重庆市 八年级(上)期末数学试卷

八年级（上）期末数学试卷 题号
一二三总分
得分一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1.下列式子中，是一元一次不等式的是（ ）
A. B. C. D. x 2<1
y−3>0a +b =13x =22.南开校训“允公允能，日新月异”中，“日新月异”四字的经典繁方篆字体是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，点A （20，-20）在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限4.下列命题中，是假命题的是（ ）
A. 四边形的内角和为
B. 直角三角形两锐角互补360∘
C. 两直线平行，同位角相等
D. 平行线间距离处处相等
5.下列不等式中，变形不正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则a >b b <a
a >
b a +
c >b +c C. 若，则 D. 若，则ac 2>bc 2a >b
−x >a x >−a 6.若线段AB ∥x 轴且AB =3，点A 的坐标为（2，1），则点B 的坐标为（ ）
A. B. C. 或 D. 或(5,1)(−1,1)(5,1)(−1,1)(2,4)(2,−2)7.估计×+的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ）
91312A. 5和6
B. 6和7
C. 7和8
D. 8和98.使函数有意义的自变量x 的取值范围为（ ）
y =x +1
x A. B. C. 且 D. 且x ≠0x ≥−1x ≥−1x ≠0x >−1x ≠0
9.在▱ABCD 中，AB =5，则对角线AC 、BD 的长度不可能为（ ）
A. 5，5
B. 4，8
C. 6，8
D. 5，12
10.一次函数y 1=mx +n 与y 2=-x +a 的图象如图所示，
则0＜mx +n ＜-x +a 的解集为（ ）
A. B. C. D. x >3x <22<x <30<x <211.如图，每个图形都是由一些黑点按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有3
个黑点，第②个图形中有14个黑点，第③个图形中有33个黑点，按此规律，则第⑦个图中黑点的个数是（ ）
A. 189
B. 190
C. 245
D. 246
12.已知点A （-1，3），点B （-1，-4），若常数a 使得一次函数y =ax +1与线段AB 有
交点，且使得关于x 的不等式组无解，则所有满足条件的整数a 的{45(54x
+3)≥6
x−a ＜−25
个数为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）
13.2018年重庆举办首届智博会，三天时间签约智能化项目6120亿元，盛况空前，其
中数字6120用科学，记数法表示为______．
14.已知是二元一次方程x +ny =1的一组解，则n =______．
{
x =−2y =115.已知点A （3，-2）
，点B （2，m ），若线段AB 的中点恰好在x 轴上，则m 的值为______．
16.如图，在▱ABCD 中，E 为AD 边上一点，且AE =AB ，
若∠BED =160°，则∠D 的度数为______．17.某n 边形的每个外角都等于它相邻内角的，则n =______．
1418.如图，等边△ABC 中，过点B 作BP ⊥AC 于点P ，将
△ABP 绕点B 顺时针旋转一定角度后得到△CBP ′，连接PP ′
与BC 边交于点O ，若AB =2，则线段BO 的长度为
______．19.如图，在△ABC 中，D 为BC 边中点，P 为AC 边中点，E 为BC 上一点且BE =CE ，
13连接AE ，取AE 中点Q 并连接QD ，取QD 中点G ，延长PG 与BC 边交于点H ，若BC =6，则HE =______．
20.在网红重庆，磁器口和洪崖洞是外地游客必到的打卡景点．现有一自行车队计划从
磁器口到洪崖洞出发一段时间后，发现有贵重物品落在了磁器口，于是安排小南骑自行车以原速返回，剩下的成员速度不变向洪崖洞前进，小南取回物品后，改乘出租车追赶车队（取物品、等车时间忽略不计），小南在追赶上自行车队后仍乘坐出租车，再行驶10分钟后遭遇堵车，在此期间，自行车队反超出租车，拥堵30分钟后交通恢复正常，出租车以原速开往洪崖洞，最终出租车和自行车队同时到达，设自行车队和小南行驶时间为t （分钟），与磁器口距离s （千米），s 与t 的函数关系如图所示，则在第二次相遇后，出租车还经过了______分钟到达洪崖洞．
21.某品牌网上旗舰店售卖两种规格的积木玩具：A 规格一盒里面一个独立包装袋，共
