一类p-Laplacian椭圆抛物型偏微分方程解的唯一性

一类p-Laplacian椭圆抛物型偏微分方程解的唯一性
袁海君
【摘要】主要利用了凸集的有序性,证明了一类p-Laplacian椭圆抛物型偏微分方程即:ρt(u)-▽·(|▽u|p-2▽u) =f(t,x)的解的唯一性,其定义在区域(0,T)×Ω,其中Ω是RN的一个有界区域(N≥1),边界(a)Ω是C2光滑的p≥2,ρ(u(0,x))=ρ0.
【期刊名称】《山东商业职业技术学院学报》
【年(卷),期】2014(014)005
【总页数】3页(P124-126)
【关键词】p-Laplacian;凸集;有序性;唯一性
【作者】袁海君
【作者单位】山东商业职业技术学院,山东济南250103
【正文语种】中文
【中图分类】O172
目前，物理学、生物化学、医学、控制论等学科的实际问题均可以通过偏微分方程来解决。

人们对其的研究日渐深入，并取得了很多重要的成果，使得这方面的理论日趋完善。

本文研究一类具有初边值问题的椭圆抛物型偏微分方
ρt(u)-▽·(|▽u|p-2▽u)=f(t,x)
其中，(t,x)∈(0,T)×Ω且ρ(u(0,x))=ρ0
其中Ω是RN的一个有界区域(N≥1)，ρ:R→R是有界的非减的Lipschitz连续的
函数，其中Lipschitz常数Cp>0。

近年来具有上述初值的椭圆抛物型方程解的问题受到越来越多的关注，在工程力学方面应用性越来越广泛。

文献[1]已经证明了该方程解的存在性。

接下来利用解的有序性来证明该方程解的唯一性。

首先结合文献[2]做如下假设
(a)如果和▽，那么。

(b)对任意的和,并且有,有).
为了去陈述下面的定理，接下来定义在凸集间的有序关系。

定义1对于两凸集⊂H,如果下面的结论成立，即对所有的1,有.我们就认为，并写作。

下面的引理主要是和解的有序性有关，而解的有序性又是由给定的数ρ0，f和
K1(t)来决定的。

引理1(解的有序性)若u和分别是(*;ρ0,f,K1(t))和的解，并假设对所有的t∈[0,T]，有。

那么我们就有下面的不等式成立：
证明：首先，观察下面的两个等式
其中
通过假设，就有和).通过取ω=u-ε和，利用假设(b)，观察可得。

因此，有
，同理
现在，针对问题(*;ρ0,f,K1(t))，在定义1中取。

那么两边同除以ε>0，有下面(2.1)式成立。

,▽u)·▽).
同时在文献[3]中对问题可取。

那么类似两边同除以ε>0，有下面(2.2)式成立：
,▽▽
将(2.1)和(2.2)相加，得下面(2.3)成立：
+∫Ω{a(x,▽u)-a(x,▽▽).
对+∫Ω{a(x,▽u)-a(x,▽▽
进行讨论：由a(x,▽(u))=|▽u|p-2▽u，有
+∫Ω{a(x,▽u)-a(x,▽▽
=∫Ω{|▽u|p-2u-|▽▽
=∫Ω{|▽u|p-2u-|▽▽
{|▽u|p-2▽u-|▽|p-2▽▽
由a(s)=|s|p-2s有a′(s)=(p-1)|s|p-2≥0。

因而a(s)是单调递增的，即下面(2.4)和(2.5)成立：
(a(s1)-a(s2))·(s1-s2)≥0.
{|▽u|p-2▽u-|▽|p-2▽▽
因此，通过(2.3)结合文献[3]有
x.
最后，对上式两边积分则引理得证。

在上式中是集合>0}的特征函数，即在集合>0}上=1，在集合上。

引理 2在引理1中有，,且根据假设(a)，则下面的性质成立：如果和▽，那么。

则引理1中的解就有。

证明：由于，通过引理1就能有。

因此，下面的关系成立：
⊂,
这就意味着在(2.3)式的左边的第一项为0，即对几乎处处的t∈[0,T]和任意的ε>0,有。

因此将(2.3)式和(2.4)式结合，对几乎处处的t∈[0,T]和任意的ε>0
{|▽u|p-2▽u-|▽|p-2▽▽.再由(2.4)式和假设的条件下，就得出
a(x,u)=|▽u|p-2▽|▽|p-2▽.
因而就有在集合<ε}上有▽u=▽，这就意味着)∧ε)在Ω是一个常数。

这个常数是和ε>0无关的，因为集合<ε}时随着的增大而增大的。

最后我们得出结论▽.因此，我们就有了。

定理(解的唯一性)某一确定的f∈W1,2(0,T;H)和ρ，且对某个u0∈K1(t)有
ρ0=ρ(u0)，那么问题(P;ρ0,f,K1(t))的解是唯一的。

证明：通过引理1和引理2的证明，我们可知，问题(P;ρ0,f,K1(t))的解主要是
f∈W1,2(0,T;H)和ρ唯一决定的，所以当f∈W1,2(0,T;H)和ρ是唯一确定的话，那么我们很容易得出解的唯一的，即当时，有。

【相关文献】
[1]袁海君, 一类p-Laplacian椭圆抛物型偏微分方程解的存在性[J],湖南工程职业技术学院学报2013,(4)18-21.
[2]M. Kubo and N.Yamazaki. Elliptic-Parabolic Variational Inequalities With Time dependent Constants[J].Discrete and continous dynamical systems.Vol.19, Number.2. 2007, pp.335-359
[3]N. Kenmochi and I. Pawlow.Parabolic-elliptic free boundary problems with time-dependent obstacles[J].Japan J.Appl.Math.,5(1988),87-121。