人教版(2024数学七年级上册第六章 《几何初步》专题

线段 CD 的长是 ( A )
A M C DNB
A. 2b - a B. 2(a - b) C. a - b D. (a + b)
分析：CM + DN = AM + BN = AB - MN = a - b， CD = MN - (CM + DN) = b - (a - b) = 2b - a.
◆类型二 有速度动点问题 例5 如图，P 是线段 AB 上任一点，AB = 12 cm，
◆类型二 展开图与正方体对应问题
例2 如图所示，正方体的展开图为 ( A )
< A. ○ =
B. < ○ =
开口部分 对着圆
<
C. ○ =
D. ○ = <
练一练 2. 下面是一个正方体的展开图，折叠后的正方体是 ( B )
每条线都指
着三角形 A.
B.
每条线不相连
C.
D.
总结 找重合的边，注意每一 面的图案方向.
C
分析：∠BOC = ∠AOC +∠BOA
O
B
= ∠DOC -∠AOD +∠BOA
练一练
9. 将一个长方形纸片沿折痕 AO、DO 折叠，使其有一
部分重合 (如图)，点 B 对应点 B′，点 C 对应点 C′，若
∠C′OB′ = 20°，则∠AOD = 80° .
C'
A
D
分析：两角之和 - 重叠部分 = 大角
AP = 8 cm，C、D 两点分别从 P、B 同时向 A 点运动，
且 C 点的运动速度为 2 cm/s，D 点的运动速度为 3 cm/s，
运动的时间为 t s. (1) 运动 1 秒后，求 CD 的长；A
C PD B
解：因为 AB = 12 cm，AP = 8 cm，
追及问题
所以 PB = AB - AP = 12 - 8 = 4 cm，
①当点 P 在点 A 左边时，
点表示的数为
AP + BP = AP + AB + AP = AB + 2AP = 5， -1.5 或 3.5 .
解得 AP = 0.5，所以 P 表示的数为 -1.5 .
②当点 P 在点 A、B 中间时，AP + BP = AB = 4 (舍)
③当点 P 在点 B 右边时，同理可得 P 表示的数为 3.5 .
∠AOC = (9t - 90)°，∠BOD = (210 - 6t)°， C
由题意，得 (210 - 6t) - (9t - 90) = 90，
D
解得 t = 14.
综上所述，当 t 为 2 或 14 时， ∠AOC 和∠AOD 互为垂角.
AOB C
D
总结 因为研究的角都小于或等于 180°，所以分类的标 准在于角的两条射线是否在同一直线上 (重合或互 为反向延长线).
第六章 几何图形初步
综合专题讲解
专题目录 专题一：正方体的展开与折叠问题 专题二：动点问题 专题三：三角板与钟表中的角度问题 专题四：动角问题
专题一：正方体的展开与折叠问题
◆类型一 找相对面问题
一、回顾知识点
“一” 字形
“Z” 字形
例1 (广东韶关期末) 如图，是正方体的一种展开图，
其每个面上都标有一个汉字，则在原正方体中，与
练一练
7. (厦门市逸夫中学期末) 如图，两条直线 AB，CD 相
交于点 O，且∠AOC = 90°，射线 OM 从 OB 开始绕 O
点逆时针方向旋转，速度为 15°/s，射线 ON 同时从 OD
开始绕 O 点顺时针方向旋转，速度为 12°/s．两条射线
OM，ON 同时运动，运动时间为 t 秒． C
∠BOB′ +∠COC′ - ∠B′OC′ =∠BOC
B'
2α + 2β - 20° = 180° α + β = 100° α
β
B
O
C
∠AOD = α + β - 20° = 80°
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◆类型二 钟表中的角度问题 思考：3 时的时针与分针的夹角是 90 °. 每一大格：360°÷12 = 30° 每过1小时， 时针会经过 30 °，分针会经过 360 °.
所以 AC = 2CD .
(3) 何时 CD = 2 cm？
方法一：解：CD = |12 - 3t - (8 - 2t) | = |4 - t|，
所以 |4 - t| = 2，
解得 t = 2 或 t = 6.