有40块积木；B 规格一盒里面有三个独立包装袋，共有n 块积木．小开的爸爸在网上买了两种规格的积木若干盒，结果运输过程中遭遇暴力快递，收货时发现里面的独立包装袋被损坏，积木全部混在了一起，经盘点发现，共有20个独立包装袋和290块积木，则n =______．
三、解答题（本大题共10小题，共75.0分）
22.+|2-4|-（）-1+（2020+）01231
4223.解不等式：10-4（x -4）≤2（x -1）．24.解方程组．{
x +4y =72x +3y =4
25.解不等式组：并将解集在数轴上表示．{12x
+2≥0，
1−x +52＜−1−x
26.已知直线l 1：y =kx 过点（1，2），与直线l 2：y =-3x +b 相交于点
A ，若l 2与x 轴交于点
B （2，0），与y 轴交于点
C ．
（1）分别求出直线11，l 2的解析式；
（2）求△OAC 的面积．
27.如图，
分别延长▱ABCD 的边AB 、CD 至点E 、点F ，连接CE 、AF ，其中∠E =∠F ．求证：四边形AECF 为平行四边形．
28.定义一种新运算：a⊕b={|a|(a≤b)
b(a>b)
（1）请写出函数y=x⊕1的解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象；
（2）观察（1）中图象，探究得到y的最小值是______．
29.随着越来越多年轻家长对低幼阶段孩子英语口语的重视，某APP顺势推出了“北
美外教在线授课”系列课程，提供“A课程”、“B课程”两种不同课程供家长选择．已知购买“A课程”3课时与“B课程”5课时共需付款410元，购买“A课程”5课时与“B课程”3课时共需付款470元．
（1）请问购买“A课程”1课时多少元？购买“B课程”1课时多少元？
（2）根据市场调研，APP销售“A课程”1课时获利25元，销售“B课程”1课时获利20元，临近春节，小融计划用不低于3000元且不超过3600元的压岁钱购买两种课程共60课时，请问购买“A课程”多少课时才使得APP的获利最高？
30.如图，▱ABCD中，E为平行四边形内部一点，连接AE，BE，CE．
5（1）如图1，AE⊥BC交BC于点F，已知∠EBC=45°，∠BAF=∠ECF，AB=，EF=1，求AD的长；
（2）如图2，AE⊥CD交CD于点F，AE=CF且∠BEC=90°，G为AB上一点，作GP⊥BE
且GP =CE ，并以BG 为斜边作等腰Rt △BGH ，连接EP 、EH ．求证：EP =EH ．2
31.如图1，平面直角坐标系中，直线y 1=-x +3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直
3
4线y 2=-2x +b 经过点A ，已知点C （-1，0），直线BC 与直线y 2相交于点D ．（1）请直接写出：A 点坐标为______，直线BC 解析式为______，D 点坐标为______；
（2）若线段OA 在x 轴上移动，且点O ，A 移动后的对应点为O 1、A 1，首尾顺次连接点O 1、A 1、D 、B 构成四边形O 1A 1DB ，当四边形O 1A 1DB 的周长最小时，y 轴上是否存在点M ，使|A 1M -DM |有最大值，若存在，请求出此时M 的坐标；若不存在请说明理由．
（3）如图3，过点D 作DE ∥y 轴，与直线AB 交于点E ，若Q 为线段AD 上一动点，将△DEQ 沿边EQ 翻折得到直线AB 上方的△D ′EQ ，是否存在点Q 使得△D ′EQ 与△AEQ 的重叠部分图形为直角三角形，若存在，请求出DQ 的长；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：A、未知数次数是2，属于一元二次不等式，故本选项错误；
B、符合一元一次不等式的定义，故本选项正确；
C、含有2个未知数，属于二元一次方程，故本选项错误；
D、含有1个未知数，是一元一次方程，故本选项错误；
故选：B．
根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．
本题考查的是一元一次不等式的定义，只要熟练掌握一元一次不等式的定义即可轻松解答．
2.【答案】A
【解析】
解：A、是中心对称图形，选项正确；
B、不是中心对称图形，选项错误；
C、不是中心对称图形，选项错误；
D、不是中心对称图形，选项错误．
故选：A．
根据中心对称图形的定义解答．
本题考查了中心对称图形的定义，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】D
【解析】
解：∵点A的横坐标大于零，纵坐标小于零，
∴点A位于第四象限，
故选：D．
根据各象限内点的坐标符号特点判断可得．
本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限内点的坐标的符号特点．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关性质是解题关键．直接利用四边形的性质以及平行线的性质和直角三角形性质分别判断得出答案．
