压缩映射原理及应用

分析 只要在闭球内构造一个迭代序列{xn}即可。 证 取初始点x0S(x0, r)，作迭代xn=Tn x0 (n=0,1,2,…)
T是S(x0,r)上的压缩映射, 且(Tx0, x0)(1)r (0<1) (x1, x0)=(Tx0,x0)(1-)rr (x2,x0)=(Tx1,x0) (Tx1,Tx0)+(Tx0,x0)
x ,x
从而 T是压缩映射。由压缩映射原理，知T在 R n 中有唯一
的不动点 xx1,x2....x.n. 使
~ x T ~ x j n 1 a 1 jx ~ j b 1 ,j n 1 a 2 j~ x j b 2 , ,j n 1 a n ~ x jj b n .
x nl im xn
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第10页
例4.2 设f(x)在闭区间[x0-h,x0+h]上可导, 且f’(x)<1, 又f(x0)x0(1-)h, 则f(x)在[x0-h,x0+h]上有唯一的不动点x, 且x可由迭代 xn+1=Txn (n=1,2,…) (x0[x0-h,x0+h])迭代求得.
j1
j1
xA xbTx
则T是Rn到Rn的映射, 可以证明，T是压缩映射，因而存在唯一 不动点x, 使得 x=Tx=Ax+b, 即原方程组有唯一解。 事实上，x(k)=(x1(k) ,x2(k) ,…,xn(k) )Rn, k=1,2.
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第14页
n
i 1,2,..., n , a ij 1 j 1
(xn+k,xn)0 (n) (0<1) {xn}是基本列{xn}收敛 (X完备) xX, 使xnx (n)
② 证明极限点x就是T的不动点。 T是压缩映射T是连续映射 xn+1=Txn , xnx, T连续x=Tx (n) x是T的不动点
唯一性 设x,y都是T的不动点x=Tx,y=Ty (x,y)=(Tx,Ty)(x,y)(x,y)=0 (0<1)
定义4.1 (映射的不动点) 设X距离空间，T：XX是X上的自映射， 如果存在xX，使得x=Tx，则称x是映射T的一个不动点。
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第4页
2. 压缩映射原理(Banach不动点原理，波兰，1922) 定理4.1 (压缩映射原理) 设X 是完备的距离空间，映射T： XX是压缩映射，则T在X中存在唯一的不动点x, 即x=Tx。
(x1,x0)+(1-)r+r(1-)r=r (xn,x0)r (n=1,2,…) (数学归纳法) xnS(x0,r) (n=1,2,…) 唯一xS(x0,r)，使得x=Tx. （在S(x0,r)上应用定理4.1)
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第8页
推论4.2 设X是完备距离空间，T：XX，如果存在常数 (0<1) 及正整数n0 ，使对任何x, yX，都有
证 存在性 设X完备，T: XX是压缩映射， ① 任取初始点x0X，构造迭代序列{xn}X：
xn+1=Txn (n=0,1,2,…) ② 证明{xn}是基本列, 因而是收敛列。T是压缩映射 , 0<1, 使得
(xn+1,xn)=(Txn,Txn-1)(xn,xn-1)2(xn-1,xn-2) …n(x1,x0)=n(Tx0,x0) (n=1,2,…)
例4.1 设f (x)在R可导, 且f ′(x)<1, 则f (x)在R上有唯一的不动 点x,且x可由迭代xn+1=Txn (n=1,2,…) (x0R)迭代求得. 证 R是完备距离空间，函数f(x)是R到R的一个映射，
x1,x2R, 由拉格朗日中值定理, 有 (f(x1), f(x2))=f(x1)-f(x2)=f’()x1-x2(x1,x2) f: RR是压缩映射 f(x)在R上有唯一的不动点x，对于迭代xn+1=Txn，有
(Tx (1) , Tx ( 2 ) ) ( y (1) , y ( 2 ) )
max
1 i n
y (1) i
y (2) i
n
n
max
1 i n
(
j 1
a
ij
x
(1) j
bi )
(
j 1
a
ij
x
(2) j
bi )
n
n
max 1 i n
a
ij
(
x
(1) j
j 1
x
(2 j
)
)
max
1 i n
a ij
j 1
x (1) j
x (2) j
max
1 i n
n
a ij
j 1
max
1 j n
x (1) j
x (2) j
( x (1)
x (2) )
T: RnRn是压缩映射。
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x 1
x
x
2
x
n
y 1
n
j
1
a
1
j
max
x[ x0 , x0
Ty
]
1 , Ty
2
x
max x[ x0 , x0 ]
x0 [ f ( t , y1 ( t ))
f ( t , y 2 ( t ))] dt
x
max x[ x0 , ( t ))
f ( t , y 2 ( t )) dt
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第3页
一、压缩映射及压缩映射原理 1.压缩映射及其不动点的定义
定义4.1 (压缩映射) 设X是距离空间，T：XX是X上的自映 射，如果存在0<1，对x,yX，都有
(Tx,Ty)(x,y)， 则称T是X上的一个压缩映射。
定理1 压缩映射是连续映射 事实上，{xn}X, xnxX, T:XX是压缩映射 (Txn, Tx)(xn,x)0 (n) T是连续映射
y y ( x ) C [ x 0 ,x 0 ]令 ,T ( y ( x ) ) y 0 x x 0f( t,y ( t) dt
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第12页
y1 y1 ( x ), y 2 y 2 ( x ) C [ x 0 , x 0 ],
(Ty 1 , Ty 2 )
n 1 mianxj 1ai
1 2
j xj xj
1m in ajx n1aijxj1 xj2
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由于
对每个
i,
n j1aij
1
故
n
