2021年高考数学大一轮复习 第二节 不等式的证明课时作业 理(选修4-5)

2021年高考数学大一轮复习第二节不等式的证明课时作业理（选修
4-5）
一、填空题
1．设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m与n的大小关系是________．解析：∵a>b>0，∴m＝a－b>0，n＝a－b>0.
∵m2－n2＝(a＋b－2ab)－(a－b)
＝2b－2ab＝2b(b－a)<0，
∴m2<n2，从而m<n.
答案：m<n
2．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b
2
，y＝a＋b，则x，y的大小关
系是y__________x(填“>”、“<”、“＝”)．
解析：x2＝1
4(a＋b)2＝
1
4
(a＋b＋2ab)，
y2＝a＋b＝1
2
(a＋b＋a＋b)≥
1
2
(a＋b＋2ab)>
1
4
(a＋b＋2ab)．又x>0，y>0，
∴y>x.
答案：>
3．已知a、b、c、d均为正数，且a2＋b2＝4，cd＝1，则(a2c2＋b2d2)(b2c2＋
a2d2)的最小值为________．
解析：(a2c2＋b2d2)(b2c2＋a2d2)＝(a2c2＋b2d2)·(a2d2＋b2c2)≥(a2cd＋b2cd)2＝(a2＋b2)2＝42＝16.
答案：16
4．若a，b均为正实数，且a≠b，M＝a
b
＋
b
a
，N＝a＋b，则M、N的大
小关系为________．
解析：∵a≠b，∴a
b
＋b>2a，
b
a
＋a>2b，
∴a
b
＋b＋
b
a
＋a>2a＋2b，
∴a
b
＋
b
a
>a＋b.即M>N.
答案：M>N
5．若直线3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为________，最小值点为________．解析：由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，
得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥
4 25
.
当且仅当x
3
＝
y
4
时等号成立，为求最小值点，
需解方程组⎩⎨⎧
3x ＋4y ＝2，
x 3＝y
4.
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝625，y ＝825.
因此，当x ＝
625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为4
25
，最小值点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫6
25，825. 答案：425 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫6
25，825
6．记S ＝
1210＋1210
＋1＋1210＋2＋…＋1
211－1
，则S 与1的大小关系是________． 解析：∵1210＋1<1210，1210＋2<1
210，…，
1211－1＝1210＋210－1<1
210
， ∴S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋…＋1210＝1.
答案：S <1
7．若x ＋2y ＋4z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是________． 解析：∵1＝x ＋2y ＋4z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋16， ∴x 2＋y 2＋z 2≥121，当且仅当x ＝y 2＝z 4
，
即x ＝121，y ＝221，z ＝421时x 2＋y 2＋z 2
的最小值为121
.
答案：1
21
8．以下三个命题：①若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；②若a 、b ∈R ，则|a ＋b |
－2|a |≤|a －b |；③若|x |<2，|y |>3，则|x y |<2
3
，其中正确命题的序号是________．
解析：①|a |－|b |≤|a －b |<1，所以|a |<|b |＋1； ②|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |， 所以|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；
③|x |<2，|y |>3，所以
1
|y |<13，因此|x ||y |<23. ∴①②③均正确． 答案：①②③
9．若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2＋1
3c ＋2的最小值为
________．
解析：由柯西不等式可得(3a ＋2＋3b ＋2＋3c ＋2)⎝
⎛⎭⎪⎫1
3a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥(1＋1＋1)2，即
9⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥9，所以13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1(当且仅当a ＝b
＝c 时取等号)．
答案：1
二、解答题
10．(1)设x ，y 是不全为零的实数，试比较2x 2＋y 2与x 2＋xy 的大小；
(2)设a ，b ，c 为正数，且a 2＋b 2＋c 2
＝1，求证：1
a 2＋1
b 2＋1
c
2－
2
a 3＋
b 3＋
c 3
abc
≥3.
解：(1)解法1：2x 2
＋y 2
－(x 2
＋xy )＝x 2
＋y 2
－xy ＝⎝
⎛
⎭⎪⎫x －12y 2＋34y 2.
∵x ，y 是不全为零的实数，
∴⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －12y 2＋34y 2>0，即2x 2＋y 2>x 2＋xy . 解法2：当xy <0时，x 2＋xy <2x 2＋y 2；
当xy >0时，作差：x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy >0； 又x ，y 是不全为零的实数， ∴当xy ＝0时，2x 2＋y 2>x 2＋xy . 综上，2x 2＋y 2>x 2＋xy .
(2)证明：当a ＝b ＝c 时，取得等号3.
作差比较：1
a 2＋1
b 2＋1
c
2－
2
a 3＋
b 3＋
c 3
abc
－3
＝a 2＋b 2＋c 2a 2＋a 2＋b 2＋c 2b 2＋a 2＋b 2＋c 2c 2－2a 3＋b 3＋c 3abc
－3
＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋1c 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1c 2＋c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2bc ＋b 2ac ＋c 2ab
＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1c 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1a 2＋c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a －1b 2>0.
∴1
a 2＋1
b 2＋1
c
2－
2
a 3＋
b 3＋
c 3
abc
≥3.
11．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M . (1)求M ；
(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. 解：(1)f (x )<4，即|x ＋1|＋|x －1|<4， 当x ≤－1时，－x －1＋1－x <4，得x >－2， ∴－2<x ≤－1；
当－1<x <1时，x ＋1＋1－x <4，得2<4，恒成立， ∴－1<x <1；
当x ≥1时，x ＋1＋x －1<4，得x <2，∴1≤x <2. 综上，M ＝{x |－2<x <2}．
(2)证明：当a ，b ∈M 时，－2<a <2，－2<b <2， 即a 2<4，b 2<4，∴4－a 2>0,4－b 2>0，
∴(4－a 2)(4－b 2)>0，即16－4a 2－4b 2＋a 2b 2>0， 也就是4a 2＋4b 2<16＋a 2b 2， ∴4a 2＋8ab ＋4b 2<16＋8ab ＋a 2b 2，
即(2a ＋2b )2<(4＋ab )2，即2|a ＋b |<|4＋ab |.
1．设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1
3
a ＋16
b <14；
(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． 解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|
＝⎩⎨⎧
3，x ≤－2，
－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1.
由－2<－2x －1<0，解得－12<x <1
2，
则M ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，12.
所以⎪⎪
⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2<14，b 2<1
4
.
因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0，
所以|1－4ab |2>4|a －b |2，故|1－4ab |>2|a －b |.
2．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；
(2)若a ，b ，c 大于0，且1a ＋12b ＋1
3c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.
解：(1)∵f (x ＋2)＝m －|x |， ∴f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .
由|x |≤m 有解，得m ≥0且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.
(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋1
3c
＝1，且a ，b ，c 大于0，
a ＋2
b ＋3
c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫
1
a ＋1
2b ＋13c ，
＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫3c 2b ＋2b 3c
≥3＋2
2ab 2ab
＋23c a ·a 3c
＋23c 2b ·2b
3c
＝9. 当且仅当a ＝2b ＝3c ＝1
3
时，等号成立．因此a ＋2b ＋3c ≥9.26783 689F 梟1#32587 7F4B 罋A@34820
8804 蠄30270 763E 瘾29824 7480 璀(25890 6522 攢22402 5782 垂28569 6F99 澙 37861 93E5 鏥。