6.4 有引力理论的成就—人教版高中物理必修2同步练习

人教版 物理必修2第六章《万有引力与航天》同步强化
6.4 万有引力理论的成就
1．已知引力常量G 、月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T ，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( ) A ．月球的质量 B ．地球的质量 C ．地球的半径 D ．地球的密度
【答案】：B
【解析】：由天体运动的受力特点，得G Mm R 2＝m 4π2T 2·R ，可得地球的质量M ＝4π2R 3GT 2由于不知地球的半
径，无法求地球的密度，故B 正确。

2．一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r ，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，已知地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，则地球的质量可表示为( ) A.4π2r 3
GT 2 B.4π2R 3
GT 2 C.gR 2G D.gr 2G
【答案】：AC
【解析】：根据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得，M ＝4π2r 3GT 2，选项A 正确，选项B 错误。

在地球的表面附近有mg
＝G Mm R 2，则M ＝gR 2
G
，故C 正确。

3．2001年10月22日，欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞，命名为MCG63015，由于黑洞的强大引力，周围物质大量掉入黑洞，假定银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心做匀速圆周运动，下列哪组数据可估算该黑洞的质量(万有引力常量G 是已知的)( )
A ．地球绕太阳公转的周期和线速度
B ．太阳的质量和运行线速度
C ．太阳运动的周期和太阳到MCG63015的距离
D ．太阳运行的线速度和太阳到MCG63015的距离 【答案】：CD
【解析】：根据开普勒第但定律，需要知道周期T 和半径R ，故C 正确；由圆周运动公式可知需要知道太阳的线速度和距离，算出该黑洞的质量。

4．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比为( )
A.R 3t 2r 3T 2
B.R 3T 2r 3t 2
C.R 3t 2r 2T 3
D.R 2T 3
r 2t
3 【答案】：A
【解析】：无论地球绕太阳公转，还是月球绕地球公转，统一的公式为GMm R 20＝m 4π2R 0T 20，即M ∝R 3
0T 20，
所以M 日M 地＝R 3t 2
r 3T
2。

5．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( ) A.mv 2GN B.mv 4GN C.Nv 2Gm D.Nv 4Gm
【答案】：B
【解析】：设卫星的质量为m ′由万有引力提供向心力，得G Mm ′R 2＝m ′v 2R m ′g ＝m ′v 2R ，由已知条件，m
的重力为N 得N ＝mg 故可得：R ＝mv 2N M ＝mv 4
GN
，故A 、C 、D 三项均错误，B 正确。

6．已知引力常量G ＝6.67×10
－11
N·m 2/kg 2，重力加速度取g ＝9.8 m/s 2，地球半径R ＝6.4×106 m ，则
可知地球质量的数量级是( )
A ．1018 kg
B ．1020 kg
C ．1022 kg
D ．1024 kg
【答案】：D
【解析】：根据万有引力定律有：F ＝G Mm R 2，而在地球表面，物体所受的重力约等于地球对物体的吸
引力：F ＝mg 故g ＝G M R 2，则M ＝gR 2G ＝9.8× 6.4×106
2
6.67×10－
11 kg ＝6.02×1024 kg 即地球质量的数量级是1024
kg ，正确选项为D 。

7．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比为( )
A.R 3t 2
r 3T 2 B.R 3T 2
r 3t 2 C.R 3t 2r 2T 3 D.R 2T 3r 2t
3 【答案】：A
【解析】：地球绕太阳公转，满足2
2
2GMm m R R T π⎛⎫
= ⎪⎝⎭，则太阳质量M ＝4π2R 3GT 2；月球绕地球公转，满足2
22GM m m r R t π''⎛
⎫'= ⎪⎝⎭
，则地球质量M ′＝4π2r 3Gt 2，由此可知M M ′＝R 3t 2r 3T 2，故A 正确。

8．(多选)在探究太阳与行星间的引力的思考中，属于牛顿的猜想的是 ( )
A ．使行星沿圆轨道运动，需要一个指向圆心的力，这个力就是太阳对行星的吸引力
B ．行星运动的半径越大，其做圆周运动的运动周期越大
C ．行星运动的轨道是一个椭圆
D ．任何两个物体之间都存在太阳和行星之间存在的这种类型的引力 【答案】：AD
【解析】：牛顿认为任何方式改变速度都需要力(这种力存在于任何两物体之间)，行星沿圆或椭圆轨
道运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力是太阳对它的引力。

9．科学家们推测，太阳系内除八大行星之外还有另一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定( )
A ．这颗行星的公转周期与地球相等
B ．这颗行星的半径等于地球的半径
C ．这颗行星的密度等于地球的密度
D ．这颗行星上同样存在着生命 【答案】：A
【解析】：因只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等．由G Mm r 2＝m v 2
r
可知，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其密度。

10．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v ，假设宇航员在该行星表面用弹簧测力计测量一质量为m 的物体的重力，当物体处于竖直静止状态时，弹簧测力计的示数为F ，已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )
A.mv 2GF
B.mv 4
GF C.Fv 2Gm D.Fv 4Gm
【答案】：B
【解析】：由F ＝mg 得，行星表面的重力加速度g ＝F m 卫星绕行星表面附近做半径为r 的匀速圆周运
动时，G Mm r 2＝m v 2r ＝mg ，整理得行星的质量M ＝mv 4
GF
，选项B 正确。

