最短路径Auction算法及其在路径诱导中的应用

最短路径Auction算法及其在路径诱导中的应用
杜牧青;程琳
【摘要】Taking Dijkstra's algorithm as a reference, the algorithm s performance was tested in the "one-to-one" shortest path problems via a corresponding computer program coded in C#. The computational tests on the actual networks and random networks show the advantages of Auction algorithm' s principle. But its overall performance is not as good as labeling algorithms, I. E. Some computational steps of iteration are repeated too many times, affecting the efficiency. Reducing these redundant operations, Auction algorithm could be improved.%通过采用C#语言程序,对比传统路径算法,并在实际道路网络和随机网络中进行了试验,测试了算法在求解网络“一对一”最短路径问题时的运算性能.结果表明,Auction算法在求解此类问题时,体现算法自身原理的优势,虽然整体性能表现不及经典的路径算法,即迭代步骤略多,但仍有改进的余地.
【期刊名称】《武汉理工大学学报（交通科学与工程版）》
【年(卷),期】2012(036)006
【总页数】5页(P1161-1165)
【关键词】道路网络;路径诱导;最短路径;标号算法;Auction算法
【作者】杜牧青;程琳
【作者单位】东南大学交通学院南京210096;东南大学交通学院南京210096
【正文语种】中文
【中图分类】U116.2
0 引言
在路径诱导模块中，最短路径算法成为决定导航性能的关键因素［1］．常用的最短路径算法可分为两类：标号设定算法（如Dijkstra算法）和标号修正算法（如Bellman－Ford算法）．以上2类算法在应用于最短路径问题时，都是通过先推出指定起始结点到达其余各点的最短路径，再通过终点反向追踪的方法求解起终点之间最短路径的．这样的求解思路显然产生了多余的求解信息．当驾驶员在道路网络中行车时，通常关注的仅是从所处位置到达预定目的地2点之间的最短行车路线．寻求更加符合路径诱导需求的路径算法、提高算法的针对性，成为导航系统关注的焦点．
Auction算法（拍卖算法）于1991年由Bertsekas应用于网络最短路径问题［2］．值得关注的是，Auction算法是一种能够直接求解“点对点”之间最短路的路径算法．因此，本文将就该算法在路径诱导中的应用作进一步的讨论．
本文将路径诱导中的“点对点”最短路径问题，根据比较试验讨论算法的复杂性以及影响算法速度的主要因素，评价其在路径诱导中的适用性．
1 Auction算法的基本原理
1.1 算法原理
Auction算法是模仿现实中的拍卖过程．考虑如下拍卖过程：有n个人和n个物体，遵循“一对一”的原则，实现派对．假设物体j的价格为pj，要得到这一物体的人必须支付相应的价钱．人i与物体j派对可以获得的效益为aij，纯利润为aij －pj．每个人想获得使他获利最大的那一个物体ji，即aiji－pji＝max｛aij－
pj｝．因此必须通过竞争和抬高价格，选择获益最多的那个物体．经过十几年的发展，这种算法已经推广用于解决一般的最小费用路径问题，择优条件也相应地发生了改变，成为较为解决线性网络流的综合性算法，也是近年来较新也较为受到关注的最短路径算法．
对于一幅赋权有向图，Auction算法是一种能够求解单一起点和单一终点的最短路问题的简单方法．这一特点恰恰满足了路径诱导技术中的最短路求解需求．Auction算法在求解过程中，始终维持一条从起点出发的简单路径P．算法的每一步对路径P中最后一个结点采取的“延伸”或“收缩”操作．当路径P的最
后一个结点到达指定终点时，算法结束，且两点之间的最短路径得出．
为了直观的反映Auction算法的迭代过程，Bertsekas将算法过程比喻为“在迷
宫中移动的小鼠”．小鼠在迷宫中移动，或者向未知区域前进，或者沿曾经走过的路线返回．每当小鼠从一个岔路口（结点）沿原路返回时，将记录一个估计值，作为重新回到该结点时的期望值；每当小鼠在向前探索时，根据对结点估计值的比较，选择一个期望最优的结点作为前进目标．在如此的前进与返回的过程中，直至找寻到迷宫中的目的地（终点）．由此反映出，Auction算法是一种从起点向终点迭代的探索性算法．
1.2 算法的基本步骤［3］
在给定一个有向网络G（V，E）中，V，E分别为G的点集合和弧集合，弧段（i，j）的费用为aij．首先，对算法作如下基本假设：（1）假设网络中的弧段费用均
