线性代数(经管类)参考答案

参考答案
一.选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
1—5 C A B B D
二. 填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
6. ___6_____.
7. 2111⎛⎫
⎪⎝⎭
8. 1
3 9. ()10,25,16- 10. ()2,1,0T
- 11. -2 12. 3 13. 60 14. 43,55⎛⎫
⎪⎝⎭
15. 2 三.计算题（本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分）
16 . 解一 100100010010011001001001a a a b a b D c a b c d d ++==-++--10001
000100
0a
a b
a b c d a b c a b c d
+=
=++++++++
解二 ()
()11
14
1
011
11111011010
01
b
D c a d
++-=-⋅⋅-+-⋅---a b c d =+++ 17.解： 2
AB -A =B -E
2∴AB -B =A -E ()2A-E B =A -E
()()1
2
-∴B =A -E A
-E
()
()()1
-=A -E A -E A +E
()=A+E
315052432⎛⎫ ⎪B =- ⎪
⎪-⎝⎭
()12412112412118.,123012001113233012015234T T --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
A B =→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
解：
12412112032110152340103211001113001113---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→----→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ 1003211100321101032110103211001113001113--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 3211=3211113T -⎛⎫ ⎪
X -- ⎪ ⎪
-⎝⎭
则，331=22111113-⎛⎫
⎪X - ⎪ ⎪--⎝⎭故.
19.解：()
12345,,,,αααααT T T T T
A =
11143111431132101
131213550000031
56
700000--⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
----- ⎪ ⎪
=
→
⎪ ⎪
-
⎪
⎪
-⎝⎭⎝⎭
∴向量组的秩=2
且1α，2α是一个极大无关组(回答1α,3α；1α,4α；1α,5α也可).
20.解：对增广矩阵作初等行变换
()101211012110121213140113201132=123450226400000112130113200
000b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
-----
⎪ ⎪ ⎪
A A =→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪
-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 同解方程组为1342342132
x x x x x x =---⎧⎨
=-+-⎩，34x x ，是自由未知量，特解()*
=1
200ηT --，，， 导出组同解方程组为134
2
3423x x x x x x =--⎧⎨=-+⎩，34x x ，是自由未知量，
基础解系()1=1110ξT
--，
，，，()2=2301ξT
-，，，，通解为*
1122=k k ηηξξ++，12k k R ∈，
21.解：特征方程()()22
00
=
02
1222100
1
a a a
λλλλλλλλ-E -A --=---+-=-- 将特征值=1λ代入特征方程有()()=1212210a a E-A ---+-=，则2a =. 故()()()=213=0λλλλE-A ---，特征值为123=2=1=3λλλ，，.
1=2λ对应的齐次线性方程组为123000000100100x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪
-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
同解方程组为23=0=0x x ⎧⎨⎩，1x 是自由未知量，特征向量1100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1ξ单位化为1100p ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭,
2=1λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪
--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨-⎩，3x 是自由未知量，特征向量2011ξ⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪
⎝⎭
，2ξ
单位化为
2011p ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭
，
3=3λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪
-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨⎩，3x 是自由未知量，特征向量3011ξ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭，3ξ
单位化为3011p ⎛⎫
⎪=⎪⎪⎭
， 正交矩阵(
)123100,,00Q p p p ⎛
⎫
⎪
⎪
==
⎝
，213⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，使得1
Q Q -A =Λ.
011101110-⎛⎫ ⎪
A =- ⎪ ⎪⎝⎭
22.解：二次型矩阵
()()2
1
1
=11=21=011
λ
λλ
λλλ
--A -E ---+--令，123=2==1λλλ-得，.
1211101=22=121011112000λ-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
-A +E -→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当时，
13233
3x x x x x x =-⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩ 1111ξ-⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪
⎝⎭ 则
1111-⎛⎫
⎪
P =-⎪⎪⎭ 23111111==1=111000111000λλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
A +E --→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
当时,
123223
3x x x x x x x =-+⎧⎪∴=⎨⎪=⎩ 2110ξ-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭， 3112ξ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
则2110-⎛⎫⎪P =⎪⎪⎭
，3112⎛⎫
⎪P =⎪⎪⎭
因此=0
⎛ ⎪
T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，X=TY . 化二次型为222
123
2f y y y =-++.
四.证明题（本大题7分）
23.证明：基础解系中向量个数为3.
设()()()1123212331232220k k k ααααααααα++++++++=
即()()()1231123212332220k k k k k k k k k ααα++++++++=
123,,ααα是基础解系，故线性无关，因此
12312312
320
2020k k k k k k k k k ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩，系数行列式21112140112A ==≠，则齐次线性方程组只有零解， 故1230k k k ===.
因此1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++线性无关. 又
()()()1231231231231231232=2=02=2=02=2=0
ααααααααααααααααααA ++A +A +A A ++A +A +A A ++A +A +A 则1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++也是该方程组的基础解系.
说明：
1.试卷题目均要求为自学考试真题；
2.命题参照自学考试试卷的题型、题量；
3.根据课程性质不同，可以更换或调整题型；
4.试卷格式统一为：宋体 五号 单倍行距；选择题选项尽量排在一行；其他题型留出适当的答题区域。