2020年初三数学中考复习 ：等腰三角形和直角三角形 知识点梳理和练习 无答案

等腰三角形和直角三角形
知识框架
知识点梳理:
一、等腰三角形
1.等腰三角形定义：有相等的三角形叫做等腰三角形。

2.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角，简称：等边对等角。

（2）等腰三角形的、、互相重合，简称：三线合一。

等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是。

3.等腰三角形的判定：有相等的三角形是等腰三角形；（2）有相等的三角形是等腰三角形。

4.等边三角形：的三角形叫做等边三角形；等边三角形的每个角都是，各边；等边三角形的外心、、互相重合成一点；等边三角形是轴对称图形，有条对称
轴；若等边三角形边长为a,则其外接圆半径R=,内切圆半径r=,一边上的高h=,其面积S=.
5.等边三角形的判定：
（1）的三角形是等边三角形；
（2）三个角的三角形是等边三角形；
（3）有一个是60°的是等边三角形。

二、直角三角形
1.直角三角形定义
（1）有一个角是的三角形叫做直角三角形。

2.直角三角形的性质
（1）直角三角形中，两个锐角；（2）直角三角形中，斜边上的中线等于；（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于。

3.直角三角形的判定
（1）两个内角的三角形是直角三角形（2）有一边上的等于这边的一半的三角形是直角三角形。

4.勾股定理及其逆定理
（1）勾股定理：直角三角形的两直角边a、b 的，等于斜边c的，即：。

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、 c有关系：，那么这个三角形是直角三角形。

故勾股定理的逆定理可以判断某三角形是否为直角三角形、证明两条线段是否垂直。

D
F E
A B
C
复习练习
1已知等腰三角形的两边长为2和5，则它的周长为（ ） A ．12或9 B ．12 C ．9 D ．7
2某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端拴一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们由此确信房梁是水平的，它们判定的依据是（ ）
A ．等边对等角
B ．等角对等边
C ．等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合
D ．等腰三角形平分线与底边上的中线重合
3如图，在△ABC 中，BE 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，过点E 作DF ∥ BC 交AB 于D ，交AC 于F ，若AB =4, AC=3，则△ADF 周长为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．10
4． 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ． 若∠CBD : ∠DBA =3:1，则∠A 为（ ）．
A ．18°
B ．20°
C ．22.5°
D ．30°
E
D C B
A
N
M
5．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（）．
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6. 如图所示，长方形ABCD中，AB=4，BC=43，点E是折线段A
—D—C上的
一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的
过程中，能使△PCB为等腰三角形
．．．．．的点E的位置有（）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7. 如下图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）
A．14 B.16 C.20 D.28
8. 某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C 上升的高度h是（）
A．43m B．8 m C．83
3m D．4 m A
B C
D
E
P
A
C D
15h
9.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题: 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远, 问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x 尺，则可列方程为（ ）
A ．223(10)x x -=-
B ．2223(10)x x -=-
C ．223(10)x x +=-
D ．2223(10)x x +=-
10．如图，钝角三角形纸片ABC 中，∠BAC＝110°，D 为AC 边的中点．现将纸片沿过点D 的直线折叠，折痕与BC 交于点E ，点C 的落点记为F ．若点F 恰好在BA 的延长线上，则∠ADF ＝ ．
11. 如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边的中点，点 E 在AC 的延长线上，且∠CDE =30°．若
DE=_________．
12.如图，在∆ABC 中，AD 平分∠BAC ，⊥BD AD ，点E 是BC 的中点，连结DE ,且6=AB ，10=AC ，则=DE .
12.下图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等
E
C
D A
B
D
A
E
B
C
式 .
13.2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》．其中的“弦图”是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.如果直角三角形的直角边分别为a，b（a>b），斜边为c，那么小正方形的面积可以表示为___________．
14.如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数
据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为米．（结果保留根号）
15.如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C=90，AC=6，BC=8．小静同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则m，n的大小关系是．
A
B C
b
a
a b
16．下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的高作等腰三角形”的尺规作图的过程．
已知：如图1，线段a 和线段b ．
求作：△ABC ，使得AB = AC ，BC = a ，BC 边上的高为b ． 作法：如图2，
① 作射线BM ，并在射线BM 上截取BC = a ； ②作线段BC 的垂直平分线PQ ，PQ 交BC 于D ； ③ 以D 为圆心，b 为半径作圆，交PQ 于A ； ④连接AB 和AC ．
则△ABC 就是所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明：
证明：由作图可知BC = a ，AD = b ．
∵ PQ 为线段BC 的垂直平分线，点A 在PQ 上， ∴ AB = AC （ ）（填依据）． 又∵ AD 在线段BC 的垂直平分线PQ 上， ∴ AD ⊥BC ．
∴ AD 为BC 边上的高，且AD = b ．
17．下面是小东设计的“已知两线段，求作直角三角形”的尺规作图过程． 已知：线段a 及线段b （a b ）．
图1
图2
M
D B
求作：Rt△ABC，使得a ，b 分别为它的直角边和斜边． 作法：如图，
①作射线CM ，在CM 上顺次截取CB BD a ==；
②分别以点C ，D 为圆心，以b 的长为半径画弧，两弧交于点A ； ③连接AB ，AC ．则△ABC 就是所求作的直角三角形． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）补全图形，保留作图痕迹； （2）完成下面的证明． 证明：连接AD
∵ =AD ，CB= ，
∴90ABC ∠=︒（ ）（填推理的依据）．
18.如图，河的两岸l 1与l 2互相平行，A 、B 是l 1上的两点，C 、D 是l 2上的两点．某同学在A 处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB 方向走20米到达点E （即AE=20），测得∠DEB=60°.求：C ，D 两点间的距离．
1
19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90 °，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC 于点E，BF∥DE交CD于点F．
求证： DE=BF．
20．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC于点E，且AE=CE，DE=5，EB=12．
（1）求AD的长；
（2）若∠CAB=30°，求四边形ABCD的周长．
A
C D
E
21.已知：如图，Rt△ABC，BM是边AC上的中线，AC=AD，N是CD边中点，连接MN.
求证：△BMN是等腰三角形
22.如图△ABC中，∠C=90°，M是CB的中点，MD⊥AB于D，请说明三条线段AD、BD、AC总能构成一个直角三角形.
A
D
23.△ABC是等边三角形，以点C为旋转中心，将线段CA顺时针方向旋转60°得到线段CD，连接BD交AC于点O．
（1）如图1，
①求证：AC垂直平分BD；
②点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND=NM，连接BN，判断△MND 的形状，并加以证明；
（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段AO上，且ND=NM，补全图2．求证： NA = MC．
24．如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD 与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．。