近十年高考数学试题难度分析——基于全国理科卷（2010—2019）

［摘要］难度分析对于保证试题的信效度及区分度具有重要的理论意义。

纵向分析比较高考试题的难度，可以总结经
验教训，提升测评技术。

运用武小鹏的综合难度系数模型对2010年到2019年10年间的全国高考数学理科卷试题难度进行编码和统计分析，发现：十年来试卷的综合难度上下波动且起伏较大；运算水平、推理能力、知识含量的难度相对稳定；而背景因素、是否含参、思维方向、认知水平各年的难度变化相对较大；各年试卷难度分布基本服从正态分布。

基于已有数据对2020年的试卷进行预测，为试题命制和复习备考提供参考。

［关键词］高考；数学试题；难度；综合难度系数模型
［中图分类号］G633.6
［文献标志码］A
［文章编号］2096-0603（2020）10-0029-03
近十年高考数学试题难度分析①
———基于全国理科卷（2010—2019）
姚月卓，谢圣英
（湖南师范大学数学与统计学院计算与随机数学教育部重点实验室，湖南长沙410081）
一、问题提出
高考，即普通高等学校招生全国统一考试。

近年来，参加高考的人数逐年增加。

2019年，考生人数更是达到1035万。

高考作为中国最高规格的教育选拔机制，其分析和评价也是教育领域研究的重中之重。

相关学者数不胜数，各类研究浩如烟海。

综观已有研究，时间跨度大的纵向比较研究相对缺乏。

我们
迫切需要纵观近些年来的难度变化，从全局来比较高考数学试题的情况，以总结命题经验教训和预测未来难度走向，为一线教师的教学侧重点提供参考意见。

本文对2010年到2019年全国高考理科卷的难度进行纵向分析研究，以期帮助一线教师把握高考的考查规律和变化趋势，同时，为研究者提高命题质量，优化试卷结构提供参考。

二、研究内容（一）研究对象
2010年新课标卷I 卷、II 卷，2011—2015年全国高考数学理
科I 卷、II 卷，2016—2019年全国高考数学理科I 卷、II 卷和Ⅲ卷（2015年之后Ⅲ卷开始命制）。

（二）研究方法
考虑到传统的难度模型主要是针对教材习题，与以选拔性为目的的高考有些不匹配，基于试题编码的可操作性、考查题型的全面性等因素的综合考量，本文采用武小鹏的综合难度系数模型对近十年高考题目进行分析[1]，该模型是在鲍建生的难度模型的基础上针对高考试题改编的难度模型。

（三）研究过程
本研究从“背景因素、是否含参、运算水平、推理能力、知识含量、思维方向、认知水平”七个维度对2010年到2019年各年试题逐一进行分析和编码。

下面我们以2019年高考数学全国I 卷第9题为例，说明分析与编码过程（见表1）。

表1难度编码举例
题目
因素水平编码内涵赋值
例.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，
已知S 4=0，a 5=5，
则
A.a n =2n -5
B.a n =3n -10
C.S n =2n 2-8n
D.S n =12
n 2-2n 背景因素无背景A1对知识点直接进行考查1是否含参
无参数B1不含有任何参数
1
运算水平简单符
号运算C3在运算时涉及符号，但仅包含简单的数理逻辑推理
3
推理能力简单
推理
D1
{a n }根据已知条件是等差数列以及S 4，a 5的值，列出a 1和d 的两个二元一次方程，解得a 1与d 的值，从而求出数列的通项和前n 项和，涉及的数学知识背景比较熟悉，且推理步骤较少
1
知识含量一个知识点E1涉及等差数列的相关知识1思维方向顺向思维F1
按照现有的知识安排顺序，顺向直接解决问题
1
认知水平
理解
G1对等差数列的通项和前n 项和
直接考查，仅需要理解这个知识就可以解决
1
考虑到高考试卷中一道主观题所占的分值为12分，一道客观题所占的分值为5分，且一道主观题包含的两个小题在各个因素的划分也不尽相同，故将一道主观题分为两个题目分别编码赋值。

依据难度系数模型对十年高考题目进行分析编码，得到原始数据，进而计算得到各年各因素的难度系数，之后根据各因素的权重系数得到各年试卷的综合难度（详见附录）。

①基金项目：湖南省教育厅科研一般项目（项目编号：15C0873）。

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三、研究结果
将近十年高考数学试题各个因素的难度系数分别进行标准化处理，然后对近十年试题的综合难度和影响试题综合难度的七个因素分别讨论分析。