11．把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星( ) A ．周期越小 B ．线速度越小 C ．角速度越小 D ．加速度越小
【答案】：BCD
【解析】：行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由G Mm r 2＝m v 2
r 得v
＝
GM r ，可知r 越大，线速度越小，B 正确。

由G Mm
r
2＝mω2r 得ω＝ GM
r 3
，可知r 越大，角速度越小，C 正确。

又由T ＝2πω知，ω越小，周期T 越大，A 错。

由G Mm r 2＝ma 得a ＝GM
r
2，可知r 越大，a 越小，D 正确。

12．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km 和100 km ，运行速率分别为v 1和v 2.那么，v 1和v 2的比值为(月球半径取1 700 km)( )
A.19
18 B. 19
18
C. 1819
D.1819
【答案】：C
【解析】：根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有G Mm (r ＋h )2＝m v 2r ＋h ，那么卫星的线速度跟其轨
道半径的平方根成反比，则有v 1v 2＝ r ＋h 2
r ＋h 1
＝
1819。

13．两颗行星A 和B 各有一颗卫星a 和b ，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为M A M B ＝p ，两行星半径之比为R A R B ＝q ，则两个卫星的周期之比T a
T b 为( ) A.pq B ．q p C ．p
p
q
D ．q
q p
【答案】：D
【解析】：卫星做圆周运动时，万有引力提供圆周运动的向心力，则有：G Mm R 2＝mR (2πT
)2
，得T ＝ 4π2R 3GM ，解得：T A
T B
＝q q
p
，故D 正确，A 、B 、C 错误。

14．假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )
A ．地球公转的周期大于火星公转的周期
B ．地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C ．地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D ．地球公转的角速度大于火星公转的角速度 【答案】：D
【解析】：两行星绕太阳运动的向心力均由万有引力提供，所以有G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2
r ＝m 4π2
T 2r ＝ma ，
解得v ＝
GM
r
，T ＝ 4π2r 3
GM
，ω＝ GM r 3，a ＝GM
r
2，根据题意r 火＞r 地，所以有T 地＜T 火，v 地
＞v 火，a 地＞a 火，ω地＞ω火，故A 、B 、C 错误，D 正。

15.如图b 所示，a 、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R 和2R (R 为地球半径)．下列说法中正确的是( )
图b
A ．a 、b 的线速度大小之比是 2∝1
B ．a 、b 的周期之比是1∝2 2
C ．a 、b 的角速度大小之比是3 6∝4
D ．a 、b 的向心加速度大小之比是9∝2 【答案】：C
【解析】：A 由GMm r 2＝m v 2r 得v 1
v 2
＝
r 2
r 1＝ 3R 2R ＝32，故A 错误；B 由GMm
r
2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2得T 1T 2＝ r 3
1
r 32＝23
23，故B 错误；C 由GMm r 2＝mrω2得ω1
ω2
＝ r 32r 31＝3 64，故C 正确；D 由GMm r 2＝ma 得a 1a 2
＝r 22r 21＝9
4
故D 错误。

16．我国曾发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设想“嫦娥一号”贴近月球表面做匀速圆周运动，其周期为T .“嫦娥一号”在月球上着陆后，自动机器人用测力计测得质量为m 的仪器重力为P .已知引力常量为G ，由以上数据可以求出的量有( ) A ．月球的半径 B ．月球的质量
C ．月球表面的重力加速度
D ．月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度 【答案】：ABC
【解析】：万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，设卫星质量为m ′，有G Mm ′R 2＝m ′R 4π2T 2，又月球表
面万有引力等于重力G Mm
R 2＝P ＝mg 月，两式联立可以求出月球的半径R 、质量M 、月球表面的重力
加速度g 月，故A 、B 、C 都正确。

17．(多选)火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍．根据以上数据，以下说法正确的是( )
A ．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小
B ．火星公转的周期比地球的长
C ．火星公转的线速度比地球的大
D ．火星公转的向心加速度比地球的大 【答案】：AB
【解析】：由g ＝GM R 2得：g 地＝GM 地R 2地，g 火＝GM 火R 2火
＝G ·1
10M 地
12R 地2＝25g 地，可知g 地>g 火，A 正确；由G Mm
r 2＝
m (2π
T )2r 得：T ＝2πr 3GM ，可知T 火>T 地，B 正确；v ＝2πr T
＝GM r ，a ＝GM
r
2，可得v 火<v 地，a 火<a 地，C 、D 错误。

18．(多选)太阳由于辐射，质量在不断减少．地球由于接受太阳辐射和吸收宇宙中的尘埃，其质量在不断增加．假定地球增加的质量等于太阳减少的质量，且地球绕太阳公转的轨道半径不变，则( )
A ．太阳对地球的引力增大
B ．太阳对地球的引力变小
C ．地球运行的周期变长
D ．地球运行的周期变短 【答案】：AC
【解析】：由于太阳减少的质量等于地球增加的质量，则由F ＝G Mm r 2知，两者间的引力变大，选项A
正确，B 错误；由mr 4π2T 2＝G mM r 2知，r 3T 2＝GM
4π2，因为r 不变，M 减小，则周期T 变长，故选项C 正确，
D 错误。

