苏教版2018-2019学年高中数学必修三教学案：第3章 章末小结与测评 Word版含答案

一、随机事件及概率
1．随机现象
在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果．
2．事件的分类
(1)必然事件：在一定条件下，必然发生的事件；
(2)不可能事件：在一定条件下，肯定不发生的事件；
(3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，常用大写字母表示随机事件，简称为事件．
3．随机事件的概率
(1)随机事件的概率：
如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将事件A发生
的频率m n 作为事件A 发生的概率的近似值，即P (A )≈m n
.
(2)概率的性质：
①有界性：对任意事件A ，有0≤P (A )≤1.
②规范性：若Ω、∅分别代表必然事件和不可能事件，则P (Ω)＝1；P (∅)＝0. 二、古典概型 1．基本事件
在一次试验中可能出现的每一个基本结果． 2．等可能事件
若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件． 3．古典概型
(1)特点：有限性，等可能性． (2)概率的计算公式：
如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n
；
如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝m n
.
即P (A )＝事件A 包含的基本事件数
试验的基本事件总数.
三、几何概型
(1)特点：无限性，等可能性． (2)概率的计算公式：
在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件
A 发生的概率P (A )＝d 的测度
D 的测度
.
这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．
四、基本事件 1．互斥事件
(1)定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥．
(2)规定：设A ，B 为互斥事件，若事件A 、B 至少有一个发生，我们把这个事件记作A ＋B . 2．互斥事件的概率加法公式
(1)若事件A 、B 互斥，那么事件A ＋B 发生的概率等于事件A 、B 分别发生的概率的和即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．
(2)若事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥．则
P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．
3．对立事件
(1)定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A .
(2)性质：P (A )＋P (A )＝1，P (A )＝1－P (A )．
(考试时间：90分钟 试卷总分：120分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．下列事件属于必然事件的有________． ①长为2，2，4的三条线段，组成等腰三角形 ②电话在响一声时就被接到 ③实数的平方为正数 ④全等三角形面积相等
解析：①2＋2＝4，不能组成三角形，为不可能事件；②为随机事件；③中0的平方为0，为随机事件；④为必然事件．
答案：④
2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是__________． 解析：共出现4种结果其两正面向上只有1种， 故P ＝14.
答案：14
3．在坐标平面内，已知点集M ＝{(x ，y )|x ∈N ，且x ≤3，y ∈N ，且y ≤3)}，在M 中任取一点，则这个点在x 轴上方的概率是________．
解析：集合M 中共有16个点，其中在x 轴上方的有12个，故所求概率为1216＝3
4.
答案：34
4．某人随机地将标注为A ，B ，C 的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子
放一个小球，全部放完．则标注为B 的小球放入编号为奇数的盒子中的概率等于________．
解析：随机地将标注为A ，B ，C 的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中共有6种情况，而将标注为B 的小球放入编号为奇数的盒子中有B ，A ，C ；B ，C ，A ；A ，C ，B ；C ，A ，B ，共4种情况，因此所求概率等于2
3
.
答案：23
5．已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为________．
解析：以上事件为互斥事件，故命中6环以下(含6环)的概率为1－0.5－0.2－0.1＝0.2. 答案：0.2
6．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝1
6
，则出现奇数点或2点的概率之和为________． 解析：出现奇数点或2点的概率为P ＝12＋16＝23.
答案：23
7．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为________．
解析：所有基本事件为：123，132，213，231，312，321共6个．其中“从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册”包含2个基本事件，故P ＝26＝1
3
.
答案：13
8．函数f (x )＝x 2
－x －2，x ∈[－5，5]，那么任意x 0∈[－5，5]使f (x 0)≤0的概率为________．
解析：f (x )＝x 2
－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
－9
4
，x ∈[－5，5]，区间长度为10，
∵f (x 0)＝⎝
⎛⎭⎪⎫x 0－122
－94≤0， ∴－1≤x 0≤2，区间长度为3，∴概率为3
10.
