2016山东省高考数学理科试题及完美解析

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2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
第I 卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =
(A) 12i + (B) 12i - (C) 12i -+ (D) 12i -- （2）设集合{
}
{
}
2
2,,10,x
A y y x R
B x x ==∈=-<，则A B U =
(A) (-1,1) (B) (0,1) (C) (-1,+) (D) (0,+) （3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位:小时），制成了如图所示的频率分布直方图，期中自习时间的范围是
[]
17.5,30，样本数据分组为
[)[)[)[)[)17.5,20,20,22.5,22.5,25,25,27.5,27.5,30,根
据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
(A)56 (B) 60 (C) 120 (D) 140
（4）若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
，则22
x y +的最大
值是
(A) 4 (B)9 (C) 10 (D)12 （5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为 (A)
1233π+
(B) 13
(C) 136+
(D) 16
+
（6）已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（7）函数())
cos sin f x x x
x x =+-的最小正周期是
（A ）2
π
（B ）π （C ）
32
π
（D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足43m n = ，1cos ,3
m n = ，()
n tm n ⊥+
，则实数t 的值为
（A ）4 （B ）4-
（C ）
94 （D ）94
-
（9）已知函数()f x 的定义域为R .当0x <是，()2=1f x x -；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当1
2
x >
时，1122f x f x ⎛⎫⎛
⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则()6f =
（A ）2- （B ）1-
（C ）0 （D ）2
（10）若函数()y f x =的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）x y e = （D ）3y x =
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 （11）执行右边的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________. (12)若2
5
(ax
+
的展开式中5x 的系数是80-，则 实数a =_______.
（13）已知双曲线E 1：22
221x y a b
-=()0,0a b >>，若矩形
ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个
焦点，且23AB BC =，则E 的离心率是_______.
（14）在[]1,1-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆()2
259x y -+=相交”发生的概
率为 .
（15）已知函数2||,
()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，.若存在实数b ，使得关于x 的方程
()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

（16）（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知A
B
B A B A cos tan cos tan )tan tan 2+=+（
（Ⅰ）证明：2a b c +=； （Ⅱ）求cos C 的最小值. （17）（本小题满分12分）
在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线。

（I ）已知，分别为，的中点，求证： ； （II ）已知，，求二面角的余弦值。

（18）（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+。

（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令1(1).(2)n n n n
n a C b ++=+求数列{}n C 的前n 项和n T .
（19）（本小题满分12分） 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动中甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。

已知甲每轮猜对的概率是
43，乙每轮猜对的概率是3
2
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，假设“星队”参加两轮活动，求： （Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX . （20）（本小题满分13分）
已知()2
21
()ln ,x f x a x x a R x -=-+
∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）当1a =时，证明()3
()'2
f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. （21）（本小题满分14分）
平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞
的离心率是2
，抛物线E ：
22x y =的焦点F 是C 的一个顶点。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点
B A 、，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于X 轴的直线交于点M .
（i ）求证：点M 在定直线上；
（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求1
2
S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.
2016年普通高等学校招生全国统一考试答案解析（山东卷）
理科数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）答案：B
解析：设,z a bi z a bi =+=-，则
2()()32a bi a bi i ++-=-
332a bi i +=- 1,2a b ∴==-
12z i ∴=-
复数的运算题目，考察复数的加法及共轭复数，难度较小。

（2）答案：C
{}2,x A y y x R ==∈
={|0}A y y ∴>
{}
210,B x x =-< {|11}B x x ∴=-<< 0A B ∴=+∞ （，）
解析：集合运算题目，基础题目，难度较小。

（3）答案：D 解析：
由频率分布直方图可知：组距为2.5，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：
0.16+0.08+0.04 2.5=0.7⨯（） ∴人数是2000.7=140⨯人
频率分布直方图题目，注意纵坐标为频率/组距，难度较小。

（4）答案：C
作图：
可见当取点A 时取最大值，最大值为22
3-110+
=（） 解析：线性规划题目，考察到原点的距离的平方，难度较小。

（5）答案：C 解析：
由三视图可知，此几何体是一个正三棱锥和半球构成的，体积
为
31
412111
++332236
π⨯⨯⨯⨯（ 考察三视图以及几何体的体积公式，题面已知是半球和四棱锥，由三视图可看出是正四棱锥，
难度较小。