为正值；（2）假设除终点外的每一个结点至少有一条前向弧，对于不满足条件的结点，可增加一条指向终点的弧，并赋给它一个很大的弧费用；（3）假设两个结点间在一个方向上最多有一条弧连接（这一点仅仅是为了方便表述，拍卖算法能很好地解决一对结点间有多条弧连接的情况）．
下面描述最短路径求解过程：用1表示起点，t表示终点，（i1，i2，…，ik）表
示一条路径．其中：（im，im＋1）表示弧（m＝1，…，k－1）．如果i1，
i2，…，ik 是各不相同的，则称（i1，i2，…，ik）为初等路，结点ik为路径的终点，所有弧的费用之和就是路径的长度．
定义P为迭代路径，在迭代过程中，P＝（i1，i2，…，ik）始终保持为初等路，并不断延伸和收缩．如果ik＋1不是路径P 中的结点，并且（ik，ik＋1）是一条边，则用结点ik＋1来延伸P，是指用路径（i1，i2，…，ik，ik＋1）来代替路径P；如果路径 P不只包含起点i1，收缩P 是指用路径（i1，i2，…，ik－1）代替路径P．
定义p＝（p1，p2，…，pn）为网络中结点的价格矢量，其中元素与网络结点一一对应，例如pi表示第i个结点的价值量．在迭代过程中，价格矢量p需满足如下条件：
pi≤aij＋pj ∀（i，j）∈E；pi＝aij＋pj
对于路径P上所有连续的结点对，这一条件称作松弛互补性条件（complementary slackness，简称CS条件），这与指派问题Auction算法的CS条件等价，并且，都可以由最小费用流问题的CS条件推导出来．可以证明，如果（P，p）满足CS条件，i是路径P中的结点，则从起点1沿P到结点i的路径也是从1到i的最短路，并且p1－pi就是相应的最短路长度．
根据Auction算法求解最短路径的过程，其“拍卖原则”体现于路径迭代的每一步中．在最短路径问题中，以aiji＋pji＝min｛aij＋pj｝取代原始拍卖问题中条件aiji－pji＝max｛aij－pj｝．在路径P延伸的过程中，将符合条件aiji＋pji＝min ｛aij＋pj｝的结点ji分配给上游结点i，即以结点ji延伸路径P，有在路径P收缩时，以min｛aij＋pj｝更新价值量pi，记录该结点的估计值，便于路径P再次延伸时的回溯．这便是最短路径Auction算法中的拍卖原理．
为了使用计算机语言实现Auction最短路径算法，现给出算法的程序化描述（见
图1）．对于符合基本假设的道路网络，求解从起点1到任意点i的Auction算法的基本步骤如下．
1）初始化（P，p） P＝（1），pj＝0，j∈V．
图1 Auction算法流程图
2）用i表示路径P的最后一个结点．如果pi＜min ｛aij＋pj｝，进入下列步骤（1），否则进入（i，j）∈v步骤（2）：（1）收缩路径．令如果i≠1，收缩P，转到下一个迭代过程；（2）延伸路径．通过结点ji来延伸P，ji＝arg｛min｛aij （i，j）∈V＋pj｝｝．如果j是终点t，则迭代终止，P就是要求的最短路径．否则转入下一个迭代过程．
3）重复步骤2），直到算法推出．
1.3 算例
为了清楚的说明问题，本文采用了一幅简单的有向网络图，如图2所示，通过求解结点1至结点4的最短路径，演示Auction算法在求解网络最短路径时的迭代过程，见表1．
图3反映了在使用Auction算法求解上述最短路径问题时，路径P末节点的移动轨迹，反映了路径延伸和收缩的过程．
图2 简单的赋权有向网络图
图3 路径P末结点的移动轨迹
表1 Auction算法求解结点1到4最短路的迭代过程迭代迭代前的P 迭代前的P 收缩2 （1）（30，0，0，0）在2延伸3 （1，2）（30，0，0，0）在2收缩4 （1）（30，54，0，0）在1收缩5 （1）（42，54，0，0）在3延伸6 （1，3）（42，54，0，0）在3收缩7 （1）（42，54，42，0）在1收缩8 （1）（84，54，42，0）在2延伸9 （1，2）（84，54，42，0）在4延伸10 （1，2，4）（84，54，42，0）停止从1到4的最短路径为P＝（1，2，
4）；最短路长度为84操作1 （1）（0，0，0，0）在1
2 “点对点”的最短路径问题
2.1 Auction算法的运算性能分析
最短路径算法的运算性能主要体现为算法的准确性和复杂性．为了进一步反映Auction算法在计算道路网络中“点对点”最短路径时的运算性能，本文采用了随机生成的赋权有向网络，对Auction算法的运算速度和运算准确性进行了测试（CPU Intel 1．76GHz），并选用了经典的Dijkstra算法作为参照．测试程序采用C＃语言编写，考虑到路径诱导系统的硬件环境，程序使用了单线程的前向的拍卖算法（forward algorithm）．比较测试在不同规模（结点数量规模、路段数量规模）的网络中进行，以测试算法的准确性和运算时间为主，对两种不同的算法选用相同的起终点进行测试试验．根据Auction算法的迭代特点，进行有针对性的测试，得出定量的数据分析，反映出算法的主要特点和结果随参数变化的趋势．Auction算法的复杂度可以表示为O（EhL）．h表示起点1到终点t之间最短路径的最小路段数；L表示网络中路段费用的最大值．E＝I×G．其中，I表示从起点1出发，路径长度小于起终点间最短路径长度的结点i的数量；G表示上述结点i 的最大结点出度．由此可见，影响Auction算法运算速度的主要因素为h，L，I，G几个参数．根据算法的复杂度分析，本文选择起、终点间隔（最短路路径所经过结点的数目）、网络平均结点出度（路段密度）、网络结点数作为主要试验参数，对于Auction算法的运算性能做出测试．具体试验过程如下．
