高中物理物理解题方法：微元法压轴题知识归纳总结含答案解析

高中物理物理解题方法：微元法压轴题知识归纳总结含答案解析
一、高中物理解题方法：微元法
1．雨打芭蕉是我国古代文学中重要的抒情意象．为估算雨天院中芭蕉叶面上单位面积所承受的力，小玲同学将一圆柱形水杯置于院中，测得10分钟内杯中雨水上升了15mm ，查询得知，当时雨滴落地速度约为10m ／s ，设雨滴撞击芭蕉后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103kg ／m 3，据此估算芭蕉叶面单位面积上的平均受力约为 A ．0.25N B ．0.5N
C ．1.5N
D ．2.5N
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
由于是估算压强，所以不计雨滴的重力．设雨滴受到支持面的平均作用力为F ．设在△t 时间内有质量为△m 的雨水的速度由v =10m/s 减为零．以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理：F △t =0-（-△mv ）=△mv ．得：F =
mv
t
；设水杯横截面积为S ，对水杯里的雨水，在△t 时间内水面上升△h ，则有：△m =ρS △h ；F =ρSv
h
t
．压强为：33
22151011010/0.25/1060
F h P v N m N m S t ρ-⨯===⨯⨯⨯=⨯，故A 正确，BCD 错误．
2．水刀切割具有精度高、无热变形、无毛刺、无需二次加工以及节约材料等特点，得到广泛应用．某水刀切割机床如图所示，若横截面直径为d 的水流以速度v 垂直射到要切割的钢板上，碰到钢板后水的速度减为零，已知水的密度为ρ，则钢板受到水的冲力大小为
A ．2d v πρ
B ．22d v πρ
C ．2
1
4
d v πρ
D ．22
14
d v πρ
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
设t 时间内有V 体积的水打在钢板上，则这些水的质量为：
21
4
m V Svt d vt ρρπρ===
以这部分水为研究对象，它受到钢板的作用力为F ，以水运动的方向为正方向，由动量定理有：
Ft =0-mv
解得：
221
4
mv F d v t πρ=-
=- A. 2d v πρ与分析不符，故A 错误． B. 22d v πρ与分析不符，故B 错误． C. 2
1
4
d v πρ与分析不符，故C 错误． D. 22
14
d v πρ与分析相符，故D 正确．
3．估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得1小时内杯中水上升了45mm 。

查询得知，当时雨滴竖直下落速度约为12m/s 。

据此估算该压强约为（ ）（设雨滴撞击唾莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103kg/m 3） A ．0.15Pa B ．0.54Pa
C ．1.5Pa
D ．5.1Pa
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
由于是估算压强，所以不计雨滴的重力。

设雨滴受到支持面的平均作用力为F 。

设在△t 时间内有质量为△m 的雨水的速度由v =12m/s 减为零。

以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理有
()0F t mv mv ∆=--∆=∆
得到
m
F v t
∆=
∆ 设水杯横截面积为S ，对水杯里的雨水，在△t 时间内水面上升△h ，则有
m S h ρ∆=∆ =h F Sv
t
ρ∆∆ 所以有压强
33
45101012Pa 0.15Pa 3600
F h P v S t ρ-∆⨯===⨯⨯=∆
即睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强为0.15Pa 。

故A 正确，BCD 错误。

故选A 。

4．如图所示，半径为R 的1/8光滑圆弧轨道左端有一质量为m 的小球，在大小恒为F 、方向始
终与轨道相切的外力作用下，小球在竖直平面内由静止开始运动，轨道左端切线水平，当小球运动到轨道的末端时立即撤去外力，此时小球的速率为v，已知重力加速度为g，则( )
A．此过程外力做功为FR
B．此过程外力做功为
C．小球离开轨道的末端时，拉力的功率为
D．小球离开轨道末端时，拉力的功率为Fv
【答案】B
【解析】
【详解】
AB、将该段曲线分成无数段小段,每一段可以看成恒力，可知此过程中外力做功为：
，故B正确，A错误；
CD、因为F的方向沿切线方向，与速度方向平行，则拉力的功率P=Fv，故C、D错误；
故选B。