（6）答案：A 解析：
若直线相交，一定有一个交点，平面一定有一条交线，所以是充分条件；两平面相交，平面内两条直线关系任意。

（7）答案：B 解析：
22()2sinxcosx sin 222sin(2)3
f x x x x x x π
=+=+=+，
最小正周期222
T πππω=== （8）答案：B
解析：
()n tm n ⊥+ ，()0n tm n ∴⋅+= ，2
||||cos ,||0t m n m n n ∴<>+=
4||3||m n = ，1cos ,3m n <>= ，231||||||043t n n n ∴+= ，104
t
∴+=，既4t =-。

（9）答案：D 解析： 当12x >
时，11
()()22
f x f x +=-，既()(1)f x f x =+，周期为1，(6)(1)f f =。

当0x <时，3()1f x x =-，且11,()()x f x f x
-≤≤-=-，(6)(1)(1)2f f f ∴==--=。

（10）答案：A 解析：
T 函数的特征是存在两点切线垂直，既存在两点导数值相乘为1-； B 选项中ln y x =的导数是1
y x
'=
恒大于0，斜率成绩不可能为1-； C 选项中x y e =的导函数x y e '=恒大于0，斜率成绩不可能为1-； D 选项中3y x =的导函数23y x '=恒大于等于0，斜率成绩不可能为1-。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 （11）答案：3 （12）答案：-2
解析：
2515()r r r r T C ax -+=，5105,22r r -==，5x 的系数为23
580C a =-，2a ∴=-
（13）答案：2
解析： 由题可知：3
(,
)2
D c c 带入双曲线方程：
2222
222
222222422222222339()()22411933
422
2232320
(21)(2)02
c c c c c c a a b a b a b
b a
c b a c c a ac
c a ac e e e e e --=⇒-=⇒==⋅⇒=⋅⇒-=-=⇒--=+-=∴= （14）答案：
34
解析：
直线y kx =与圆2
2
(5)9x y -+=相交，所以圆心(5,0)到直线0kx y -=距离小于半径
3r =
2223
|5259(1)933144433()
34
41(1)4d k k k k k P ∴=
=
<∴<+∴<
⇒-<<--∴==--
（15）答案：3m >
解析：
有题可知，如图所示时存在b 有三个不同的根
2222
||24430(3)03
m m m m m m m m m m m m >-+>-+->->>
三、解答题：本大题共6（16）解析：
（Ⅰ）2(tan tan )cos cos sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos sin cos sin cos sin sin 2()cos cos cos cos cos cos 2sin()sin sin 2sin sin sin 2A B B A
A B A B A B A B B A
A B B A A B
A B A B B A
A B A B C A B c a b +=
+
++=⋅⋅+=+
⋅⋅+=+=+=+
（Ⅱ）b a c +=2
ab c b a C 2cos 222-+==
ab
b a ab b a 22)2)2
2
⎪
⎭⎫ ⎝⎛+--+（
=
ab
ab b a 22)23
2
-+（
=12232
-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅ab
b a 123-⋅≥ab ab =21
，当且仅当b a =时取等号 C cos ∴的最小值为
2
1。

主要考察弦化切，解三角形边化角以及均值不等式相结合 17．解析：
（I ）证明：取中点，连接 在中点和分别为和的中点
为母线 ;;；
同理：在中可知，； ， 又，。

