北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试 数学理试题

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题（理工类） 2013.1
(考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题(共40分）和非选择题（共110分)两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出
的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1. 已知i 是虚数单位,若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于
A ．2
B ．12
C ．12
- D ．2-
【答案】A
【KS5U 解析】(1)(2)2(12)ai i a a i ++=-++，要使复数为纯虚数，所以有
20,120a a -=+≠,解得2a =，选
A 。

2.“1k ="是“直线0x y k -+=与圆2
21x
y += 相交"的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【KS5U 解析】要使直线0x y k -+=与圆2
21x
y += 相交，则有圆心到直线
的距离
1d =
≤。

即k ≤k ≤≤1k ="是“直线
0x y k -+=与圆221x y += 相交”的充分不必要条件，选A 。

3.执行如图所示的程序框图．若输入3x =，则输出k 的值是
A ． 3
B ．4
C ． 5
D ．
6
【答案】C
【KS5U 解析】第一次循环358,1x k =+==；第二次循环8513,2x k =+==;第
三次循环13518,3x k =+==；第四次循环18523,4x k =+==;第五次循环
23528,5x k =+==,此时满足条件输出5k =,选
C.
4。

已知双曲线的中心在原点，一个焦点为)0,5(1
-
F ，
点P 在双曲线上，
且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是
A ．14
22
=-y x
B ．14
2
2
=-y x
C ．1322
2=-y x
D ．12
32
2=-y x
【答案】B
【KS5U 解析】由双曲线的焦点可知5c =
，线段
PF 1的中点坐标为
(0,2)，所以设右焦点为2F ，则有2PF x ⊥，且24PF =，点
P 在双曲线
右支上.所以221
(25)4366
PF =
+==,所以1
2
6422PF PF
a
-=-==,所以
2
2
2
1,4a b c a ==-=,所以双曲线的方程为14
2
2
=-y x ,选B.
5.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动,若选
出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有
A ． 140种
B ． 120种
C ． 35种
D ． 34种
【答案】D
【KS5U 解析】若选1男3女有1
34
3
4C C
=种；若选2男2女有2
24
3
18C C
=种；
若选3男1女有314
3
12C C
=种；所以共有4181234++=种不同的选法.选
D.
6。

已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如
图所示，则其侧视图的面积为
A ．3
B ．3
C ．3
4
D ．
1 【答案】C
【KS5U 解析】由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧
视图为3
,高为3积为133
32
24
⨯
=。

选C.
7。

设集合{}2
A=230x x x +->，集合{}2B=210,0x x ax a --≤>.若A B 中恰含有一
个整数，则实数a 的取值范围是
A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．34,43⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．
3,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
D ．()1,+∞ 【答案】B
【KS5U 解析】
{}2
A=230{13}x x x x x x +->=><-或，因为函数2()21y f x x ax ==--的
对称轴为0x a =>，(0)10f =-<，根据对称性可知要使A B 中恰含有
一个整数，则这个整数解为2，所以有
(2)0f ≤且(3)0f >，即
44109610a a --≤⎧⎨
-->⎩，所以3
443
a a ⎧
≥⎪⎪
⎨⎪<
⎪⎩
.即3443a ≤<，选B 。

8. 在棱长为1的正方体111
1
ABCD A BC D -中，点1
P ,2
P 分别是线段AB ，1
BD （不
包括端点)上的动点,且线段12
P P 平行于平面1
1
A ADD ，则四面体121
PP AB 的体
积的最大值是
A ．1
24
B ．
112
C ．16
D ．12
【答案】A
【KS5U 解析】过2
P 做2
PO ⊥底面于O ，连结1
OP ， 则1
OP AB ⊥,即1
OP 为三
棱锥2
1
1
P PAB -的高，设1
01AP x x =<<，，则由题意知1
//OP AD ,所以有
1
1OP BP AD AB =,即11OP x =-。

三角形1112AP B S x ∆=，所以四面体121PP AB 的体积为1121
1111111(1)(1)()33266224AP B x x S OP x x x x ∆+-⋅=⨯-=-≤=，当且仅当1x x =-，即1
2
x =时,取等号，所以四面体121
PP AB 的体积的最大值为1
24
，选A 。