【解答】
解：A、四边形的内角和为360°，正确，不合题意；
B、直角三角形两锐角互余，故原命题错误，符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，正确，不合题意；
D、平行线间距离处处相等，正确，不合题意；
故选：B．
5.【答案】D
【解析】
解：A、若a＞b，则b＜a，正确；
B、若a＞b，则a+c＞b+c，正确；
C、若ac2＞bc2，则a＞b，正确；
D、若-x＞a，则x＜-a，错误；
故选：D．
由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．
考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
6.【答案】C
【解析】
解：∵AB∥x轴，点A的坐标为（2，1），
∴A、B两点纵坐标都是1，
又∵AB=3，
∴当B点在A点左边时，B的坐标为（-1，1），
当B点在A点右边时，B的坐标为（5，1）．
故选：C．
AB∥x轴，可得A、B两点纵坐标相等，由AB的长为3，分B点在A点左边和右边，分别求B点坐标即可．
此题考查平面直角坐标系中平行特点和平移时坐标变化规律，还渗透了分类讨论思想．
7.【答案】A
【解析】
解：×+=3×+2=3，
∵5＜3＜6，
∴×+的运算结果应在5和6两个连续自然数之间，
故选：A．
先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．
本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．最后估计无理数的大小．
8.【答案】C
【解析】
解：由题意得，x+1≥0且x≠0，
解得x≥-1且x≠0．
故选：C．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
9.【答案】A
【解析】
解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，BC=2BO，
∵OA+OB＞AB=5，
∴对角线AC、BD的长度不可能为5和5，
故选：A．
根据平行四边形的性质得到AC=2AO，BC=2BO，根据三角形的三边关系即
可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的
性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】
解：由图可知：0＜mx+n＜-x+a的解集为：2＜x＜3；
故选：C．
0＜mx+n＜-x+a表示在x轴的上方，且y2=-x+a的图象在y1=mx+n的图象的上边部分自变量的取值范围，根据图象即可直接求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据图象观察，得出结论．认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．
11.【答案】A
【解析】
解：∵第①个图形中黑点的个数3=3×1+12-1，
第②个图形中黑点的个数14=3×2+32-1，
第③个图形中黑点的个数33=3×3+52-1，
……
∴第⑦个图形中黑点的个数为3×7+132-1=189，
故选：A．
根据已知图形得出第n个图形中黑点的个数为3n+（2n-1）2-1，据此求解可得．
本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中黑点的个数为3n+（2n-1）2-1．
12.【答案】D
【解析】
解：把点A（-1，3）代入y=ax+1得，3=-a+1，解得a=-2，
把点B（-1，-4）代入y=ax+1得，-4=-a+1，解得a=5，
∵一次函数y=ax+1与线段AB有交点，
∴-2≤a≤5，且a≠0，
解不等式组得，
∵不等式组无解，
∴a-≤，
解得：a≤4，
则所有满足条件的整数a有：-2，-1，1，2，3，4，
故选：D．
根据一次函数y=ax+1与线段AB有交点，求得-2≤a≤5，且a≠0，再解不等式组得，由题意知a≤4，据此a的值为-2，-1，1，2，3，4，即可得整数a的
个数．
本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
13.【答案】6.12×103
【解析】
解：6120用科学记数法表示为6.12×103．
故答案为：6.12×103．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】3
【解析】
解：把x=-2，y=1代入方程x+ny=1得：
-2+n=1，
解得：n=3，
故答案为：3．
把x=-2，y=1代入方程x+ny=1得到关于n的一元一次方程，解之即可．