（II ）方法一：
连接,作于点，于点； 垂直底面，，。

即为二面角的平面角； ，，
，为等腰直角三角形, ;
在中：， 在中：, 在中 ，
二面角的余弦值为。

（II ）方法二：
分别以OA 、OB 、OO’建立x 、y 、z 轴，则
O
()
0,0,0O ’
()
3,0,0A
()
,0,32B
()
,32
,0C
()
,0,32
-F
()
3,3,
0.
()3,3,32---=FC ，(
)
3,3,0-=FB
则平面ABC 的法向量()3,0,0'
1==OO n ，
设平面FCB 的法向量为()z y x n ,,2=，则02=⋅n ，02=⋅n ，得()
1,3,32-=n
∴()()7
71
3331
,3,33,0,0cos 2=
++⋅-
⋅=
=
θ 所以二面角F-BC-A 的余弦值为7
7 （18）解析：
（Ⅰ）238n S n n =+①
2-13(1)8(1)n S n n =-+-②
-①②得：22383(1)8(1)=65n a n n n n n =+----+
111S =也符合=65n a n +
=65n a n ∴+
由1n n n a b b +=+
1121211a b b b d =+=+= 22312317a b b b d =+=+=
解得：13,4d b ==
1(1)31n b b n d n ∴=+-=+
（Ⅱ）11
1(1)(66)(33)26(1)2(2)(33)
n n n n n n n n n a n C n n b n +++++===+⋅=+⋅++ 123123123116[2232422(1)2]26[
2232(1)22(1)2]n n
n n n n n n T C C C C n n T n n n --+=++++=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅=⋅+⋅++-⋅+⋅++⋅ ①
②
∴①-②得： 231112
26[4222(1)2]
4(12)6[4(1)2]12
3232n n n n n n n n T n n n T n +-+++-=++++-+⋅-=+-+⋅-=-⋅∴=⋅
（19）解析： 解：（Ⅰ）12131410P =⨯==）
（X 31431P ⨯=
=）（X +1253241=⨯ 2
132432P =⨯==）（X 记事件A 为至少猜对3个成语
3
221211252121125A P =⨯+⨯+⨯=）（ （Ⅱ）X=0,1,2,3,6 P(X=0)=
121×121=144
1 P(X=1)=12C ×121×125=72
5 P(X=2)=125×125=144
25 P(X=3)=12C ×121×21=12
1 P(X=4)=12C ×125×21=12
5 P(X=6)=21×21=41
EX=0＋1×72＋2×144＋3×12＋4×125＋6×6
2341= （20）解析：
则
(i)
当时 ， 上单调递减； (ii)
○
1 上单调递减；
○
2 上单调递增；
○
3 上单调递减；
（II ）因为 ，则。

（21）解析：
,2
3210==I a c e ），椭圆离心率，）抛物线焦点坐标为（（.14,1,2
122=+∴==∴y x a b 椭圆方程为
,1
41,1
44)52,0(,00
14)14).,),,21x 21)()(y y 212.0,0),,(i 2040
2120302120403022022112002000000`202
00000+-=∙+=++∈>∆=-+-+-=+
-=+-=∴===>>II x x x x x x x x x x x x x x AB y x B y x A x x x x x x y x x x AB x x y y x y x y x P 解得（中得直线方程带入椭圆方程将（（设直线方程为导数方程抛物线点坐标为）法一：设）（（
上。

点在定直线，纵坐标为横坐标为交点轴垂直的直线相交时点与与过当直线方程为，点坐标为（4
14
1
-,41,1
4)(),2
200
202020210212121-=∴-=∴+-=-+=+++y M x M X P OD x y OD x x x x x x y y y y x x D 上。

点在定直线整理得（在椭圆上满足
点切线方程设韦达定理。

点差法解题，可以不用法二41).4
1,(),4,(,41:410
820
))((4))(0
440
44,,
:00002121212122222121,0-=∴-∴=--
=∴=-==+=+-++-=-+=-+=+=y M x M x k k x x M x k y OM K k
x y ky x y y y y x x x x y x y x B A x k m kx y P OM D D D D
）。

，点坐标为（，此时最大值为），点坐标为（此时满足时取得。

验证，即当且仅当整理得设）（，坐标（轴交点与时，）当（4122494
122.02
1t 144
941422)12(22)12(2108t ,)12()14)(1(2),1
42)(2141(212
12121),2
1-00ii 2120222212022020202120300202200120P S S P x t t t
t t t t t S S t x x x x S S x x x x S x x S x G Y AB x ∴>∆==≤+++=++=+++==+++=+-+=+=∴=。