【点睛】
关键是将曲线运动分成无数段，每一段看成恒力，结合功的公式求出此过程中外力做功的大小；根据瞬时功率公式求出小球离开轨道末端时拉力的功率。

5．根据量子理论，光子的能量为E=hv，其中h是普朗克常量．
（1）根据爱因斯坦提出的质能方程E=mc2，光子的质量可表示为m=E/c2，由动量的定义和相关知识，推导出波长为λ的光子动量的表达式p=h/λ；
（2）光子能量和动量的关系是E=pc．既然光子有动量，那么光照到物体表面，光子被物体吸收或反射时，都会对物体产生压强，这就是“光压”．
a. 一台二氧化碳气体激光器发出的激光功率为P0=103W，发出的一细束激光束的横截面积为S=1mm2．若该激光束垂直照射到物体表面，且光子全部被该物体吸收，求激光束对该物体产生的光压P0的大小；
b. 既然光照射物体会对物体产生光压，科学家设想在遥远的宇宙探测中，可以用光压为动力使航天器加速，这种探溅器被称做“太阳帆”．设计中的某个太阳帆，在其运行轨道的某一阶段，正在朝远离太阳的方向运动，太阳帆始终保持正对太阳．已知太阳的质量为
2×1030kg，引力常量G=7×10-11Nm2/kg2，太阳向外辐射能量的总功率为P=4×1026W，太阳光
照到太阳帆后有80%的太阳光被反射．探测器的总质量为m=50kg ．考虑到太阳对探测器的万有引力的影响，为了使由太阳光光压产生的推动力大于太阳对它的万有引力，太阳帆的面积S 至少要多大？（计算结果保留1位有效数字）
【答案】（1）证明见解析；（2）a.0 3.3Pa P = ；b. 42
310s m =⨯
【解析】 【分析】 【详解】
（1）光子的能量 E=mc 2
E ＝h ν＝h c
λ
光子的动量 p=mc 可得
E h
p c λ
＝＝
（2）一小段时间△t 内激光器发射的光子数
0 P t
n c h
λ
＝
光照射物体表面，由动量定理
F △t=np 产生的光压 I ＝ F S
解得
I ＝
P cS
带入数据解得：
I =3.3pa
（3）由（2）同理可知，当光80%被反射，20%被吸收时，产生的光压
9 5P
I cS
＝
距太阳为r 处光帆受到的光压
2
954P
I c r ＝
π⋅
太阳光对光帆的压力需超过太阳对探测器的引力
IS ′＞G 2 Mm r
解得
S ′＞
20 9cGMm
P
π
带入数据解得
42310S m ⨯'≥
【点睛】
考查光子的能量与动量区别与联系，掌握动量定理的应用，注意建立正确的模型是解题的
关键；注意反射的光动量变化为2mv ，吸收的光动量变化为mv ．
6．某中学科技小组的学生在进行电磁发射装置的课题研究，模型简化如下。

在水平地面上固定着相距为L 的足够长粗糙导轨PQ 及MN ，PQNM 范围内存在可以调节的匀强磁场，方向竖直向上，如图所示，导轨左侧末端接有电动势为E 、内阻为r 的电源，开关K 控制电路通断。

质量为m 、电阻同为r 的导体棒ab 垂直导轨方向静止置于上面，与导轨接触良好。

电路中其余位置电阻均忽略不计。

导轨右侧末端有一线度非常小的速度转向装置，能将导体棒水平向速度转为与地面成θ角且不改变速度大小。

导体棒在导轨上运动时将受到恒定的阻力f ，导轨棒发射后，在空中会受到与速度方向相反、大小与速度大小成正比的阻力，f 0=kv ，k 为比例常数。

导体棒在运动过程中只平动，不转动。

重力加速度为g 。

调节磁场的磁感应强度，闭合开关K ，使导体棒获得最大的速度。

（需考虑导体棒切割磁感线产生的反电动势）
(1)求导体棒获得最大的速度v m ；
(2)导体棒从静止开始达到某一速度v 1，滑过的距离为x 0，导体棒ab 发热量Q ，求电源提供的电能及通过电源的电量q ；
(3)调节导体棒初始放置的位置，使其在到达NQ 时恰好达到最大的速度，最后发现导体棒以v 的速度竖直向下落到地面上。

