2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(17 计数原理、二项式定理)

2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
（17计数原理、二项式定理）
一、选择题：
1. (2012安徽理)2
521
(2)(
1)x x
+-的展开式的常数项是（ ） ()A 3- ()B 2- ()C 2 （D ）3 【解析】选D
第一个因式取2
x ，第二个因式取21x 得：1451(1)5C ⨯-=
第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：5
2(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=
2.(2012安徽理)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，
进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品 的同学人数为（ ）
()A 1或3 ()B 1或4 ()C 2或3 （D ）2或4 【解析】选D
261315132C -=-=
①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人
3. (2012北京理)从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )
A. 24
B. 18
C. 12
D. 6
【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。

如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况。

【答案】B 4．(2012广东理)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任选一个，其中个位数为0的概率是（ ） A ．
94 B ．31 C ．9
2
D ．91
解析：（D ）．两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，而其中个位数为0的有5个，是10,30,50,70,90。

所以，所求事件的概率为
9
1
455=
5．(2012湖北理)设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =
A ．0
B ．1
C ．11
D ．12 考点分析：本题考察二项展开式的系数. 难易度：★ 解析：由于
51=52-1，152...5252)152(1201120122011120122012020122012
+-+-=-C C C ,
又由于13|52,所以只需13|1+a ，0≤a<13,所以a=12选D.
6.(2012辽宁理) 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）
(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4
(D) 9！ 【答案】C
【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有
33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。

因此不同的坐法种数为4(3!)，答
案为C
【点评】本题主要考查分步计数原理，以及分析问题、解决问题的能力，属于中档题。

7. (2012全国大纲卷文)6位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（ ）
（A ）240种 （B ）360种 （C ）480种 （D ）720种
【解析】先排甲，有4种方法，剩余5人全排列有1205
5=A 种，所以不同的演讲次序有4801204=⨯种，选C. 【答案】C
8. (2012全国大纲卷理)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有
（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种
【解析】第一步先排第一列有63
3=A ，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图
，所以共有1226=⨯种，选A.
【答案】A
9.(2012全国新课标卷理)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实
践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
（A ）12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种 【解析】先安排老师有22
2=A 种方法，在安排学生有62
4=C ，所以共有12种安排方案，选A. 【答案】A
10.(2012山东理)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ） （A ）232 (B)252 (C)472 (D)484
解析：4728856072166
14
151641
122
43
43
16=-=--⨯⨯=
--C C C C ,答案应选C 。

另解：472122642202
1112412610111232
12143431204=-+=⨯⨯+-⨯⨯=
+-C C C C C .
11. (2012陕西理)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）
（A ） 10种 （B ）15种 （C ） 20种 （D ） 30种
12、(2012四川文、理)7(1)x +的展开式中2
x 的系数是（ ）
A 、21
B 、28
C 、35
D 、42 [答案]A
[解析]二项式7
)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k
k x C 7，令k=2，则2273x C T 、= 21C x 2
72=∴的系数为
[点评]高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力.
13、(2012四川理)方程22
ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A 、60条
B 、62条
C 、71条
D 、80条 [答案]B
[解析]方程2
2
ay b x c =+变形得2
22
b c
y b a x -
=
，若表示抛物线，则0,0≠≠b a 所以，分b=-3,-2,1,2,3五种情况：
（1）若b=-3，⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧-==-==-===-=2,1,0,233,1,0,2,23
,2,0,2c ,13
,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a ; （2）若b=3,
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧-==-==-===-=2
,1,0,233,1,0,2,23
,2,0,2c ,13
,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a 以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；
同理当b=-2,或2时，共有23条； 当b=1时，共有16条.
综上，共有23+23+16=62种
[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.
14、(2012四川文)方程22
ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A 、28条
B 、32条
C 、36条
D 、48条 [答案]B
[解析]方程2
2
ay b x c =+变形得222
b
c y b a x -=
，若表示抛物线，则0,0≠≠b a 所以，分b=-2,1,2,3四种情况：
（1）若b=-2，⎪⎩
⎪
⎨⎧======2,1,033,1,0,23,2,0c ,1或或，或或或或c a c a a ; （2）若b=2,
⎪⎩
⎪
⎨⎧-==-===-=1,0,233,0,2c ,13
,1,0,2或或，或或或或c a a c a 以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条； 同理 若b=1，共有9条； 若b=3时，共有9条.
综上，共有14+9+9=32种
[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排
列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.
15.(2012天津理)在5
2
)1
2(x
x -的二项展开式中，x 的系数为（ ）
（A ）10 （B ）-10 （C ）40 （D ）-40 【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用，并借助于通项公式分析项的系数.
【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r r C x -，∴103=1r
-，即=3r ，∴x 的系数为40-.
【答案】D
16．(2012浙江理)若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）
A ．60种
B ．63种
C ．65种
D ．66种
【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有： 4个都是偶数：1种；
2个偶数，2个奇数：22
5460C C =种； 4个都是奇数：455C =种． ∴不同的取法共有66种． 【答案】D
17.(2012重庆理) 3
21⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+x x 的展开式中常数项为（ ）
A.1635
B.835
C.4
35 D.105
18.(2012重庆文)5
(13)x - 的展开式中3
x 的系数为（ ） （A ）-270 （B ）-90 （C ）90 （D ）270
二、填空题：
1. (2012福建理)（a+x ）4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a=_________。