A
C PD B
方法二：两点相遇前：(3 - 2)t + (12 - 8) = 2，解得 t = 2. 两点相遇后：(3 - 2)t - (12 - 8) = 2，解得 t = 6.
所以 CD = 4 - (3 - 2)×1 = 4 - 1 = 3 cm.
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(2) 当 D 在线段 PB 运动上时，试说明 AC = 2CD； 方法一：
解：由题意，得 CP = 2t，BD = 3t. 因为 AB = 12 AP = 8 cm，
所以 AC = 8 - 2t，CD = 12 - 3t - (8 - 2t) = 4 - t，
解得 t = 0.4 .
A
答：0.4s 后点 O 恰为线段
-3
AB 的中点.
OB 01
专题三：重叠与钟表中的角度问题
◆类型一 重叠问题
例6 (安徽太湖期末) 将一副直角三角尺如图放置，若
∠AOD = 25°，则∠BOC 的大小为 ( B ) D
A. 165°
B. 155°
A
C. 145°
D. 160°
旋转，射线 OD 绕点 O 以 6°/s 的速度顺时针旋转，两条
射线 OC、OD 同时运动，运动时间为 t s (0＜t＜20 )，
试求当 t 为何值时，∠AOC 和∠AOD 互为垂角．
C
分析：当射线 OC 在射线 OA 上或下
面时，∠AOC 的表示方式会变化；
C
D
当射线 OD 在射线 OB 上或下面时， ∠AOD 的表示方式会变化.
A
图
O
2
D
B
解：当 OD 与 OB 重合时，t＝5 (s)， 当 OC 与 OA 重合时，t＝10 (s).
①当 OC、OD 在直线 AB 上方，即 0＜t＜5 时， ∠AOC = (90 - 9t)°，∠AOD = (150 + 6t)°，C
由题意，得 (150 + 6t) - (90 - 9t) = 90，C
专题二：动点问题
◆类型一 无速度动点问题 例3 如图，已知 B 是线段 AC 上的一点，M 是线段 AB 的中点，N 是线段 AC 的中点，P 为 NA 的中点，Q 是 AM 的中点，则 BN∶PM 等于 ( B )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
x x 2x
A QP M N B
yy
2y
分析：BN = AB - AN = 4x - 2y
所以 AC = 2CD .
A
C PD B
(2) 当 D 在线段 PB 运动上时，试说明 AC = 2CD；
方法二：以 A 为原点向右为正方向 1 cm为单位长
构造数轴，由题意，得
A：0，P：8，B：12，
A
C：8 - 2t，D：12 - 3t.
0
B C P D 12
所以 AC = 8 - 2t，CD = 12 - 3t - (8 - 2t) = 4 - t，
夹角度数=|(分钟速度-时针速度)×时间±初始度数|
X 时 Y 分可看做 X 时再经过 Y 分
练一练
6. (重庆八中期末) 当时钟指向下午 2 : 40 时，时针与分 针的夹角是 160 度.
7. 在 3 点 20 分时，时钟的分针与时针的夹角为 20 度， 过多少分钟后它们的夹角为 130°？ (2) 设 过 x 分钟后它们的夹角为 130° ，由题意，得
(6 - 0.5)x + 20 = 130， 解得 x = 20. 答：过 20 分钟后它们的夹角为 130°.
专题四：动射线和动角问题
◆类型一 动射线问题
例8 (节选自吉林白山期末) 如果两个角的差的绝对值
等于 90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1 = 120°，
|∠1﹣∠2| = 90°，则∠1 和∠2 互为垂角．(本题中所有
C
PM = AM - AP = 2x - y
例4 如图，O 为原点，A 表示的数为 -1，B 表示的
数为 3，数轴上有一点 P，若 AP + BP = 5，求 P 点
表示的数.
PA
P BP
解：因为 A 表示的数为 -1， -1 O
3
B 表示的数为 3，所以 AB = 3 - (-1) = 4. 综上所述，P
(2) 若点 M 在数轴上，且 MA∶MB = 1∶3，求点 M
表示的数为 3 或 0 ；
P1 A -3
MO2 B P2 M1 01
(3) 若点 A 的速度为 5 个单位长度/s，点 B 的速度为 2 个单位长度/s，点 O 的速度为 1 个单位长度/s，A， B，O 三点同时向右运动，几秒后，点 O 恰为线段 AB 的中点. 解：由题意，得 A：-3 + 5t，B：1 + 2t，O：t.