之后，对每套试卷的难度分布进行正态性检验，并利用十年的难度数据尝试对2020年的高考试题进行预测。

（一）试题综合难度变化
考虑到I 卷、II 卷和Ⅲ卷测试对象的省份不同，故先分别比较三套试卷十年的各自难度变化情况，再观察整体平均难度的变化（如下图）。

20102011201220132014201520162017201820192010201120122013201420152016201720182019
32.521.510.50-0.5-1-1.5
-232.521.510.50-0.5-1
-1.5
-2
图1
全国I 卷难度变化
图2全国II 卷难度变化
201020112012201320142015201620172018201932.521.510.5
0-0.5-1-1.5-2
2010201120122013201420152016201720182019
32.521.510.5
0-0.5-1-1.5-2图3全国Ⅲ卷难度变化图4全国卷平均难度变化
十年来，全国I 卷起伏变化较大，基本处于一年简单一年难的趋势，于2017年达到最高；全国II 卷在2010—2013年变化浮动较大，而之后难度变化趋于平缓，并有逐渐下降的趋势；全国Ⅲ卷在2016年之后才开始命制，从近四年的变化情况来看，其难度也是上下浮动。

而从整个全国卷的平均难度来看，十年来难度变化较为明显，虽然难度变化依旧是上下起伏，但是变化情况近些年来逐渐趋于稳定。

（二）各因素难度变化
各因素变化如下图所示。

运算水平、推理能力、知识含量作为相对传统的考查点，十年来其考查难度相对稳定（图5）。

而背景因素、是否含参、思维方向、认知水平各年的难度变化相对较大（图6）。

背景因素近年来其难度整体增加，分别于2016和2019年达到峰值；在参数水平上，2013、2014年达到最高点，之后难度逐渐下降；从思维方向来看，逆向思维的考查在2014年达到最高，但纵观十年来看，虽然每年变化较大，但整体保持稳定态势；而对于认知水平的考查，于2012年达到最高，其后难度变化较为稳定。

2010201120122013201420152016201720182019
543210-1-2-3-4
-5
运算水平推理能力知识含量
图5
运算水平、推理能力、知识含量的变化曲线
2010201120122013201420152016201720182019
-2-3
-4
背景因素
是否含参思维方向认知水平
图6背景因素、是否含参、思维方向、认知水平的变化曲线
利用SPSS25.0对影响试题难度的七个因素的变化趋势分别进行相关性检验（检验结果详见附录），统计分析结果显示：知识含量、运算水平、推理能力三个因素的变化显著相关（p <0.05），而其他四个因素，背景因素、是否含参、思维方向、认知水平没有显著的相关关系（p >0.05）。

（三）难度分布的正态性检验
对每份试卷的每道题目的编码结果进行加权计算，得到每道题目的难度，统计出每份卷子各个题目的难度，利用SPSS 将得到的数据进行正态性检验，以2019年I 卷为例。

表2
正态性检验
柯尔莫戈洛夫-斯米诺夫a 夏皮洛-威尔克统计
自由度显著性统计自由度显著性VAR00001
.161
30
.045
.924
30
.035
a.里利氏显著性修正
统计结果显示，各年各份试卷的难度分布均服从正态性检验。

（四）难度预测
利用SPSS 对十年来各个因素的变化进行线性拟合，并预测
2020年各个因素难度变化的可能情况，如下表所示。

表3
各因素难度预测
年份背景因素是否含参运算水平推理
能力知识含量思维
方向认知水平2020 1.07 1.99 3.59 1.23 1.99 2.13 1.972019
1.20
1.12
2.99
1.28
1.67
1.14
1.80
预测结果显示，七个因素中，是否含参、运算水平、知识含量、思维方向以及认知水平的难度相较于2019年均有上升，而背景因素和推理能力的难度则有所下降。

四、结论与思考
闭卷笔试、用分数来量化学业成就水平依旧是当前高考的主要评价方式，所以作为一线教师需要掌握高考的趋势，能进行试题分析，提高对题目的判断力，思考并解决一些问题，以促进教
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师专业素养的发展。

[2]本文利用武小鹏的综合难度系数模型对2010—2019年十年间共25份高考数学全国卷进行编码统计，使一线教师和研究学者对近些年高考试题的难度变化有一个大致的了解，基于大量的数据分析处理，得到以下结论并尝试做出建议，以期帮助一线教师把握高考的考查规律和变化趋势，并且为研究者提高命题质量，优化试卷结构提供参考。

（一）总体难度上下波动，难度分布基本稳定
研究结果显示，试卷总体难度每年都处于上下浮动之中，部分年份之间甚至有较大差异。

高考作为决定很多考生命运的关键一环，难度有适当的变化有助于打破僵化，保持高考的灵活性，也有助于教师平常教学的侧重点把握，但是每年变动太大，则会使教师在知识点的课程安排和复习中感到迷茫，所以应将这一变化控制在合理的范围之内，尽量保证每年的难度趋于稳定。