第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分,共30分。

把答案填在答题卡上.
9。

已知数列1
2
1,,,9a a 是等差数列，数列1
2
3
1,,,,9b b b 是等比数列，则
2
12
b a a +的
值为 。

【答案】310
【KS5U 解析】因为1
2
1,,,9a a 是等差数列,所以1
2
1910a a
+=+=。

1231,,,,9b b b 是等
比数列，所以2
2
199b
=⨯=，因为1220b b =>，所以23b =，所以
2123
10
b a a =+。

10. 如图，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦,它们相交于AB 的中点P .
若23
a PD =，30OAP ∠=︒，则AB = ,CP = （用a 表示)。

P
B
C
D
A O
【答案】3a ；98
a
【KS5U 解析】因为点P 是AB 的中点，由垂径定理知OP AB ⊥，在直
角三角形OPA 中,32
a BP AP ==，所以23AB AP a
==
,由相交弦定理
知,BP AP CP DP =，即
332223
a a a
CP
⨯=，解得98a CP = 11。

若关于x ,y 的不等式组0,
, 10x y x kx y ⎧⎪⎨⎪-+⎩
（k 是常数)所表示的平面区域的
边界是一个直角三角形,则k = .
【答案】1-或0
【KS5U 解析】先做出不等式0
x
y
x
⎧⎨
⎩对应的区域，阴影部分。

因为直线10kx y -+=过定点(0,1)，且不等式10kx y -+≥表示的区域在直线
10kx y -+=的下方,所以要使所表示的平面区域是直角三角形，所
以有0k =或直线10kx y -+=与y x =垂直,所以1k =-，综上0k =或1k =-。

12. 在极坐标系中，过圆4cos ρθ=的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ． 【答案】cos 2ρθ=，
【KS5U 解析】圆的标准方程为2
2(2)
4x y -+=，圆心为(2,0)，半径为2，
所以所求直线方程为2x =，即垂直于极轴的直线的极坐标方程为
cos 2ρθ=。

13.在直角三角形ABC 中,90ACB ∠=︒，2AC BC ==,点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ． 【答案】4
【KS5U 解析】，由题意知三角形为等腰直角三
角形。

因为P 是斜边AB 上的一个三等分点，所以13
AP AB =,所以
13CP CA AP CA AB =+=+,所以2118
4222cos135333CP CA CA AB CA =+=+⨯⨯=
，
114222cos 45333CP CB CA CB AB CB =+=⨯⨯=，所以84
433
CP CB CP CA ⋅+⋅=+=.
14. 将整数1,2,3,,25填入如图所示的5行5列的表格中,使每一行的数
字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，
最大值为 。

【答案】45;
85
【KS5U 解析】因为第3列前面有两列,共有10个数分别小于第3列的数，因此：最小为:3+6+9+12+15=45。

因为第3列后面有两列，共有10个数分别大于第3列的数，因此:最大为：23+20+17+14+11=85。

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
A 1
B 1
E
C
B
D 1
C 1
A
D
15. （本小题满分13分）
已知函数2
()sin cos cos
12
2
2
x x x
f x =+-. (Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间; （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42
上的最小值。

16。

（本小题满分14分)
在长方体111
1
ABCD-A BC D 中，1
2AA=AD=，点E 在棱CD 上,且13
CE=CD ．
（Ⅰ）求证：1
AD ⊥平面11
A
B D ；
（Ⅱ）在棱1
AA 上是否存在点P ，使
DP ∥平面
1
B AE ？
若存在，求出线段AP 的长；若不存在，
请说明理由；
6
，求棱(Ⅲ）若二面角1
1
A-B E-A 的余弦值为
AB 的
长．
17。

(本小题满分13分）
某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数,满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率
分布直方图（如图所示）解决下
列问
题：
频率分布表
频率分布直方图
（Ⅰ)
写出,,,a b x y 的值;
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动,求所抽取的2名同学来自同一组的
概率;
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,设ξ表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求ξ的分布列及其数
学期望。