1）根据随机网络生成方法，产生结点数量分别为500，1 000，2 000，5 000，10 000的5种规模的道路网络．
2）对于每种结点数量的网络，产生结点平均出度分别为2，3，4的3种路段密度不同的网络．其中，结点的平均出度为2，表示一种稀疏的网络结构；平均出度为4，表示密集的网络结构．按照这样的方法，共产生15幅随机网络．
3）在这15幅网络中，分别测试Auction算法和Dijkstra算法．每幅随机网络，随机产生100对起终点，对这100对起终点分别使用Auction算法和Dijkstra算法，记录算法的结果及性能（最短路径时间、最短路径、起终点间隔、算法运行时间）．通过算法运行时间，反映算法的复杂程度．
4）对于测试结果，以结点数量分为5大类，以路段数量分为3个次类，进行比较分析．
总体来说，由具有代表性的试验结果发现，2种最短路径的运算结果相同，对于所有的起始点对，都能够通过迭代得到相同的最短路径．因此，可以说明，两种基本算法的准确性相同．但是，在不同规模的网络中，Dijkstra算法均表现出了速度上的优越性．如图4所示，两种计算方法的运算速度都是随着网络规模的增加而降
低的，Auction算法的速度受网络中结点总数的影响较大，Dijkstra算法则受网络中路段总数的影响较大．
此外，Auction算法受起终点间隔影响明显，其运算时间基本随起终点间最短路径结点数量增加呈递增趋势．运算时间呈现波动，在个别点处有下降，如图5所示，根据试验数据分析，造成下降的原因是该最短路径总时间相对较小，在路径P延
伸时易于被优先选择．这样的测试结果，是符合Auction算法复杂性分析的．Auction算法仅在起终点间隔较短时，速度上优于Dijkstra算法．这种现象
在如图5所示的大型网络中更为明显．随着路径结点数量的增加，Auction算法
迭代的次数将明显增加，运算速度也明显低于Dijkstra算法．
图4 包含500个结点、1 000个结点和2 000个结点的网络中，2种算法运算速
度比较
图5 包含10 000个结点的网络中，2种算法运算速度的比较
2.2 在路径诱导中的适用性
根据路径诱导设备的技术参数要求［4］，对于现行导航设备中，其存储空间已经
达到了比较高的容量，但处理器主频速度和内存空间大小，还不能与一般的个人计算机相提并论．参考测试程序对运算速度要求高，对内存空间需求适中的特点，算法的速度应当作为首要考虑因素，其次考虑数据的存储空间问题．因此，将最短路径算法的运行时间控制在1s以内是比较合适的，也是用户可接受的速度．从上一节对于Auction算法性能的测试和算法复杂度的讨论中发现，算法能够准确的求解网络中任意两点之间的最短路径，但是在运算速度方面却与Dijkstra算法有着明显的差异．Dijkstra算法在所有的测试网络中，都能够将计算控制在极短的时间以内（＜0．5s），因此它具有普遍的适用性．Auction算法的速度主要受到起终点间隔的影响，仅在最短路径结点数量较少时，能够体现出其运算速度的优势．随着迭代距离的增加，Auction算法的复杂性迅速提高，运算速度明显下降，低于Dijkstra算法．Auction算法在实际“点对点”最短路问题的应用中，没有明显地体现出其算法原理优势，反而在整体性能上低于传统标号路径算法．因此，单线程的Auction算法在路径诱导中的适用范围较为有限，算法的计算步骤有待优化和改进．
3 结束语
尽管Auction算法已经在交通分配中，求解单一起点到多个终点的问题，以及多处理器的并行计算中，得到了很好的应用［5］，但是作为以“点对点”最短路径为求解目标的算法，单线程的Auction算法并没有在导航系统的“一对一”问题中体现出其原理上的优势［6－8］．即 Auction算法具有准确求解网络中最短路径的能力，可是仍然存在速度方面的局限性，仅适用于大型稀疏网络结构，或求解起终点间隔较少的最短路问题．因此，Auction算法的整体平均速度较传统的Dijkstra算法偏低．
综述之，仅仅是依照当前的算法步骤和单线程的算法程序，无法达到预期的算法效率．通过对于Auction算法的反复试验，可以发现，在算法的求解过程中，最费
时的是每步迭代中对当前下游结点最小费用的计算．利用算法迭代过程中的性质，减少迭代过程的重复步骤，将有希望降低算法复杂性，提高算法的实际效率．此外根据文献［3］，双（多）线程的Auction算法采用双（多）处理器，在共用价格矢量的基础上，可同时从起点和终点开始延伸路径．考虑使用双处理器的路径诱导设备，能够发挥Auction算法在多处理器上并行计算的优势，将显著地提高算法的求解速度．
参考文献
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