答案：3
10
9．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成平局的概率为________．
解析：甲不输为两个事件的和事件，其一为甲获胜(事件A )，其二为甲获平局(事件B )，并且两事件是互斥事件．
∵P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，
∴P (B )＝P (A ＋B )－P (A )＝90%－40%＝50%. 答案：50%
10．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为6的概率是________．
解析：掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的事件为(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5个，故所得的点数之和为6的概率是P ＝5
36
.
答案：5
36
11．从分别写有ABCDE 的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的字母顺序恰好相邻的概率为________．
解析：随机抽取两张可能性有
AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，BA ，CA ，DA ，EA ，CB ，DB ，EB ，DC ，EC ，ED ，
共20种．
卡片字母相邻：AB ，BA ，BC ，CB ，CD ，DC ，DE ，ED 共8种． ∴概率为820＝2
5.
答案：25
12．如图，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为2 cm 的一枚铁片抛到此纸板上，使铁片整体随机落在纸板内，则铁片落下后把小圆全部覆盖的概率为________．
解析：铁片整体随机落在纸板内的测度D ＝πR 2
＝64π；而铁片落下后把小圆全部覆盖的测
度d ＝πr 2
＝π，所以所求的概率P ＝d D ＝π64π＝164
.
答案：1
64
13．(安徽高考改编)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．
解析：由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率
P ＝910
.
答案：9
10
14．从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率为________．
解析：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A 包含(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，即事件A 由4个基本事件组成，因而，P (A )＝46＝23
.
答案：23
二、解答题(本大题共4小题，共50分)
15．(本小题满分12分)除了电视节目中的游戏外，我们平时也会遇到很多和概率有关的游戏问题，且看下面的游戏：如图所示，从“开始”处出发，每次掷出两颗骰子，两颗骰子点数之和即为要走的格数．
(1)在第一轮到达“车站”的概率是多少？
(2)假设你想要在第一轮到电信大楼、杭州日报或体育馆，则概率是多少？
解：(1)第一轮要到“车站”，则必须掷出的点数之和为5，而用2颗骰子掷出5会有4种结果，假定一颗骰子为红色，另一颗骰子为蓝色，则有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)4种组合，而抛掷两颗骰子共有36种可能结果，所以第一轮到达“车站”的概率为436＝1
9
.
(2)需要掷出的点数之和为6或8或9，而要得出这3种结果共有下列14种组合：(5，1)，(4，2)，(3，3)，(2，4)，(1，5)，(6，2)，(5，3)，(4，4)，(3，5)，(2，6)，(6，3)，(5，4)，(4，5)，(3，6)，所以到达这一区域的概率为1436＝7
18
.
16．(辽宁高考)(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解：(1)将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6，任取2道题，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，所以P (A )＝615＝2
5
.
(2)基本事件同(1)．用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共8个，所以P (B )＝8
15
.
17．(本小题满分12分)某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
解：(1)设事件“电话响第k 声时被接”为A k (k ∈N )，那么事件A k 彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A ，根据互斥事件概率加法公式，得P (A )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A “打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为A ；根据对立事件的概率公式，得P (A )＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05.
18．(本小题满分14分)一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1，2，3，4，5.
(1)从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回，求取出的两个球上编号之积为奇数的概率；
(2)若在袋中再放入其他5个相同的球，测量球的弹性，经检测，这10个球的弹性得分如下：8.7，9.1，8.3，9.6，9.4，8.7，9.7，9.3，9.2，8.0，把这10个球的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解：(1)设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件B ，Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)…}，共包含20个基本事件；其中B ＝{(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，5)，(5，1)，(5，3)}，包含6个基本事件，则
P (B )＝620＝310
.
(2)样本平均数为x ＝1
10(8.7＋9.1＋8.3＋9.6＋9.4＋8.7＋9.7＋9.3＋9.2＋8.0)＝9，
设B 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则包含{8.7，9.1，9.4，8.7，9.3，9.2}6个基本事件，所以P (B )＝610＝3
5
.。