求导体棒自NQ 运动到刚落地时这段过程的平均速度大小。

【答案】(1) 2m 8E v fr =；(2)电源提供的电能2
10122W mv fx Q =++，通过电源的电量
20122fx mv Q
q E E E
=++
；(3) 22cos sin 8mg E v k E frv θθ=+ 【解析】 【分析】 【详解】
(1)当棒达到最大速度时，棒受力平衡，则
A f F = A F BiL =
2E BLv
i r
-=
联立解得
2
2211fr E v L B L B -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
据数学知识得
2
m 8E v fr
=
(2)导体棒电阻为r ，电源内阻为r ，通过两者的电流始终相等，导体棒ab 发热量Q ，则回路总电热为2Q ；据能量守恒定律知，电源提供的电能
2101
22
W mv fx Q =++
据电源提供电能与通过电源的电量的关系W Eq =可得，通过电源的电量
20122fx mv W Q
q E E E E
==++
(3)导体棒自NQ 运动到刚落地过程中，对水平方向应用动量定理可得
x x x kv t m v k x m v -∆=∆⇒-∆=∆
解得：水平方向位移
2cos 8m E x k fr
θ∆=
对竖直方向应用动量定理可得
y y y kv t mg t m v k y mg t m v -∆-∆=∆⇒-∆-∆=∆
解得：运动的时间
2
sin 8E v
fr
t g
θ+∆=
据平均速度公式可得，导体棒自NQ 运动到刚落地时这段过程的平均速度大小
22cos sin 8x mg E v t k E frv
θθ∆==∆+
7．守恒定律是自然界中某种物理量的值恒定不变的规律，它为我们解决许多实际问题提供了依据．在物理学中这样的守恒定律有很多，例如：电荷守恒定律、质量守恒定律、能量守恒定律等等．
(1)根据电荷守恒定律可知：一段导体中通有恒定电流时，在相等时间内通过导体不同截面的电荷量都是相同的．
a．己知带电粒子电荷量均为g，粒子定向移动所形成的电流强度为，求在时间t内通过某一截面的粒子数N．
b．直线加速器是一种通过高压电场使带电粒子加速的装置．带电粒子从粒子源处持续发出，假定带电粒子的初速度为零，加速过程中做的匀加速直线运动．如图l所示，在距粒子源l1、l2两处分别取一小段长度相等的粒子流I∆．已知l l:l2=1:4，这两小段粒子流中所含的粒子数分别为n1和n2，求：n1:n2．
(2)在实际生活中经常看到这种现象：适当调整开关，可以看到从水龙头中流出的水柱越来越细，如图2所示，垂直于水柱的横截面可视为圆．在水柱上取两个横截面A、B，经过A、B的水流速度大小分别为v I、v2；A、B直径分别为d1、d2，且d1：d2=2:1．求：水流的速度大小之比v1:v2．
(3)如图3所示：一盛有水的大容器，其侧面有一个水平的短细管，水能够从细管中喷出；容器中水面的面积S l远远大于细管内的横截面积S2;重力加速度为g．假设水不可压缩，而且没有粘滞性．
a．推理说明：容器中液面下降的速度比细管中的水流速度小很多，可以忽略不计：b．在上述基础上，求：当液面距离细管的高度为h时，细管中的水流速度v．
【答案】（1）a.
Q It
N
q q
==；b.
2
1
:2:1
n
n=；（2）22
1221
::1:4
v v d d
==；（3）a.
设：水面下降速度为1v ，细管内的水流速度为v ．按照水不可压缩的条件，可知水的体积守恒或流量守恒，即：12Sv Sv =,由12S S >>，可得12v v <<．所以：液体面下降的速度1v 比细管中的水流速度可以忽略不计．
b. v 【解析】 【分析】 【详解】 (1)a.电流Q I t
=
， 电量Q Nq = 粒子数Q It N q q
=
=
b.根据v 可知在距粒子源1l 、2l 两处粒子的速度之比：12:1:2v v = 极短长度内可认为速度不变，根据x v t
∆=∆， 得12:2:1t t =
根据电荷守恒，这两段粒子流中所含粒子数之比：12:2:1n n = (2)根据能量守恒，相等时间通过任一截面的质量相等，即水的质量相等.
也即：2
··
4
v d π
处处相等 故这两个截面处的水流的流速之比：2
2
1221::1:4v v d d == (3)a .设：水面下降速度为1v ，细管内的水流速度为v .
按照水不可压缩的条件，可知水的体积守恒或流量守恒，即：12Sv Sv = 由12S S >>，可得:12v v <<.
所以液体面下降的速度1v 比细管中的水流速度可以忽略不计. b.根据能量守恒和机械能守恒定律分析可知：
液面上质量为m 的薄层水的机械能等于细管中质量为m 的小水柱的机械能． 又根据上述推理：液面薄层水下降的速度1v 忽略不计，即10v =. 设细管处为零势面，所以有：2
1002
mgh mv +=+
解得:v =
8．如图所示，一个滑块质量为2kg ，从斜面上A 点由静止下滑，经过BC 平面又冲上另一斜面到达最高点D ．已知AB=100cm ，CD=60cm ，∠α=30°，∠β=37°，（g 取10m/s 2）试求：
（1）滑块在A 和D 点所具有的重力势能是多少？（以BC 面为零势面）
（2）若AB 、CD 均光滑，而只有BC 面粗糙，BC=28cm 且BC 面上各处粗糙程度相同，则滑块最终停在BC 面上什么位置？
【答案】(1)10PA E J = 7.2PD E J = (2)S 16cm = 【解析】
10PA AB E mgs sin J α== 7.2PD CD E mgs sin J β==
功能关系得：A 到D :μmg 2.8J?BC PA PD s E E =-= ① 设滑块在BC 上的 路程为: n BC s , A 到最后停止,由动能定理得:
μmg n 0BC PA s E =- ②
解出4n 3
7=， 故距C 点的距离为：4
s 2816cm 7
cm =⨯=.
9．CD 、EF 是水平放置的电阻可忽略的光滑平行金属导轨，两导轨距离水平地面高度为H ，导轨间距离为L ，在水平导轨区域存在磁感强度方向垂直导轨平面向上的有界匀强磁场（磁场区域为CPQE ），磁感应强度大小为B ，如图所示，导轨左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接，弯曲的光滑轨道的上端接有一电阻R ，将一阻值也为R 质量m 的导体棒从弯曲轨道上距离水平金属导轨高度h 处由静止释放，导体棒最终通过磁场区域落在水平地面上距离水平导轨最右端水平距离x 处。

