三次函数

第28关：三次函数专题—全解全析
一、定义：
定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）
定义2、三次函数的导数，把
叫做三次函数导函数的判别式
二、三次函数图象与性质的探究：
1、单调性
一般地，当时，三次函数
在上是单调函数；当时，三次函数
在
上有三个单调区间
（根据两种不同情况进行分类讨论）
2、对称中心
三次函数是关于点对称，且对称中心为点
，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

证明：设函数的对称中心为（m，n）。

按向量将函数的图象平移，则所得函数
是奇函数，所以
化简得：
上式对恒成立，故
，得
，。

所以，函数的对称中心是
（）。

可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝
的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。

3、三次方程根的问题
（1）当△=时，由于不等式
恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

（2）当△=时，由于方程
有两个不同的实根，不妨设
，可知，
为函数的极大值点，为极小值点，且函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减。

此时：
①若，即函数
极大值点和极小值点在
轴同侧，图象均与
轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

②若，即函数
极大值点与极小值点在
轴异侧，图象与
轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。

③若，即
与
中有且只有一个值为0，所以，原方程有
三个实根，其中两个相等。

4、极值点问题
若函数f(x)在点x
0的附近恒有f(x
)≥f(x) (或f(x
)≤f(x))，则称函数
f(x)在点x
0处取得极大值（或极小值），称点x
为极大值点（或极小值点）。

当时，三次函数
在
上的极值点要么有两个。

当时，三次函数
在
上不存在极值点。

5、最值问题
函数若
，且
，则：
；
三、三次函数与导数专题：
1. 三次函数与导数例题
例1. 函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间（1，2）是增函数，
求的取值范围.
解：（Ⅰ），
的判别式△=36（1-a）.
（ⅰ）当a≥1时，△≤0，则恒成立，且当且仅当
，故此时
在R上是增函数.来自QQ群3
（ⅱ）当且
，时
，有两个根：，
若，则
, 当
或
时，
，故在
上是增函数；当
时，
，故
在
上是减函数；
若，则
当
或时，
，故
在
和
上是减函数；当
时，
，故
在上是增函数；
（Ⅱ）当且
时,
,所以
当时，
在区间（1，2）是增函数.
当时，
在区间（1,2）是增函数，当且仅当
且
，解得
.
综上，的取值范围是
.
例 2. 设函数，其中。

（1）讨论
在其定义域上的单调性；
（1）当时，求
取得最大值和最小值时的
的值.
（Ⅰ）的定义域为
，
令，得所以
当或
时，
；当
时，
，
故在
内单调递减，在
内单调递增
（Ⅱ）因为，所以
（ⅰ）当时，
，由（Ⅰ）知，
在[0，1]上单调递增，
所以在
和
处分别取得最小值和最大值（ⅱ）当时，
，由（Ⅰ）知，
在[0，
]上单调递增，在[，1]
上单调递减，因此在
处取得最大值
又，所以。