18。

(本小题满分13分）
已知函数
1
()()2ln ()
f x a x x a x
=--∈R ．
（Ⅰ)若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
(Ⅲ)
设函数()a g x x
=-．若至少存在一个0[1,e]
x ∈,使得0
()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．
19。

（本小题满分14分）
已知点A 是椭圆()22
:109x y C t t
+=>的左顶点，直线:1()l x my m =+∈R 与椭
圆C 相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B 。

且当0m =时,△AEF 的面积为163。

组别 分组
频数
频率
第1组 ［50，60） 8
0.16
第2组 ［60，70） a
▓ 第3组 ［70，80） 20。

40 第
4组 [80，90） ▓ 0.08
第
5组 ［90，100]
2
b
合
计
▓
▓
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ,N 两点，试判断以MN 为
直径的圆是否经过点B ？并请说明理由.
20. （本小题满分13分)
将正整数21,2,3,4,
,n (2n ≥）任意排成n 行n 列的数表。

对于某一个
数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值a b
，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”。

（Ⅰ）当2n =时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”； （Ⅱ）若ij
a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），
且满足(1),
(1),
ij
i j i n i j a
i n i j n i j +--<⎧=⎨
+-+-≥⎩， ，请分别写出3,4,5n =时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”(不必证明）；
（Ⅲ）对于由正整数21,2,3,4,,n 排成的n 行n 列的任意数表,记其“特征
值”为λ，求证：1n n
λ+≤。

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题答案(理工类） 2013。

1
一、选择题：
二、填空题:
(注:两空的填空，第一空3分，第一空2分） 三、解答题：
(15)(本小题满分13分） 解:（Ⅰ）1cos ()sin cos 1
2
2
2
x x x f x +=+-
111sin cos 222x x =+-
………………………………………
…2分
1
).242x π=
+-
……………………………………………4分
所
以
函
数
()
f x 的最
小正
周期为
2π。

…………………………………………6分 由322242k x k π
π
π
π+≤+≤π+，k ∈Z ，则52244
k x k π
π
π+≤≤π+. 函数
()
f x 单调递减区间是5[2,2]
44
k k ππ
π+π+，k ∈Z 。