“若”字相对的面上的汉字是 ( B )
A. 有 C. 召
B. 必 D. 回
若 有战 召
必回
练一练
1. (重庆巴蜀中学期末) 如下图，若要使图中的平
面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数互为相
反数，则 x - y =__2___. 1
分析：x = -1，y = -3， 所以 x - y = 2.
23 xy
解：设 P 点表示的数为 x. 因为A 表示的数为 -1，B 表示的数为 3，
所以 AP = |x - (-1)| = |x + 1|， A
B
BP = |x - 3| .
-1 O
3
因为 AP + BP = 5，
所以 |x + 1| + |x - 3| = 5， 解得 x = -1.5 或 x = 3.5 .
角都是指大于 0° 且小于 180° 的角)
C
(1) 如图 1 所示，O 为直线 AB 上一点， E
D
∠AOC = 90°，则∠AOD 垂角为∠AOE和
∠COD；
AOB
图1
(2) 如图 2 所示，O 为直线 AB 上一点，∠AOC = 90°，
∠BOD = 30°，且射线 OC 绕点 O 以 9°/s 的速度逆时针
时针速度是 30 °/时，分针会经过360°/时. 时针速度是 0.5°/分，分针会经过 6 °/分. 30÷60 = 0.5°/分 360÷60 = 6°/分
例7 (1) 3 点 45 分，时针与分针的夹角是多少？ (2) 在 9 点与 10 点之间，何时时针与分针成 100° 的角？ 解：(1) 3 点过了45 分后，时针经过 45×0.5 = 22.5°， 分针经过 6×45 = 270°.
答：运动 2 s 或 6 s 时，CD = 2 cm.
总结 告诉速度的动点问题问题 方法：①几何法 ②数轴法：用未知数表示线段 起始位置±vt (左减右加) ③代数法：看做追及或相遇问题
练一练
4. 如图，点 O 为原点，点 A 表示的数为 -3，点 B
表示的数为 1.
(1) 若点 P 在数轴上，且 PA + PB = 6，则点 P 表示 的数为 -4 或 2 ；
3 点 45 分，时针与分针的夹角是 270° - 22.5° - 90° = 157.5° (2) 设 9 时 x 分时时针与分针成 100° 的角，由题意，得
90 + 6x - 0.5x = 100，解得 x = .
答：9 时 分时时针与分针成 100° 的角. 【跳转至几何画板】
总结 钟表的角度问题可化为追及问题 时针速度：30°/时 0.5°/分 分针速度：360°/时 6°/分
M
(本题出现的角均小于平角)
O
A
B
ND
(1) 当 t = 2 时，∠MON =__1_4_4_° _，∠AON =__6_6_°__；
(2) 当 0＜t＜12 时，若∠AOM = 3∠AON - 60°．试求出
t 的值；解：当 ON 与 OA 重合时，t＝90÷12＝7.5 (s)， 当 OM 与 OA 重合时，t＝180÷15＝12 (s).
所以，P 点表示的数为 -1.5 或 3.5 .
总结 未告诉速度的动点问题问题 特征：点的位置不确定或任意 方法：①几何法：画图并分类讨论
将线段长设为未知量
②数轴法：将点所表示的数设为未知量
练一练
3. 如图，点 C、D 是线段 AB 上任意两点，点 M 是 AC
的中点，点 N 是 DB 的中点，若 AB = a，MN = b，则
D
解得 t = 2.
C D
AOB
②当 OC 在直线 AB 上，OD 在直线 AB 下方，
即 5≤t≤10 时，
D
∠AOC = (90 - 9t)°，∠AOD = (210 - 6t)°，
由题意，得(210 - 6t) - (90 - 9t) = 90， 解得 t = -10 (舍).
③当 OC、OD 在直线 AB 下方，即 t＞10 时，