(试题)2019-2020第一学期通州区高二数学期末试题

通州区2019—2020学年第一学期高二年级期末考试
数学试卷
2020年1月
考生须知：本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，共4页满分150分，考试时间120分钟．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.
1．双曲线2
214
x y -=的离心率是
A ．
2
B ．5
C ．
2
D ． 2．已知椭圆C 的两个焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，点P 为椭圆C 上一点，且
1210PF PF +=，那么椭圆C 的短轴长是
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
4．已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=-，那么8a 等于
A ．16-
B ．12-
C ．12
D ．16 5．已知点A 的坐标是()1,0-，点M 满足2MA =，那么M 点的轨迹方程是
A ． 22230x y x ++-=
B ．22230x y x +--=
C ．22230x y y ++-=
D ．22230x y y +--= 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，下表给出了n S 的部分数据：
那么数列{}n a 的第四项4a 等于 A ．
8116 B ．278
C ．8116-或8116
D ． 278-
或
27
8
7．已知直线1y x =
-交抛物线22y x =于A ，B 两点，点O 为坐标原点，那么OAB △的
面积是 A
．
2 B ．2
C D 8．如图1所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ， 2PA AB ==，
点E ，F 分别为棱PD 的三等分点，点M 为直线PD 上的动点. 当直线PB 与直线CM 所成的角为30︒时，M 点在 A ．线段PE 上 B ．线段EF 上 C ．线段FD 上 D ．PD 的延长线上
图1
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．当且仅当=x ______时，函数1
(0)4y x x x
=+
>取得最小值. 10．已知抛物线的顶点在原点，准线方程为2=-y ，那么该抛物线的标准方程是 ． 11．已知向量n ()2,4,2=--，m ()1,2,1=-分别是两个不同平面α，β
的法向量，可得
向量n 与m 的数量关系是 ，进而得到平面α与β的位置关系是 ． 12．写出满足下列条件的一个双曲线的方程： ．
①焦点在x 轴上，y 轴是对称轴；
②一条渐近线的方程是()2y kx k =<-.
13．如图2，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．湖的
一侧有一条直线型公路l ，规划在公路l 上选一个点P ，并修建一段直线型道路PB ．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC ，BD ，测得10AB =，6AC =，
12BD =（单位：百米）．若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长.
图2
某同学设计了下面的解题思路，请你将其补充完整． 如图3，过O 作OH l ⊥，垂足为H ，以O 为坐标原点， 直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系. 由已知10AB =，6AC =，12BD =，
计算得出9OH =，()4,3A ，()4,3B --. 图3 从而得到直线l 的方程为9y =，直线AB 的斜率为 ① .
由PB AB ⊥，得直线PB 的斜率为 ② ，进而得到直线PB 的方程为 ③ ， 得到点P 的坐标为 ④ ，计算得出PB 的长为 ⑤ 百米.
14.“斐波那契数列”是数学史上的一个著名的数列. 在斐波那契数列{}n a 中，
11a =，21a =， 21
n n n a a a ++=+()
n *
∈N . 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若99a λ=，
99S μ=()λμ∈R ,，则100a = ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明；证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}n b 是公比为q ()0q >的等
比数列，且112a b ==，4525a a +=，334a b =． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设2n n c a =+，求数列{}n c 的前n 项和n S ．
16．（本题13分）已知双曲线22
13
y x -=，抛物线()2
20y px p =>的焦点与双曲线的一个
焦点相同，点()00,P x y 为抛物线上一点. （Ⅰ）求双曲线的焦点坐标；
（Ⅱ）若P 点到抛物线的焦点的距离是5，求0x 的值．
17．（本题13分）已知圆C 的圆心在y 轴上，且过()0,0，()02,
两点. （Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 经过点()2,2P ，且与圆C 相切，求直线l 的方程.
18．（本题13分）已知椭圆2
214
x y +=的上、下顶点分别为A ，B ， 点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过M 点作MN y ⊥轴于点N ，E 为线段MN 的中点，直线AE 与直
线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点，连接OE ，EG ，求OEG
∠的大小.
（Ⅰ）请指出上述解答过程中的错误之处（指出错误源头即可）；
（Ⅱ）写出完整的正确的解答过程.
19．（本题14分）如图5，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，1A C 的
中点，12AD AA ==，AB =
（Ⅰ）求证：EF ∥平面11ADD A
； （Ⅱ）求二面角F DE C --的余弦值；
（Ⅲ）在线段11A D 上是否存在点M ，使得BM ⊥平面EFD ？ 图5 若存在，求出
111
A M
A D 的值；若不存在，请说明理由． 20．（本题14分）已知椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的焦点是1F ，2F ，且122F F =，
离心率为
2
． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y （12x x ≥）两点. （i ）求22AF BF ⋅的最小值；
（ii ）点Q 在直线l 上异于2F 的一点，且满足22QA F A
QB F B
=，求证：点Q 在一条定直线上.
C 1
D 1
A 1
B 1
F E
D
C B
A。