本题考查了二元一次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键．
15.【答案】2
【解析】
解：∵线段AB的中点恰好在x轴上，
∴=0，
解得：m=2，
故答案为：2．
由线段AB的中点恰好在x轴上知=0，解之可得．
本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握中点坐标公式．
16.【答案】40°
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠BED=160°，
∴∠AEB=20°，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=2∠AEB=40°，
∴∠D=∠ABC=40°，
故答案为：40°．
根据平行四边形的性质得到AD∥BC，求得∠AEB=∠CBE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE=∠AEB，根据比较的定义得到∠AEB=20°，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
17.【答案】10
【解析】
解：因为多边形的每个外角和它相邻内角的和为180°，
又因为每个外角都等于它相邻内角的，
所以外角度数为180°×=36°．
∵多边形的外角和为360°，
所以n=360÷36=10．
故答案为10．
根据内外角互补关系，以及倍分关系，先求出外角度数，再用外角和360°除以一个外角度数即可得结果．
本题主要考查了多边形的内角与外角关系，以及多边形的外角和为360°．
18.【答案】3
2
【解析】
解：∵△ABC是等边三角形，BP⊥AC，AB=2
∴AP=PC=1，∠ABP=∠CBP=30°，
∴BP=AP=，
∵将△ABP绕点B顺时针旋转一定角度后得到△CBP′，
∴BP=BP'，∠ABC=∠PBP'=60°
∴△BPP'是等边三角形，∠PBC=∠CBP'=30°，
∴BO⊥PP'，
∴PO=BP=，BO=PO=
故答案为：
由等边三角形的性质可求BP的长，由旋转的性质可证△BPP'是等边三角形，即可求BO的长度．
本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
19.【答案】3
4
【解析】
解：连接PQ．
∵BD=DC=3，BE=BC=，EC=，
∵AQ=QE，AP=PC，
∴PQ∥EC，PQ=EC=，
∵∠QPG=∠GHD，∠QGP=∠DGH，QG=GD，
∴△PQG≌△HDG（AAS），
∴PQ=HD=，BH=BD-DH=3-=，
∴HE=BE-BH=-=，
故答案为．
连接PQ．想办法求出BE，BH即可解决问题．
本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】15
【解析】
解：自行车速度8÷30=km/h；
自行车到达洪崖洞时间：24÷=90分钟；
出租车到达洪崖洞用时90-30-30=30分钟；
出租车速度24÷30=0.8km/h；
设自行车出发x分钟第一次相遇，根据题意得
解得=45，
设第二次相遇时间为y，则，
解得y=75，
所以第二次相遇后，出租车还经过了90-75=15分钟到达洪崖洞．
故答案为：15．
由前30分钟图象和小南行驶路程知自行车速度是每分钟米；自行车到达终
点用时90分钟，出租车30分钟到达目的地，故速度是每分钟0.8千；计算第一次相遇时间，可以推导出第二次相遇时间，从而计算第二次相遇后，出租车到达洪崖洞的时间．
本题考查一次函数应用．从图象中获取信息是解答关键．
21.【答案】18
【解析】
解：设小开的爸爸在网上买了A规格的积木x盒，B规格的积木y盒，
根据题意得：，
∵x，y，n都是正整数，且n是3的倍数，
∴方程①的整数解为：，，，，，
，
分别代入方程②中：当x=5，y=5时，n=18，
故答案为：18．
先根据B规格一盒里面有三个独立包装袋，共有n块积木，可知：一个独立包
装袋，有块积木，设小开的爸爸在网上买了A 规格的积木x 盒，B 规格的积木y 盒，根据共有20个独立包装袋和290片积木列方程组，根据正整数解可得结论．
本题考查了二元一次方程的应用，弄清题目中的等量关系，并根据二元一次方程的整数解来解决问题．
22.【答案】解：+|2-4|-（）-1+（2020+）01231
42=2+4-2-4+1
33=1．
【解析】先算二次根式、绝对值、负整数整数幂、零指数幂、再计算加减法即可求解．考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
23.【答案】解：去括号，得：10-4x +16≤2x -2，
移项，得：-4x -2x ≤-2-10-16，
合并同类项，得：-6x ≤-28，
系数化为1得：x ≥．
14
