1-2图解法

运
存 在，其中的点表示的解称为此线性规划的可行解。这些符合约束
筹 学
限制 的点集合，称为可行集或可行域。然后进行步骤3。否则该线 性规划 问题无可行解。
x
2
40
3 0 20
10
O
10
2
30
4
x1
0
0
一 图解法的基本步骤
（3）图示目标函数。 绘制梯度方向（法线）：过原点做一条矢量
指向点（c1，c2）;
的目标函数值。比较周围相邻顶点的目标函数
值是否比这个值大，如果为否，则该顶点就是
最优解的点之一，否则转到比这个顶点的目标
运
函数值大的另一顶点，重复上述过程，一直到 找出使目标函数值达到最大的顶点为止。
筹
学
顶点到顶点的迭代。
谢谢！
运 筹 学
无可行解,即无最优解
10
2
30
4
50
x1
二 线性规划问题解的结局
由以上例题可知，线性规划的解有4种情况： (1)有唯一最优解 (2)有多重解
(3) 有无界解（无有限最优解）
运
(4) 无可行解
筹
(1)、(2)情形为有最优解
学
(3)、(4)情形为无最优解
二 线性规划问题解的结局
➢ 可行域为空集 无可行解
绘制等值线：一簇垂直于梯度方向的等值线，
运 一般仅绘制过原点的那条等值线（z=0）作为参照。
筹 学
Z C1X1 C2 X 2
X2
C1 C2
X1
Z C2
x
2
40
3 0
20
10
(3,4)
O
10
2
30
4
x1
0
0
一 图解法的基本步骤
（4）最优解的确定。Max问题沿着梯度方向 选 择，min问题沿着梯度方向反向选择，一直到 等值 线与约束条件包围成的凸多边形相切时为止 ，切点 就是代表最优解的点。
运
X2
C1 C2
X
1
Z C2
筹
学
x
2
40
3 0
20
10
(3,4)
(15,10)
最优解X=(15,10) 最优值Z=85
O
10
2
30
4
x1
0
0
x2
【例2】 min Z=x1+2x2
6 4
2 (1,2)
(3,1)
最优解X=(3,1) 最优值Z=5
2
4
6
x1
【例3】 min Z=5x1+5x2 x2
运
②判定线性规划问题解的结局；
筹
③理解单纯形法的思路。
学
主 要 内容
01 图解法的基本步骤
02 线性规划问题解的结局
运
03 图解法的启示
筹
学
一 图解法的基本步骤
➢ 可行解：满足约束条件的一组变量值，称可行解。
➢ 可行域：可行解的全体。
➢ 最优解：使目标函数达到最优（最大或最小）的可行解。
运
➢ 最优值：将最优解代入目标函数得到的值。
史新峰
西安邮电大学现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第一章 线性规划与单纯形法
1.2 图解法
运 筹 学
引言
优点：直观性强，计算方便 缺点：只适用于问题中有两个变量的情况
作用：①掌握一种求解线性规划问题的方法；
无最优解
➢ 可行域非空： 1)有唯一解 (顶点)
运
2)有无穷多个解 (两个顶点间的连线)
筹
3)无界解
学
三 图解法的启示
线性规划解的特点 ➢ 可行域是一个凸多边形，集合是一个凸集. ➢ 最优解一定可以在可行域的顶点处达到（唯一、无穷多）
运 筹 学
三 图解法的启示
最优解求解思路的启示 先找出凸集的任意一顶点，计算在顶点处
6 有无穷多个最优解即具 有多重解,通解为:
4
X（1）＝（1,3）
x x(1) (1)x(2) ,0 1
2
(5,5)
X（2）＝（3,1）
最优值Z=20
4
6

x1
2
x
2
6
4
2 (1,2)
2
【例4】
max Z=x1+2x2
无界解(无最优解)
4
6
x1
x
52 0 40
30
20
10
O
【例5】 max Z=10x1+4x2
筹
学
一 图解法的基本步骤
【例1】
运 筹 学
一 图解法的基本步骤
1. 分别取决策变量x1 ,x2 为坐标向量建立直角坐标系，并适当选 取
单位坐标长度。
2. 图示约束条件，找出可行域。 对每个约束（包括非负约束）
条件，先取其等式在坐标系中作出直线; 再通过判断确定不等式
所决定的半平面。各约束半平面交出来的区域(存在或不存在），若