………………………9分
（
Ⅱ
)
由
x π3π≤≤42
,
得
7244
x πππ
≤+≤。

………………………………………11分
A 1
B 1
E
C
B
D 1
C 1
A
D
得
最小值
则当34
2
x ππ+=，即54
x π=时，()f x 取
…………………13分
（16)（本小题满分14分) 证明:(Ⅰ)在长方体1111
ABCD-A BC D 中，
因为11
A B ⊥面1
1
A D DA ,
所以11
1
A B AD ⊥． ……………………2分 在矩形1
1
A D DA 中，因为1
2AA=AD=，
所以1
1
AD A D ⊥．
所
以
1AD ⊥
面
11A B D ．
(4)
分
（Ⅱ）如图，在长方体111
1
ABCD-A BC D 中，以1
D 为原点建立空间直角坐
标系1
D xyz -．
依题意可知，
11(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2)D A D ，
(2,0,2)A ，
设
AB
的长为
x
，则
11(0,,0),(2,,0)C x B x ，
2
(0,,2),(0,,2)3
C x E x ．
假设在棱1
AA 上存在点P ，使得DP ∥平面1
B AE ．
设点P (2,0,)y ，则(2,0,-2)DP y =，
(0,0,-2)AP y =．
易知1
12(-2,-,2),(-2,,0)33
B E=x AE x =．
设平面1
B AE 的一个法向量为(,,)a b c =n ,
则
100
B E =AE =⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩n n ,
即
1-2-203
2-2+0
3a xb c =a xb =⎧
+⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
．………………………………………………7分
令3b =得，3,2
a x c x ==，所以3(,3,)2
x x =n ．
因为DP ∥平面1
B AE ，等价于0DP ⋅=n 且DP ⊄平面1
B AE ．
得32+(-2)02
x y x ⋅=，所以23
y =．
所
以
4
(0,0,-)
3
AP =，
43
AP =
,所以
AP
的长为
43
．………………………………9分
（Ⅲ）因为CD ∥11
A B ，且点E CD ∈，
所以平面11
A B E 、平面11
A B D 与面11
A B CD 是同一个平面．
由（Ⅰ)可知，1
AD ⊥面11
A B D ,
所以
1(2,0,2)
D A =是平面
11A B E
的一个法向
量． ………………………………11分
由（Ⅱ）可知,平面1
B AE 的一个法向量为3(,3,)2
x x =n ．
因为二面角1
1
A-B E-A
的余弦值为
6
所以11cos 6
D A AD θ⋅
===⋅n n
,解得x =
故
AB
的
长
为
…………………………………………………………14分
(17）（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)由题意可知，16,0.04,0.032,0.004a b x y ====． (4)
分
（Ⅱ)由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有
2615
C =种情
况． ………………………………………………………………6分
设事件A ：随机抽取的2名同学来自同一组，则
22
422
67
()15
C C P A C +==. 所以,随机抽取的2名同学来自同一组的概率是
7
15
． …………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ)可知，ξ的可能取值为0,1,2，则
242662(0)155C P C ξ====，1142268(1)15C C P C ξ===，22261
(2)15
C P C ξ===．
所以，ξ的分布列为
…………………………………………12分
所
以
，
2812
012515153
E ξ=⨯+⨯+⨯=．
……………………………………13分
ξ
0 1 2
P
2
5
815 115
（18）（本小题满分13分） 解：函数的定义域为()0,+∞，
222
122()(1)ax x a f x a x x x -+'=+-=
． …………………………………………
………1分
（Ⅰ）当2a =时，函数1()2()2ln f x x x x
=--，(1)0f =，(1)2f '=．
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-， 即
220
x y --=．………………………………………………………………
………3分
（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞． （1)当0a ≤时，2
()20
h x ax
x a =-+<在(0,)+∞上恒成立,
则
()0
f x '<在
(0,)
+∞上恒成立，此时()
f x 在
(0,)
+∞上单调递
减． ……………4分 （2）当0a >时，2
44a ∆=-,
(ⅰ）若01a <<，
由()0f x '>，即()0h x >，得1x a
<
或1x a
>
； ………………5分
由
()0f x '<,即()0h x <，得11x a a
+<<
．………………………6分
所以函数()f x 的单调递增区间为和)+∞，
单
调递减区间为
． ……………………………………7分
（ⅱ）若1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，此
时()
f x 在
(0,)
+∞上单调递
增． ………………………………………………………………8分
(Ⅲ）)因为存在一个0
[1,e]x ∈使得0
()()f x g x >，
则
00
2ln ax x >，等价于
00
2ln x a x >
.…………………………………………………9分
令2ln ()x F x x
=，等价于“当[]1,e x ∈ 时，()min
a F x >”。

对
()
F x 求导,得
2
2(1ln )
()x F x x
-'=
. ……………………………………………10分
因为当[1,e]x ∈时，()0F x '≥,所以()F x 在[1,e]上单调递增。

……………12分 所
以
min ()(1)0
F x F ==，因此
0a >。

…………………………………………13分
另解:
设()()()2ln F x f x g x ax x =-=-，定义域为()0,+∞,
()22ax F x a x x
-'=-
=。

依题意，至少存在一个0
[1,e]x ∈，使得0
()()f x g x >成立， 等
价于当
[]
1,e x ∈ 时，
()max 0F x >。

………………………………………9分
(1）当0a ≤时，
()0
F x '<在[]1,e 恒成立，所以()F x 在[]1,e 单调递减，只要
()()max 10F x F a ==>，
则不满足题
意。

……………………………………………………………………10分
（2）当0a >时，令()0F x '=得2x a
=.
（ⅰ）当201a
<≤，即2a ≥时，
在[]1,e 上()0F x '≥，所以()F x 在[]1,e 上单调递增， 所以()()max
e e 2F x F a ==-，
由e 20a ->得，2e
a >，
所
以
2a ≥。

