高考数学压轴专题最新备战高考《平面向量》难题汇编含解析

新单元《平面向量》专题解析
一、选择题
1．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．134
-
B ．
54
C ．5
D ．
154
【答案】B 【解析】 【分析】
据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r
，再
根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【详解】 设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r 的方向为x 轴，CA u u u r
的方向为y 轴，建立直角
坐标系，
则1,12E ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，
所以95144
DE DF ⋅=-=u u u r u u u r .
故选：B. 【点睛】
本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.
2．已知,a r b r 是平面向量，满足||4a =r ，||1b ≤r 且|3|2b a -≤r r ，则cos ,a b 〈〉r
r 的最小值是
（ ）
A ．
1116
B ．
78
C ．
158
D ．
315
16
【答案】B 【解析】 【分析】
设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r
，利用几何意义知B 既在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案. 【详解】
设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r
，由题意，知B 在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，
由|3|2b a -≤r r
，知B 在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示
则B 只能在阴影部分区域，要cos ,a b 〈〉r
r 最小，则,a b <>r r 应最大，
此时()
222222min
4327
cos ,cos 22438
OA OB AB a b BOA OA OB +-+-〈〉
=∠===⋅⨯⨯r
r .
故选：B. 【点睛】
本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.
3．已知向量a r 与向量b r 满足||2a =r ，||2b =r ||||5a b a b +⋅-=r r r r ，则向量a r
与向量b r
的夹角为( )
A ．
4π或
34
π B ．6π或56π
C ．3π或23π
D ．2π 【答案】A 【解析】 【分析】
设向量a r ，b r
的夹角为θ，则2||1282a b θ+=+r r ，2||1282a b θ-=-r r ，即可
求出2cos θ，从而得到向量的夹角；
【详解】
解：设向量a r ，b r
的夹角为θ，222||||||2||||cos 4882cos a b a b a b θθ+=++=++r r r r r r 1282cos θ=+，222||||||2||||cos 4882cos 1282cos a b a b a b θθθ-=+-=+-=-r r r r r r
，所以
2222||||144128cos (45)80a b a b θ+⋅-=-==r r r r ，2
1cos 2
θ∴=，因为[0,)θπ∈，故
4
π
θ=
或
34
π
，故选：A. 【点睛】
本题考查平面向量的数量积的运算律，及夹角的计算，属于中档题.
4．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若
(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r
，则λ＋μ的值为（ ）
A ．
65
B ．
85
C ．2
D ．83
【答案】B 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r
，列
出方程组求解即可. 【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).
不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，
(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=u u u r u u u r u u u r
CA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得65
2
5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
则85λμ+=.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.
5．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r
（ ）
A ．3144A
B A
C -u u u
r u u u r B ．1136
AB AC -u u u r u u u r
C ．2133AB AC -u u u r u u u r
D ．3144AB AC +u u u
r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r
，化简得到答案. 【详解】 ()
11312444
MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
u u u u r r u u u r .
故选：A . 【点睛】
本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
6．已知向量a v ，b v 满足a b a b +=-r r
v v
，且||a =v ||1b =r ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为
（ ） A ．
3
π B ．
23
π C ．
6
π D ．
56
π 【答案】B 【解析】 【分析】
对a b a b +=-v v v v 两边平方，求得0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .画出图像，根据图像确定b v 与
a b
-v v 的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.
【详解】
因为a b a b +=-v v v v ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+v v v v v v v v ，即0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .
如图，设AB a =u v v ，AD b =u u u v v
，则向量b v 与a b -v v 的夹角为BDE ∠，因为
tan 3BDA ∠
=，所以3
BDA π
∠=
，23
BDE π
∠=
.故选B.
【点睛】
本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.
7．若向量a b r r ，的夹角为3
π
，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ）
A ．1
2
-
B ．
12
C ．
32
D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】
由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =⋅r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r
，可得20t a a b ⋅+⋅=r r r
，即可得出答案.
【详解】
由|2|||a b a b -=+r r r r
两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r .
即22b a b =⋅r r r ，也即22cos 3
b a b π
=r r r ，所以b a =r r .
又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ⋅+=r r r
，即20t a a b ⋅+⋅=r r r .
所以222
1122b
a b t a b
⋅=-=-=-r r r r r 故选：A 【点睛】
本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.
8．设x ，y 满足10
2024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩
，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m
的最小值为（ ）
A ．
125
B ．125
-
C ．
32
D ．32
-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】
解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r
，
由a b ⊥r r
得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，
由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得85
4
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
∴416122555
m y x =-=-=-， 故选：B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
9．已知点1F ，2F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左，右焦点，过原点O 且倾斜
角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ，且1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
，则椭圆C
的离心率为（ ） A 31 B ．23
C ．
1
2
D ．
22
【答案】A 【解析】 【分析】
由1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，在12Rt MF F V 中，求出2MF ，1MF ，
,a c 的关系，求出离心率可得选项. 【详解】
将1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，即
12121
||2
MF MF OM F F c ⊥=
=，.
又60MOF ∠=︒，∴2MF c =，1MF =，∴2a c =+，∴1c
e a
=
=. 故选:A. 【点睛】
考查了向量的数量积,椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于,a c 的关系，属于中档题.
10．设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线
于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若
(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225
+=8
λμ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
3
B ．
5
C ．
2
D ．
98
【答案】A 【解析】 【分析】
先根据已知求出,u λ，再代入2
2
5
+=
8
λμ求出双曲线的离心率. 【详解】
由题得双曲线的渐近线方程为b y x a =±，设F(c,0)，则2
(,),(,),(,),bc bc b A c B c P c a a a
-
因为(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，所以2(,)((),())b bc c u c u a a
λλ=+-.