已知导体棒与导轨始终接触良好，重力加速度为g ，求：
(1)电阻R 中的最大电流和整个电路中产生的焦耳热； (2)磁场区域的长度d 。

【答案】（1）2BL gh I =，24mgx mgh H -；（2）222(2)2mR g
d gh x B L H =
【解析】 【分析】 【详解】
(1)由题意可知，导体棒刚进入磁场的瞬间速度最大，产生的感应电动势最大，感应电流最大， 由机械能守恒定律有
2112
mgh mv =
解得
1v =由法拉第电磁感应定律得
1E BLv =
由闭合电路欧姆定律得
2E I R
=
联立解得
I =
由平抛运动规律
2212
x v t H gt ==
解得
2v =由能量守恒定律可知整个电路中产生的焦耳热为
2
221211224mgx Q mv mv mgh H
=-=-
(2)导体棒通过磁场区域时在安培力作用下做变速运动。

由牛顿第二定律有
BIL ma =
又
∆=
∆v
a t
2BLv
I R
=
所以有
22
2B L v t m v R
∆=∆ 两边求和得
222B L v t m v R
∆=∆∑∑
12,v t d v v v ∆=∆=-∑∑
联立解得 222(2)2mR g d gh x B L H
=-
10．电磁缓冲器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度。

某同学借助如下模型讨论电磁阻尼作用：如图，足够长的U 型光滑金属导轨平面与水平面成θ角(090θ<<)，其中MN 与PQ 平行且间距为L ，导轨平面与磁感应强度为B 的匀强磁场垂直，导轨电阻不计。

金属棒ab 质量为m ，接入电路部分的电阻为R ，与两导轨始终保持垂直且良好接触。

金属棒ab 由静止开始沿导轨下滑，到ab 棒速度刚达到最大的过程中，流过ab 棒某一横截面的电量为q ，（重力加速度g ）。

求： (1)金属棒ab 达到的最大速度；
(2)金属棒ab 由静止到刚达到最大速度过程中产生的焦耳热。

【答案】(1)22sin mgR B L θ；(2)322244sin sin 2θθ-mgqR m g R BL B L
【解析】
【分析】
【详解】
(1)金属棒ab 达到最大速度时，受力平衡，则有
sin mg F θ=安，F BIL =安
根据闭合电路欧姆定律则有
m BLv I R
= 联立可得
m 22
sin mgR v B L θ= (2)假设全过程下滑位移为x ，对全过程应用动能定理则有
k sin mgx W E θ-=∆安
其中
=BLx E t t ∆Φ=∆∆ E q t R
=
∆ 联立可得 322244sin sin 2mgqR m g R Q W BL B L
θθ==-安。