[3]而对各年试卷的难度进行正态性检验，基本服从正态分布，合理的难度分布也是试卷有效区分度的保证，目前，也有部分研究利用计算机控制试题难度呈正态分布，以保证试卷对不同层次考生的有效区分。

[4]
（二）各个因素变化莫测，未来难度如何变化
观察十年来各因素的难度变化，运算水平、推理能力、知识含量的难度变化相对稳定，它们作为传统的考查点，各年高考试卷的考查趋于一致，但稳中有变，在保持稳定性的同时又不乏灵活性，也说明各个命题教师和专家对这三方面因素掌控情况相对较好。

但对于背景因素、是否含参、思维方向、认知水平这四个因素来说，各年的难度变化相对较大。

因此可以尝试从这四个方面入手，去调整试卷难度。

拟合结果显示，是否含参、运算水平、知识含量、思维方向以及认知水平的难度相较于2019年均有所上升。

此结果与新课程标准的要求一致，林仁波基于新课标分析了高考数学发展的新方向：重视基本的计算能力，提高对数学知识的综合应用能力和转化能力，进一步创新数学命题方式，逐步拓宽高考数学的选材范围，将相应的数学知识与学生的数学思维能力结合在一起，培养新型综合性人才。

[5]
所以在备考时，要注意总结归纳含参问题以及逆向思维问题的解题步骤与思考过程，加强运算基本功的练习，注意各个知识点运用的灵活性，尤其是知识网络的交汇点的命题。

背景因素和推理能力的难度虽有所下降，但是目前大力提倡数学文化的应用，在今后的高考试卷中可能仍会加大数学文化的渗透，如2019年理科I卷第4题的“黄金分割”和第六题的“重挂”。

教师应努力提高自身的数学文化素养，更新评价理念,全方位关注学生的数学情感与态度[6]，思考如何在日常教学过程中渗入数学文化元素，如何提升学生欣赏和应用数学的能力素养。

（三）灵活变通试卷结构，增大试题主体难度
试题统计难度的影响因素,通常需要从主客体两个方面予以研究，即被试群体的实际水平,以及试题本身的复杂程度，是主客体相互作用的结果。

[7]通过分析十年的高考理科全国卷，发现虽然各年难度变化起伏不定，但是试卷的结构相对稳定，16道单选+4道填空+5道大题+2道选做题（2016年之前为3道选做题），但是近两年全国卷也尝试在试卷结构上做了部分调整与探索，比如2019年全国II卷第16题由之前的单空改为了两空，由此，考生的分数也由之前的0分改为5分，评价进一步细分，有利于提高试卷的区分度。

基于此，选择题也可以尝试适当采用多选的形式，分情况计分，多选题相较于单选题，需要考生对每个选项逐个判断，对被试而言难度增大，有利于综合考查学生的能力以及提高试卷的区分度。

参考文献：
［1］武小鹏，张怡.中国和韩国高考数学试题综合难度比较研究［J］.数学教育学报，2018，27（3）：19-24，29.
［2］昌国良.中学数学教师专业素养的发展［J］.教育教学论坛，2014（41）：25-27.
［3］邹丽华.中考物理试题难度的设置与控制［J］.物理通报，2014（3）：107-109，112.
［4］潘刚.智能组卷系统中试题难度正态分布算法的研究［J］.云南民族大学学报（自然科学版），2018，27（4）：326-334.
［5］林仁波.谈新课改背景下高考数学的发展动向［J］.西部素质教育，2016，2（22）：164.
［6］谢圣英，沈文选.透视数学表现性评价［J］.数学教育学报，2006（1）：22-24，98.
［7］罗玛，王祖浩.教育考试中试题难度的测评研究：影响因素、评估方法及启示［J］.教育测量与评价，2016（9）：52-57，64.
附表
各年难度数据
年份背景因素是否含参运算水平推理能力知识含量思维方向认知水平
2010 1.14 1.18 3.13 1.33 1.80 1.17 1.94
2011 1.10 1.13 3.05 1.27 1.74 1.08 1.75
2012 1.13 1.18 2.99 1.28 1.72 1.13 2.07
2013 1.09 1.28 2.91 1.19 1.69 1.11 1.80
2014 1.14 1.28 2.94 1.23 1.56 1.22 1.75
2015 1.17 1.23 2.89 1.19 1.55 1.17 1.72
2016 1.20 1.19 2.94 1.24 1.60 1.18 1.79
2017 1.16 1.18 3.07 1.30 1.73 1.09 1.83
2018 1.14 1.22 2.90 1.21 1.70 1.16 1.73
2019 1.20 1.12 2.99 1.28 1.67 1.14 1.80
因编辑曾彦慧
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