高中数学教案】人教A版必修5第一章1.2《解三角形应用举例》教案

《解三角形应用举例》教案
一、教学目标
1.知识与技能
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.
2.过程与方法
（1）通过解决“底部不可到达的物体高度测量”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形的问题的方法.
（2）进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力.
3.情感、态度与价值观
进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
二、教学重点和难点
教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.
教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.
教学关键：将实际问题中的高度问题转化为数学问题.
教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法，步步改进方法，探求最佳方法.
三、教法与学法导航
教学方法：
本节课是解三角形应用举例的延伸.采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架.通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法.教学形式要坚持“引导——讨论——归纳”，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯.作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.
学习方法：
学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.
四、教学过程
1.创设情境，导入新课
提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.
2.主题探究，合作交流
例1 如图1，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.
图1
分析：求AB 长的关键是先求AE ，在△ACE 中，如能求出点C 到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由点C 观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长.
解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上.在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD =a ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得： )sin(sin βαβ-=a AC ， h a h AC h AE AB +-=
+=+=)sin(sin sin sin βαβαα. 例 2 如图2，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角
0454'︒=α，在塔底C 处测得A 处的俯角150'︒=β.已知铁塔BC 部分的
高为27.3 m ，求出山高CD （精确到1m ）.
图2
教师：根据已知条件，大家能设计出解题方案吗（给时间给学生讨论思考）？若在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？
学生：需求出BD 边.
教师：那如何求BD 边呢？
学生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD=α求得.
解:在△ABC 中，∠BCA =90°+β，∠ABC =90°-α，∠BAC =αβ-，∠BAD =α.根据正弦定理， )sin(βα-BC =)90sin(β+︒AB
.
所以 AB =)sin()
90sin(βαβ-+︒
BC =)sin(cos βαβ
-BC .
在Rt △ABD 中，得：
BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βαα
β-BC .
将测量数据代入上式，得：
BD =)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-''
'︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27''
'︒︒︒
≈177.4（m ）.
CD =BD -BC ≈177-27.3=150（m ）.
学生：山的高度约为150 m.
教师：有没有别的解法呢？
学生：若在.△ACD 中求CD ，可先求出AC .
教师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？
学生：同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得.（解题过程略）
例3 如图3，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD （精确到1m ）.
图3
教师：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
学生：在△BCD 中
教师：在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？ 学生：BC 边
解:在△ABC 中， ∠A =15°，∠C = 25°-15°=10°，根据正弦定理，
A BC sin =C
AB sin ， BC =C A AB sin sin =︒︒10sin 15sin 5≈7.452 4（km ）. tan tan81047(m)CD BC DBC BC =⨯∠≈⨯︒≈
答：山的高度约为1047m.
教材第15页练习第1、2、3题.
3.小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.
4.课外作业
（1）教材第19、20页习题1.2 A 组第6，7，8题
（2）为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？
答案：20+
3320m。