1m ianxj 1aij1
从而 Tx1,Tx2
1 m jn axx j1xj2
1 2
C[x0-,x0+]={y=y(x)x[x0-, x0+], y(x)连续}， 则C[x0-, x0+]按如下距离(y1,y2)是完备的距离空间：
(y 1 ,y 2 ) x [x m 0 ,x 0 ] a y 1 (x ) y 2 (x )
dy
x
d x f(x ,y )y ,x 0 y 0 y (x ) y 0 x 0f(t,y (t)dt
(xn+k,xn)(xn+k,xn+k-1)+(xn+k-1,xn+k-2)+…+(xn+1,xn) (n+k-1+n+k-2+…+n)(Tx0,x0) (kN)
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n ( 1 k )
n
( x n k ,x n )1 ( T 0 ,x 0 x ) 1 ( T 0 ,x 0 x )
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第6页
注 1) 压缩映射原理给出了映射的不动点存在的条件；
2) 压缩映射原理提供了映射不动点的求法—迭代法:
x0X, 令xn=Txn-1, 则 xn=Tnx0 (n=1,2,…),
x=lim xn (n). 3)压缩映射原理给出了近似解的误差估计公式：
n
(x ,x n ) k l i m (x n k ,x n )1 (T 0 ,x 0 )
证 （结合推论4.1及例4.1即得证。） R是完备距离空间，函数f(x)是R到R的一个映射， x1,x2[x0-h, x0+h], 由拉格朗日中值定理, 有 (f(x1), f(x2))=f(x1)-f(x2)=f’()x1-x2(x1,x2)
f: RR是压缩映射 又(f(x0), x0)=f(x0)-x0(1-)h f(x)在[x0-h, x0+h]上有唯一的不动点x (推论4.2)， 且对于迭代xn+1=Txn，有
即原代数方程有唯一解且可用选代法求得：
~xnl im Tnx0
x
j
b1
y
y2
y3
Tx
n
j
1
a
2
j
x
j
b2
n
j
1
a
nj
x
j
bn
xA x bTx
由(T 于 1 ,x T 2 x ) (y 1 ,y 2 ) 1 m i n y i a 1 x y i 2 1 m i n a j n x 1 a ix j j 1 b i j n 1 a ix j j2 b i
(T n 0x ,T n 0) (x ,y )
则T存在唯一不动点x，即x=Tx. (其中定义：T2x=T(Tx), T3x=T(T2x),…,Tnx=T(Tn-1x),…)
证 x ,y X , n 0 N , [ 0 , 1 )( T ,n 0 x , T n 0 y ) ( x ,y )
T是n0X上的压缩映射
唯 x 一 X ,使 T n 0xx T n 0(T) x T n 0 1 x T (T n 0x ) Tx
x与Tx都是T 的n0 不动点 x=Tx （不动点的唯一性）
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3.压缩映射原理应用
应用压缩映射原理及其推论解决实际问题的步骤： 1) 说明X是完备距离空间； 2) 有实际问题定义映射T:XX，使x=Tx； 3) 证明所定义映射T是X上的压缩映射； 3) 有压缩映射原理说明不动点的存在唯一性。
x
lim
n
xn
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例4.3 设f (x,y)在R2上连续, 且关于y满足Lipschitz条件：
f (x, y1)-f (x,y2)ky1-y2 (k>0),则微分方程初值问题：
dy
f(x,y),
有唯一解。dx
yx0y0
证 R2完备, 且y(x)在R上连续, >0, 使=k<1, 令
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n
例4.3 设有线性方程组 xi aijxj bi,(i1,2,.n.).
n
j1
如果对每个i, aij 1, 则该方程组有唯一解。
j 1
证 Rn按距离 (y1,y2)m 1 ina xix yi 是完备的距离空间.
n
n
xi aijxj bi,(i1,2,.n .). xi aijxjb现方式做保护处理对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑并不能对任何下载内容负责
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第四节 压缩映射原理及其应用
• 压缩映射及其不动点的概念 • 压缩映射原理 • 压缩映射原理应用举例—求映射的不动点
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基本思想：
代数方程 微分方程 积分方程
x=Tx
x0 , xn+1=Txn
~ xT~ x
注：1）把“方程的求解”问题化归为“求映射的不动点”问 题 ，并用逐次逼近（即迭代）法求不动点（既近似解）的方法
是计算数学，分析和代数中常用的一种重要方法。例如，牛顿 求代数方程根时采用的切线法。 2）映射的不动点：使x=Tx的x称为T:XX的不动点.
x
max
x[ x0 , x0 ]
k
x0
y1(t)
y 2 (t ) dt
k
max
x[ x0 , x0 ]
y1(t)
y2 (t )
x
x0
k ( y1 , y 2 ) ( y1 , y 2 ) ( k 1)
T是压缩映射唯一y(x)C(x0-,x0+), 使
x
y ( x ) n l i y n ( m x )y ( x ,) ( T ) x ) ( y y 0 x 0 f ( t ,y ( t ) d , ) y ( x t 0 ) y 0 ,
事实上，由定理证明过程知
n ( 1 k )
n
k ,( x n k ,x n )1 ( T 0 ,x 0 x ) 1 ( T 0 ,x 0 x )
令k, 有极限保号性记即得证
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推论4.1 设X是完备的距离空间，T：XX. 如果T在闭球S(x0, r)上是压缩映射，并且 (Tx0, x0)(1)r (0<1) 则T在闭球S(x0, r) 中存在唯一的不动点。