3【解析】去括号，然后移项、合并同类项，系数化成1即可求解．
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．24.【答案】解：
，由①得x =7-4y ，③
把③代入②，得2（7-4y ）+3y =4，
解得y =2，
把y =2代入③，得x =7-8=-1，
所以，原方程组的解为．
{
x =−1y =2【解析】
由①得x=7-4y ，代入②消去x 求y ，再求x 的值．
本题考查了解二元一次方程组．关键是熟练掌握代入消元法，加减消元法解方程组的解题步骤．
25.【答案】解：
，{12x +2≥0①
1−x +52＜−1−x ②解①得x ≥-4，
解②得x ＜1，
所以不等式组的解集为-4≤x ＜1，用数轴表示为
．
【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．
26.【答案】解：（1）∵直线l 1：y =kx 过点（1，2），
∴k =2，
∴直线11的解析式为y 1=2x ；
∵直线l 2：y =-3x +b 与x 轴交于点B （2，0），
∴-3×2+b =0，
∴b =6，
∴直线l 2的解析式为y 2=-3x +6；
（2）由，解得，{y =2x y =−3x +6{x =65y =125
∴点A 的坐标为（，）．
65125∵直线l 2：y =-3x +6与y 轴交于点C ，
∴C （0，6）．
∴S △OAC =×6×=．
1265185【解析】（1）直接把点（1，2）代入l 1解析式中，求出k 的值；把点B （2，0）代入直线l 2，求出b 的值即可；
（2）首先将直线11，l2的解析式联立，求出交点A的坐标，再根据l2的解析式求出点C的坐标，然后根据三角形的面积公式列式求出答案．
本题考查了两条直线的交点问题：求两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识，难度一般．
27.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC，∠ADC=∠ABC
∴∠ADF=∠CBE，且∠E=∠F，AD=BC
∴△ADF≌△CBE（AAS）
∴AF=CE，DF=BE
∴AB+BE=CD+DF
∴AE=CF，且AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形
【解析】
由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠ADC=∠ABC，由“AAS”可证△ADF≌△CBE，可得AF=CE，DF=BE，可得AE=CF，则可得结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练运用平行四边形的判定和性质是本题的关键．
28.【答案】0
【解析】
解：（1）根据题意得：
y=，
当x＜0时，|x|=-x，
当0≤x≤1时，|x|=x，
即y=，
该函数图象如下图所示：
（2）由图象可知：当x=0时，y 取到最小值0，
故答案为：0．
（1）根据新运算可得到y=，分别讨论x ＜0和0≤x≤1时，去绝对值符号，即可得到函数y=x ⊕1的解析式，在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象，即可得到答案，
（2）观察（1）中图象，即可得到当x=0时，y 取到最小值，即可得到答案．本题考查了一次函数的图象，解题的关键：（1）正确掌握去绝对值符号法则，（2）正确掌握观察函数图象．
29.【答案】解：（1）设购买“A 课程”1课时x 元，购买“B 课程”1课时y 元．
依题意，得：，
{3x +5y =4105x +3y =470解得：，
{x =70y =40答：购买“A 课程”1课时70元，购买“B 课程”1课时40元．
（2）设购买“A 课程”a 课时，则购买“B 课程”60-x 课时．
依题意，得：，
{
70a +40(60−a)≤360070a +40(60−a)≥3000解得：20≤a ≤40，
设利润为w ，
w =25a +20（60-a ）=5a +1200，
5＞0，w 随着a 的增大而增大，
故当a =40时，w 最大．
答：购买“A 课程”40课时才使得APP 的获利最高．
【解析】（1）根据题意，购买“A 课程”3课时与“B 课程”5课时共需付款410元，购买“A 课程”5课时与“B 课程”3课时共需付款470元，即可列出二元一次方程组； （2）根据题意，小融计划用不低于3000元且不超过3600元的压岁钱购买两种课程共60课时，可列出一元一次不等式组．
本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的不等式关系，并据此列出不等式．
30.【答案】（1）解：如图1中，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB=∠CFE=90°，