【解析】r 4343
144,3,8,=2.r r T C a x r C a a --+===∵∴时∴
【答案】２
【考点定位】该题主要考查二项式定理、二项式定理的项与系数的关系，考查计算求解能力.
2．(2012广东理) 6
21⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x 的展开式中3
x 的系数是 （用数字作答）
解析：20．
6
21⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x 的通项()
r
r r
r
r r x
C x x
C T 312662
611--+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅=，由3312=-r 得3=r ，则2036=C .
3．(2012湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则
（Ⅰ）4位回文数有 个；
（Ⅱ）21()n n ++∈N 位回文数有 个． 考点分析：本题考查排列、组合的应用. 难易度：★★ 解析：（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有90109=⨯种。

答案：90
（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。

2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n 项每项有10种情况，所以个数为n
109⨯.
法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。

计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导
,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因此,则答案为n
109⨯.
4. (2012湖南理) (
6
的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答） 【答案】-160
【解析】(
6的展开式项公式是663166C (C 2(1)r r r r r
r r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==，所以二项展开式中的常数项为333
46C 2(1)160T =-=-.
【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.
5.(2012全国大纲卷文)8
)21(x
x +的展开式中2x 的系数为____________. 【解析】二项展开式的通项为k k k k k
k k x C x x C T )2
1()21(288881⨯==--+，令228=-k ，解得3=k ，
所以232
3847)2
1(x x C T =⨯=，所以2x 的系数为7.
【答案】7
6. (2012全国大纲卷理)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式
中
的系数为_________.
【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即6
2n n C C =，所以8=n ，所以
展开式的通项为k k k k
k k x C x x C T 288881)1(--+==，令228-=-k ，解得5=k ，所以2586)1(x
C T =，所以2
1x
的系数为565
8=C . 【答案】56
7. (2012陕西理)5
()a x +展开式中2x 的系数为10， 则实数a 的值为 1 。

8. (2012上海文)在6
1x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的二项式展开式中，常数项等于 .
【答案】20-
【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是33
3
461C ()20T x x
=-=- . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.
9．(2012上海理)在6
)2(x
x -的二项展开式中，常数项等于 . 【答案】160-
【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333
462C ()160T x x
=-=- . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.
10．(2012上海文、理)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 【答案】
3
2 【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为
3
2. 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.
11．(2012浙江理)若将函数()5f x x =表示为()()()()2
5
0125111f x a a x a x a x =+++++
++
其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝______________． 【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．
即：5455433155
44310
100
a C a a a C a C a a =⎧⎪
+=⇒=⎨⎪++=⎩． 法二：对等式：()()()()2
5
50125111f x x a a x a x a x ==+++++
++两边连续对x 求导三次得：
2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++，再运用赋值法，令1x =-得：3606a =，即310a =．
【答案】10
12. (2012浙江文) 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两
点间的距离为2
2
的概率是___________。

【答案】
25
【命题意图】本题主要了以正方形中某些点为背景的随机事件的概率问题。

【解析】若使两点间的距离为2，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为1
42542
105
C C ==.
13.(2012重庆文)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）。

【答案】：
1
5
14.(2012重庆理)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）. 14、【答案】
5
3
【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课，排列有种排法，语文、数学、英语三门文化课相邻有3
34
4A A 种排法，语文、数学、英语三门文化课两门相邻有3
31
21
22
22
3A C C A C 种排法。

故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多
【考点定位】本题在计数时根据具体情况运用了插空法，做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义。