3
,
4
⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】
（1）根据基本不等式求最值，注意等号取法，（2）先化简不等式，再根据二次函数图像确定满足条件的不等式，解不等式得结果.
【详解】
(1)依题意得y=
()
f x
x
=
2-41
x x
x
+
=x+
1
x
-4.
因为x>0,所以x+1
x
≥2.当且仅当x=
1
x
时,
即x=1时,等号成立.所以y≥-2.
所以当x=1时,y=
()
f x x
的最小值为-2. (2)因为f(x)-a=x 2-2ax-1,
所以要使得“对任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a 成立”只要“x 2-2ax-1≤0在[0,2]恒成立”.
不妨设g(x)=x 2-2ax-1,
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.
所以(0)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩ 即0-0-10,4-4-10,a ≤⎧⎨≤⎩
解得a≥
34,则a 的取值范围为3,4∞⎡⎫
+⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 23．（1）1
(51)2
n -（2）不存在（3）8 【解析】 【分析】 【详解】
（Ⅰ）11110(21)(2)a a a =++，得2
112520a a -+=，解得12a =，或112
a =
． 由于11a >，所以12a =．
因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以2
10252n n n S a a =++. 故22
1111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，
整理，得22
112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=．
因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152
n n a a +-=． 则数列{}n a 是以2为首项，5
2
为公差的等差数列. 所以51
2(1)(51)22
n a n n =+
-=-.………………………………………………5分 （Ⅱ）满足条件的正整数,,m n k 不存在，证明如下：
假设存在*
,,m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=，
则1
5151(51)2
m n k -+-=
-．
整理，得3
225
m n k +-=
， ① 显然，左边为整数，所以①式不成立．
故满足条件的正整数,,m n k 不存在． ……………………8分 （Ⅲ）313
(51)21222
n n n n b a n n --=-=--=+，
12111(1)(1)(1)n b b b ≤+++L
≤
3121231111n n
b b b b b b b b ++++⋅⋅L
4682235721n n +=
⋅⋅⋅⋅+L ．
设46822()35721n f n n +=
⋅⋅⋅⋅+L
则(1)()35721f n f n n +=⋅⋅⋅⋅+L
2423n n +=
=+
24
124
n n +=
>
=
=
=+. 所以(1)()f n f n +>，即当n 增大时，()f n 也增大．
12111(1)(1)(1)n b b b ≤+++L 对于任意的*n N ∈
恒成立，只需min ()31
f n ≤即可．
因为min 4()(1)3f n f ===
≤
. 即4311244
8151515
m ⨯≤
==. 所以，正整数m 的最大值为8． ………………………………………14分
24．（Ⅰ）2n
n a =.（Ⅱ）25
52n n
n T +=-
. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.
试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22
111(1)6,a q a q a q +==.
又0n a >， 解得：12,2==a q ，
所以2n
n a =.
（Ⅱ）由题意知：121211(21)()
(21)2
n n n n b b S n b +++++=
=+，
又2111,0,n n n n S b b b +++=≠ 所以21n b n =+, 令n
n n
b c a =, 则21
2n n
n c +=， 因此
12231357212122222
n n n n n n T c c c --+=+++=
+++++L L , 又
234113572121
222222
n n n n n T +-+=+++++L , 两式相减得2111
3111212
22222
n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 所以2552n n
n T +=-
. 【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.
【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 25．(1) 12
π
．
(2) 【解析】 【分析】
()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，
可求4
B π
=
，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围
()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．
()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据
三角形的面积公式即可求解． 【详解】
() 1Q 由已知可得ccosB bsinC =，
又由正弦定理
b c
sinB sinC
=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈Q ，
4
B π
∴=
，
2221cosA cos A cos A ==-Q ，即2210cos A cosA --=，
又()0,A π∈，
12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23A π
=，
12
C A B π
π∴=--=
．
()223A π=
Q ，4
B π
=，2a =， ∴由正弦定理
a b
sinA sinB
=，可得2
226233
a sinB
b sinA ⨯
⋅=
==，
()321262
sin 22224
sinC A B sinAcosB cosAsinB -⎛⎫=+=+=
⨯+-⨯=
⎪⎝⎭Q ， 11266233
222ABC S absinC --∴=
=⨯⨯⨯=
V ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 26．（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列
{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1312n n c n +=+⋅，再利
用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和n
T .
试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ，
由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d
=+=+，可解得14,3b d ==， 所以31n b n =+．
（2）由（1）知()()
()1
16631233n n n n
n c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得
()2341
322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，
()3452
2322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得
()()
()2341222
42132222212341232
21n
n n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦
所以2
32n n T n +=⋅．
考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.。