【优化指导】2015年高中数学 1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)课时跟踪检测 新人教A版必修4

【优化指导】2015年高中数学 1.5函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象
（一）课时跟踪检测 新人教A 版必修4
1．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π
10个单位长度，再把所得各点的横坐标
伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π5
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －π10
D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －π20
解析：函数y ＝sin x
y ＝sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫x －π10
――――――――――――→横坐标伸长到原来的2倍
纵坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －π10. 答案：C
2．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π
4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函
数解析式是( )
A ．y ＝cos 2x
B ．y ＝1＋cos 2x
C ．y ＝1＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos 2x －1
解析：y ＝sin 2x ――→向左平移π
4个单位y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4――→向上平移1个单位y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋1＝1＋cos 2x .
答案：B
3．要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 的图象，只需将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12
x －π6的图象( )
A ．向左平移π
3个单位
B ．向右平移π
3个单位
C ．向左平移π
6
个单位
D ．向右平移π
6
个单位
解析：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，
∴要得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 的图象，只需y ＝sin ⎝ ⎛ －1
2
x
－
⎭⎪⎫π6的图象向右平移π
3
个单位． 答案：B
4．函数y ＝sin x 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________________．
解析：y ＝sin x ――→横坐标扩大3倍纵坐标扩大3倍y ＝3sin 13x ――→向右平移3个单位y ＝3sin 13(x －3)＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －1.
答案：y ＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －1
5．怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象？试叙述这一过程．
解：由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象有两种变化途径： ①y ＝sin x ――→向右平移π
3个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3
――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12
y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. ②y ＝sin x ――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin 2x ――→向右平移π
6
个单位
y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.
6．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的1
2倍，然后再
将其图象沿x 轴向左平移π
6
个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．
解：据题意，y ＝sin 2x ――→向右平移π6个单位y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π3
.
7．将函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
再将所得图象向左平移π
3
个单位，则所得函数图象对应的解析式为( )
A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π3
B ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．y ＝sin 1
2
x
D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π6 解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――→横坐标伸长到
原来的2倍
y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12
x －π3
y ＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋π3－π3
＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2－π6.
答案：D
8．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，
则ω的最小值是( )
A.2
3 B.4
3 C.32
D ．3
解析：y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2
y 1＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
ω⎝
⎛
⎭⎪⎫x －4π3＋π3＋2
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2. ∵y 与y 1的图象重合，
∴－4π3ω＝2k π(k ∈Z )．∴ω＝－3
2k .
又∵ω＞0，k ∈Z ，
∴k ＝－1时，ω取最小值为32.
答案：C
9．将函数y ＝f (x )的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，若把所得的图象沿x 轴向左平移π
2个单位后得到的曲线与y ＝2sin x 的图象相同，
则函数y ＝f (x )的解析式为________________________．
＝－1
2cos 2x .
答案：y ＝－1
2
cos 2x
10．(1)利用“五点法”画出函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π6在长度为一个周期的闭区间的简图．
(2)说明该函数图象是由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样平移和伸缩变换得到的． 解：(1)先列表，后描点并画图.
(2)把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，
再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π6的
图象．
或把y ＝sin x 的图象的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 1
2x 的图
象．再把所得图象上所有的点向左平移
π3个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，即y ＝
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π6的图象．
11．已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π3－2x (x ∈R )．
(1)求f (x )的单调减区间．
(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可) 解：(1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3.
欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间．
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
解得k π－π2≤x ≤k π＋5
12
π(k ∈Z )，
∴原函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π
(k ∈Z )．
(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
－2x
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π12.
∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称， ∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π
12
个单位长度即可．
12．将函数y ＝lg x 的图象向左平移一个单位长度，可得函数f (x )的图象；将函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )的图象． (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象； (2)判断方程f (x )＝g (x )解的个数．
解：函数y ＝lg x 的图象向左平移一个单位长度，可得函数f (x )＝lg(x ＋1)的图象，即图象C 1；函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－π6＝cos 2x 的图象，即图象C 2.
(1)画出图象C 1和C 2如图所示．
(2)由图象可知：两个图象共有5个交点．即方程f(x)＝g(x)解的个数为5.
本节内容是在正弦函数图象的基础上，利用图象变换法学习函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，图象变换法揭示参数A、ω、φ的作用及函数之间的图象变换．
1．三角函数图象变换的两种途径流程如下(其中A＞0，ω＞0，x∈R)：
2．平移变换和周期变换都只对自变量“x”发生变化，而不是“对角”，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而言；周期变换也是只涉及自变量x的系数改变，而不涉及φ.。