19．地球表面的重力加速度为g ，地球半径为R ，万有引力常量为G ，则地球的平均密度为( )
A.3g
4πRG B.3g
4πR 2G C.g RG D.g R 2G
【答案】：A
【解析】：在地球表面处有G Mm R 2＝mg ，地球的平均密度ρ＝M 43πR 3，可得ρ＝3g 4πRG
，选项A 正确。

20．一火箭以a ＝g
2的加速度竖直升空．为了监测火箭到达的高度，可以观察火箭上搭载物视重的变
化．如果火箭上搭载的一物体的质量为m ＝1.6 kg ，当检测仪器显示物体的视重为F ＝9 N 时，火箭距离地面的高度h 与地球半径R 的关系为(取g ＝10 m/s 2)( )
A ．h ＝R
B ．h ＝2R
C ．h ＝3R
D ．h ＝4R 【答案】：C
【解析】：设火箭距离地面的高度为h ，该处的重力加速度为g ′，地球的半径为R .根据牛顿第二定律，
有F －mg ′＝ma ，g ′＝F m －g 2＝0.625 m/s 2根据万有引力定律，有g ′＝G M r 2∝1r 2所以g ′
g ＝
R 2R ＋h
2，
即R R ＋h
＝1
4
所以火箭距离地面的高度h ＝3R ，故C 选项正确。

21. 我国已于2011年9月末发射“天宫一号”目标飞行器，2011年11月1日发射“神舟八号”飞船并与“天宫一号”成功实现对接．某同学为此画出“天宫一号”和“神舟八号”绕地球做匀速圆周运动的假想图如图所示，A 代表“天宫一号”，B 代表“神舟八号”，虚线为各自的轨道，由此假想图，可以判定( )
A ．“天宫一号”的运行速率小于“神舟八号”的运行速率
B ．“天宫一号”的周期小于“神舟八号”的周期
C ．“天宫一号”所需的向心力小于“神舟八号”所需的向心力
D ．“神舟八号”适当加速有可能与“天宫一号”实现对接 【答案】：AD
【解析】：由题意可知“天宫一号”的轨道半径大于“神舟八号”的轨道半径，卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，即GMm r 2＝mv 2
r
，由此式得v ＝
GM
r
，所以“天宫一号”的运行速率小于“神舟八号”的运行速率，选项A 正确；同理可得卫星的周期T ＝
4π2r 3
GM
，由此式可知轨道半径越大，运行周期越大，选项B 错误；由于不能确定“天宫一号”和“神舟八号”的质量，故不能确定“天宫一号”和“神舟八号”的向心力的大小关系，选项C 错误；“神舟八号”在低轨道，适当加速后“神舟八号”做离心运动，可能实现与“天官一号”对接，选项D 正确。

22．两个行星质量分别为m 1和m 2，绕太阳运行的轨道半径分别是r 1和r 2，求： (1)它们与太阳间的万有引力之比； (2)它们的公转周期之比。

【答案】：(1)m 1r 2
2m 2r 21 (2)
r 3
1r 3
2
【解析】：(1)设太阳质量为M ，由万有引力定律得，两行星与太阳间的万有引力之比为F 1F 2＝G Mm 1
r 2
1
G Mm 2
r
2
2＝
m 1r 2
2
m 2r 2
1。

(2)两行星绕太阳的运动看做匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有2
2
2GMm m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭。

所以，行星绕太阳运动的周期为T ＝2π
r 3GM .则两行星绕太阳的公转周期之比为T 1
T 2
＝ r 3
1r 3
2 23．2013年4月26日12时13分我国在酒泉卫星发射中心用“长征二号丁”运载火箭，将“高分一号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道．这是我国重大科技专项高分辨率对地观测系统的首发星．设“高分一号”轨道的离地高度为h ，地球半径为R ，地面重力加速度为g ，求“高分一号”在时间t 内，绕地球运转多少圈？ 【答案】：t
2π
gR 2
(R ＋h )3
【解析】：在地球表面mg ＝GMm R 2在轨道上GMm (R ＋h )2＝m (R ＋h )4π2
T 2所以T ＝2π
(R ＋h )3
GM
＝2π(R ＋h )3gR 2
故n ＝t T ＝t
2π
gR 2
(R ＋h )3
24．我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面．宇航员从距该星球表面高度为h 处，沿水平方向以初速度v 抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L ，已知该星球的半径为R ，引力常量为G .求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的平均密度．
给我一个支点，可以撬起整个地球。

——阿基米德 11 / 11 【答案】：(1)2hv 2L 2 (2)3hv 2
2πGRL 2
【解析】：(1)小球在星球表面做平抛运动，有L ＝vt ，h ＝12gt 2解得g ＝2hv 2
L 2 (2)在星球表面满足GMm R 2＝mg 又M ＝ρ·43πR 3，解得ρ＝3hv 22πGRL 2。