∵∠EBC=45°，
∴∠EBF=∠BEF=45°，
∴FB=FE，
∵∠BAF=∠ECF，
∴△AFB≌△CFE（AAS），
∴BF=EF=1，
5
∵AB=，
(5)2−12
∴AF=CF==2，
∴BC=BF+CF=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3．
（2）证明：如图2中，设PG交BE于T，BE交GH于Q．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AF⊥CD，
∴AF⊥AB，
∴∠BAE=∠EFC=90°，
∵∠BEC=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，∠CEF+∠ECF=90°，
∴∠AEB=∠ECF，
∴△BAE≌△EFC（AAS），
∴BE=EC，
∵GP=EC，
∴GP=BE，
∵GP⊥BE，
∴∠GTQ=90°，
∵BH=GH，∠BHG=90°，
∴∠BHQ=∠GTQ，
∵∠GQT=∠BQH，
∴∠HGP=∠HBE，
∴△EHB≌△PHG（SAS），
∴EH=PH，∠TEO=∠OPH，
∵∠EOT=∠POH，
∴∠PHO=∠ETO=90°，
∴△EHP是等腰直角三角形，
2
∴PE=EH．
【解析】
（1）证明△AFB≌△CFE（AAS），推出BF=EF=1，利用勾股定理求出AF即可解决问题．
（2）如图2中，设PG交BE于T，BE交GH于Q．证明△BAE≌△EFC（AAS），推出BE=EC，再证明△EHB≌△PHG（SAS），推出△EHP是等腰直角三角形即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定
和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角
形解决问题，属于中考压轴题．
31.【答案】（4，0）y=3x+3 （1，6）
【解析】
解：（1）针对于直线y1=-x+3，令x=0，则y=3，
∴B（0，3），令y=0，则0=-x+3，
∴x=4，
∴A（4，0），
∵直线y2=-2x+b经过点A，
∴-2×8+b=0，
∴b=8，
∴直线y2=-2x+8①，
设直线BC的解析式为mx+n，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y=3x+3②，
联立①②解得，，
∴D（1，6），
故答案为：（4，0），y=3x+3，（1，6）；
（2）如图1，
作点B关于x轴的对称点B'（0，-3），以OA与OB'为边作▱OB'GA，
∴B'G=OA，
∵∠AOB'=90°，
∴▱OB'GA是矩形，
∴G（4，-3），
连接DG，向左平移OA使点A落在DG与x轴的交点上，记作A1，连接O1B'，
此时四边形O1A1DB的周长最小，
设直线DG的解析式为y=kx+a，
∵D（1，6），
∴，
∴，
∴直线DG的解析式为y=-3x+9，
要|A1M-DM|有最大值，则点M是DG与y轴的交
点，如图2，
∴M（0，9）；
（3）∵DE∥y轴，D（1，6），
∴E（1，），
∴DE=，
由折叠知，EE'=DE=，∠DEQ=∠FEQ，
如图5，记直线AD交y轴于H，
∵点A（4，0），D（1，6），
∴直线AD的解析式为y=-2x+8，
∴H（0，8），
在Rt△AOH中，tan∠AHO==，
∵DE∥y轴，
∴∠ADE=∠AHO，
∴tan∠ADE=，
记EE'与AD的交点为F，
①当∠DFE=90°时，如图3，
在Rt△DFE中，tan∠ADE==，
∴DF=2EF，根据勾股定理得，EF2+（2EF）2=（）2，
∴EF=，DF=，
过点D作DN∥EE'交EQ的延长线于N，
∴∠FEQ=∠N，
∴∠DEQ=∠N，
∴DN=DE=，
∵DN∥EF，
∴△QFE∽△QDN，
∴，
∴，
∴DQ=，
②当∠DEF=90°时，如图4，过点D作DN∥EF交EQ 的延长线于N，
在Rt△DEF中，tan∠ADE==，
∴EF=DE=，根据勾股定理得，DF=，
同①的方法得，DN=DE=，
∵DN∥EF，
∴△QFE∽△QDN，
∴，
∴，
∴QD=．
即：DQ的长为或．
（1）利用坐标轴上点的特点求出点A，B坐标，进而利用待定系数法求出直线AD的解析式，联立两直线解析式求解即可得出点D坐标；
（2）利用对称性和平行四边形的性质找出四边形O1A1DB的周长最小时点A1
的位置，再利用待定系数法求出直线DG的解析式，即可得出结论；
（3）分两种情况，先求出DE，再利用锐角三角函数求出EF，进而利用勾股定理求出DF，再利用角平分线的性质，求出DN，最后利用相似三角形的性质得出比例式，建立方程求解即可．
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的性质，相似三角形的性质和判定，构造出图形是解本题的关键．。