……………………………………………………………
………11分
（ⅱ)当2e a
≥，即20e
a <≤时,
在[]1,e 上()0F x '≤，所以()F x 在[]1,e 单调递减, 所以()()max
1F x F a ==，
由
a >得
2
0e
a <≤
.…………………………………………………………………12分
(ⅲ）当21e a
<<，即22e
a <<时，
在2[1,)a
上()0F x '<,在2(,e]a
上()0F x '>，
所以()F x 在2[1,)a
单调递减，在2(,e]a
单调递增，
()max 0F x >，等价于()10F >或()e 0F >,解得0a >,
所以，22e
a <<。

综上所述,实数
a
的取值范围为
(0,)+∞.
………………………………………13分
（19）(本小题满分14分)
解：（Ⅰ）当0m =时，直线l 的方程为1x =，设点E 在x 轴上方,
由22
1,
91
x y t x ⎧+=⎪⎨
⎪=⎩
解得(1,E F
，所以EF = 因为△AEF
的面积为116
423
⨯=，解得2t =。

所
以椭圆C
的方程为
22
192
x y +=. …………………………………………………4分
（Ⅱ）由22
1,
92
1x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得22(29)4160m y my ++-=,显然m ∈R .…………………5分
设1
1
2
2
(,),(,)E x y F x y ,
则
1212
22416
,2929
m y y y y m m --+=
=++，………………………………………………6分
111x my =+，221x my =+。

又直线AE 的方程为11(3)3y y x x =++，由11(3),33y y x x x ⎧
=+⎪
+⎨
⎪=⎩
解得116(3,)3y M x +， 同理得226(3,
)3y N x +。

所以12
1266(2,),(2,)33
y y BM BN x x ==++，……………………9分
又因为12
1266(2,
)(2,)33
y y BM BN x x ⋅=⋅++
1212
1212363644(3)(3)(4)(4)
y y y y x x my my =+
=+
++++ 1212
2
12124(4)(4)364()16
my my y y m y y m y y +++=
+++ 22222
16(436)164164(29)
3216(29)
m m m m m -+-⨯+⨯+=-++ 2226457664128576
9
m m m ---++=
0=。

…………………………13分
所以
BM BN
⊥，所以以
MN
为直径的圆过点
B .
…………………………………14分
（20）(本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.
可设1在第一行第一列,考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2,3或2,4或3,4.
得到数表的不同特征值是32
或
4.3
………………………………3分
（Ⅱ）当3n =时，数表为
此时，数表的“特征
值"为
4.3
……………………………………………………4分
7 1 4 5 8 2
3 6 9
13 1 5 9 10 14 2 6
当4n =时,数表为
此
时，数表的“特征值"为
54。

………………………………………………………5分
当5n =时，数表
为
此时，数表的“特
征
值
”
为
65
. …………………………………………………………6分 猜
想
“
特
征
值
”
为
1
n n
+。

……………………………………………………………7分
（Ⅲ）对于一个数表而言，2221,2,
,n n n n n -+-+这n 个较大的数中,要么
至少有两个数在一个数表的同一行（或同一列）中，要么这n 个较大的数在这个数表的不同行且不同列中。

①当2221,2,
,n n n n n -+-+这n 个较大的数，至少有两个数在数表的同一
行（或同一列）中时，设,a b （a b >）为该行（或列）中最大的两
个数，则2
21
a n
b n n λ≤≤-+，
7 11 15 3
4 8 12 16
21 1 6 11 16
17 22 2 7 12 13 18 23 3 8 9 14 19 24 4 5 10 15 20 25
学必求其心得，业必贵于专精 因为2332221(1)10,1(1)(1)
n n n n n n n n n n n n n +-+-==-<-+-+-+ 所以2211n n n n n +<-+,从而1.n n λ+< …………………………………………10分
②当2221,2,
,n n n n n -+-+这n 个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时，
当它们中的一个数与2n n -在同行(或列)中，设a 为与2n n -在同行、同列中的两个最大数中的较小的一个。

则有22211a n n n n n n n
λ-+≤≤=--. 综
上可得1n n λ+≤。

…………………………………………………………
……13分。