所以,,b
u c u c
λλ+=-= 解之得,.22b c c b
u c c
λ+-=
=
因为2
2
5+=8λμ，所以225(
)(),228b c c b c e c c a +-+=∴=∴= 故答案为A 【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.解答本题的关键是根据(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v
求出,u λ.
11．在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3
BAD π∠=
，M 为DC 的中点，N
为平面ABCD 内一点，若AB NB AM AN -=-u u u v u u u v u u u u v u u u v ，则AM AN ⋅=u u u u v u u u v （ ）
A ．16
B ．12
C ．8
D ．6
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|AN u u u r |＝|MN u u u u r
|，再根据向量的数量积公式计算即可 【详解】
由|AB NB -u u u r u u u r |＝|AM AN -u u u u r u u u r |，可得|AN u u u r
|＝|NM u u u u r |，
取AM 的中点为O ，连接ON ，则ON ⊥AM ，
又12
AM AD AB =+u u u u r u u u r u u u r ，
所以AM u u u u r •21122AN AM ==u u u r u u u u r （12AD AB +u u u r u u u r ）212=（2214AD AB AD ++u u u r u u u r u u u r •AB u u u r ）12=
（414+
⨯16+2×41
2⨯）＝6， 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题
12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共
线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r
，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过
O 点，则S 2010等于（ ） A ．1005 B ．1006
C ．2010
D ．2012
【答案】A 【解析】 【分析】
根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r
，及三点A ，
B ，
C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】
由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；
由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，
所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010(
)
12010201020101
10052
2
a a +⨯=
=
=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
13．如图，在ABC V 中，已知D 是BC 边延长线上一点，若2B C C D =u u u v u u u v
，点E 为线段
AD 的中点，34
AE AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v
，则λ=（ ）
A ．
1
4
B ．14
-
C ．
13
D ．13
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由12AE AD =u u u r u u u r ，AD BD BA =-u u u r u u u r u u u r ，AC BC BA =-u u u
r u u u r u u u r ，32
BD BC =u u u r u u u r ，代入化简即可得出．
【详解】 13,,,22AE AD AD BD BA BD BC BC AC AB ==-==-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，带人可得
()
13132244AE AC AB AB AB AC ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，可得14λ=-，
故选B. 【点睛】
本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．已知椭圆C ：2
212
x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C
于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v
，则AF u u u v ＝( )
A ．2
B ．2
C ．3
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v
，得043x =
，01
3
y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得2AF =u u u v
【详解】 根据题意作图：
设点()2,A n ，()00,B x y ．
由椭圆C ：2
212
x y += ，知22a =，21b =，21c =，
即1c =，所以右焦点F (1,0)．
由3FA FB =u u u v u u u v
，得()()001,31,n x y =-． 所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =
，01
3
y n =. 将x 0，y 0代入2
212
x y +=，
得22
1411233n ⎛⎫⎛⎫
⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =， 所以()2
212112AF n u u u v =-+=+=
【点睛】
本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.
15．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，则当,1[]2t ∈-时，a tb -r r 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 【答案】D
【解析】
【分析】 根据(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，得到1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，再利用22()1a tb a tb t -=-=+r r r r 求解.
【详解】 因为(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，
所以1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，
所以22()1a tb a tb t -=-=+r r r r ，
当[]2,1t ∈-时，max
5a tb -=r r . 故选：D
【点睛】
本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.
16．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，3AE EO =u u u v u u u v ，则•EC ED u u u v u u u v
的值是（ ）
A ．45-
B ．1516-
C ．14-
D ．5
8
- 【答案】B
【解析】
根据向量表示化简数量积，即得结果.
【详解】 ()()()()
•••EC ED EO OC EO OD EO OC EO OC =++=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2221151416EO OC ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v ,选B. 【点睛】
本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.
17．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r ，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值范围是( )
A ．[0,2]
B
．[0, C ．[0,4] D ．[0,8] 【答案】D
【解析】
【分析】
以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r
分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解．
【详解】 设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r
， 以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则
(2,0),(0,2)A B ，
依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动， 设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r ，
由圆心到直线22x y t +=
的距离d =
≤，可得[0,8]t ∈.
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．
18．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（ ）
A ．714-
B ．24-
C ．514-
D ．30-
【答案】A
【分析】
依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求
出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，
()
0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D
因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x < AE BE =Q
()22
2001x x +=-解得01x =-
(
E ∴-
(
C Q ，()5,0D
CD ∴所在直线的方程为y =+
因为点M 在边CD 所在直线上，故设(,M x + (
,AM x ∴=+u u u u r
(
1E x M -=--u u u r
()
1AM ME x x -∴⋅=--++u u u u r u u u r 242660x x =-+-
242660x x =-+-
23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝
当134
x =时()max 714
AM ME ⋅=-u u u u r u u u r 故选：A
【点睛】
本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.
19．已知,A B 是圆22
:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v ，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v （ ） A ．843+B ．843-C ．12 D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 由题意1122
OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，则22521151133226
32OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又圆的半径为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=u u u v u u u v ，2216OA OB ==u u u v u u u v ，所以12OC OM ⋅=u u u r u u u u r ．故本题答案选C ．
点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.
20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r
，
120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （ ）
A ．4
B
C ．2
D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】 根据向量的线性运算可得3144
EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可.
【详解】 因为11131()22244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6
EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216
=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916
=
，
所以||4
EB =u u u r ， 故选：A
【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。