高二数学理科期末试卷

高二数学理科期末试卷(总6
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高二数学（上）期末考
一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 不等式0322<--x x 的解集是（ ） A ．()1,3- B ．()3,1- C ．()3,-∞- ()+∞,1
D ．()1,-∞- ()+∞,3
2. 已知平面α的法向量是()2,3,1-，平面β的法向量是()4,,2λ-，若//αβ，则λ的值是（ ）
A ．103-
B ．6-
C ．6
D ．103
3．已知, , a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是( ) A. ab ac > B. ()0c b a -< C. 22cb ab < D. ()0ac a c ->
4. 已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是( )
A ．511
B ．1023
C ．1533
D ．3069
5. 下列有关命题的说法正确的是( ) A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件． C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题
6. 设21,F F 为双曲线14
22
=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）
B.2
5
D.5
7. 已知向量)0,1,1(=→a ，)2,0,1(-=→b ，且→→+b a k 与→
→-b a 2互相垂直，则k 的值是（ ）
A. 1
B. 51
C. 53
D. 5
7
8. 若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则a b +的最小值为( )
A B ． C ．
4
3
D ．8-
9．若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为︒60的直线与双曲线的右支有且只
有一个交点，则此双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．[]2,1
B ．()2,1
C ．()+∞,2
D ． [)+∞,2
10.若抛物线24y x =的焦点是F ,准线是l ,则经过点F 、M （4，4）且与l 相切的圆共有（ ）．
个 个 个 个
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11．等差数列{}n a 中，若34512,a a a ++=则71a a += .
12. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪
-+≤⎨⎪--≤⎩
则z x y =+的最小值是 .
13. 已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值
为 .
14. 点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值
是 .
15．设{}n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项积为n T ，并满足条件01
1
,
01,110099100991<-->->a a a a a ，给
出下列结论：（1）10<<q ； （2）1198<T ；（3）110199<a a ；
（4）使1<n T 成立的最小自然数n 等于199，其中正确的编号为 （写出所有正确的编号）
三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，
⑴求12,a a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式。

17．（本小题满分13分）已知0,1a a >≠，命题:p “函数x a x f =)(在(0,)+∞上单调递减”，命题:q
“关于x 的不等式21
204
x ax -+≥对一切的x R ∈恒成立”，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数a 的取值范围.
18．（本小题满分13分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且
c
a
b b a
c a -=
++， （1）求角B 的大小；（2）若ABC △最大边的边长为7，且A C sin 2sin =，求最小边长．
19．（本小题满分13分）运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋
x 2
360
)升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
20．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥ 底面ABCD ， 底面ABCD 是正方形，PD=DC ，E 、F 分别为AB 、PB 的中点。

（1）求证：EF ⊥ CD ；（2）求DB 与平面DEF 所成角的正弦值； （3）在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥ 平面PCB ，并证明你的结论。

21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是
P
F
D C
A E B
F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF （1）设x 为点P 的横坐标，证明
x a
c
a F +
=||1；（2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2 的正切值；若不存在，请说明理由.
高二（上）期末联考数学试卷参考答案（理科）
一、选择题1—5、BCADD 6—10、ADBDB
二、填空题11、8 12、3 13、32
14、2 15、（1）（3）（4）
三、解答题16、2n S =+n 解:由已知得2a --------① ------------2分
由①得：122S =+⇒=112a a --------------4分2224S =+=++⇒=21222a a a a ------------6分
(2)解：12n S +=+n+12a -------② ②-①得12
n n S S +-=-=∴=n+1n n+1
n+1n
2a 2a a a a ------------9分∴数列}{n a 以2为首项，以2为公比的等比数列------------11分即1222n n -=⋅=n a ------------13分
17、解：p 为真：01a <<；……2分；q 为真：0142≤-=∆a ，得2
1
21≤≤-a ，又0,1a a >≠，
2
1
0≤<∴a ………5分因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，所以,p q 命题一真一假……7分
（1）当p 真q 假1212110<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧><<a a a ……………9分（2）当p 假q 真⎪⎩⎪
⎨⎧≤<>2101
a a 无
解 …………11分
综上，a 的取值范围是1
(,1)2
…………………13分
18、解：（Ⅰ）由c a
b b a
c a -=
++整理得))(()(b a a b c c a +-=+，即222a b c ac -=+，------2分 ∴2122cos 222-=-=-+=ac ac ac b c a B ， ∵π<<B 0，∴32π=B 。

（Ⅱ）∵3
2π=B ,∴最长边为
b ，
∵A C sin 2sin =，∴a c 2=， ∴a 为最小边，由余弦定理得)2
1
(2247222
-⋅⋅-+=a a a a ，解得
12=a ，
∴1=a ，即最小边长为1
19、解：(1)行车所用时间为t ＝
130
x
(h)，y ＝
130
x
×2×(2＋
x 2360
)＋
14×130
x
，x ∈[50,100]．
所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2340x ＋13
18
x ，x ∈[50,100]．
(2)y ＝2340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2340x ＝13
18x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．
当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元． 20、
PD ⊥面ABCD , ∴,PD DA PD DC ⊥⊥，又
底面ABCD 是正方形，∴DA DC ⊥
(0,0,0)0000000222
00.222
DA DC DP x y z AD a a a a D A a B a a C a E a F a a a F P a =以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，
则、（，，）、（，，）、（，，）、（，，）、（，，）（，，）、（，，） 10000.22
a a
EF DC a EF DC ⋅=-⋅=∴⊥（）（，，）（，，），
(,,).
(,,)(,,)0,()0.02222
(,,)(,,0)0,0.221,2,1,(1,2,1).cos ,2DEF n x y z a a a a
x y z x
y z n DF a a n DE x y z a ax y BD n x y z n BD n a BD n
DB DEF =⎧⎧⋅=++=⎪⎪⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎨⋅=⎪⎪⎪⎩⋅=+=⎪⎪⎩⎩⋅==-=∴=-<>==
=∴（2）设平面的法向量为由，得取则与平面所成角的正弦6
2
0.,,,
222
,,(,0,0)()0,;
22222
,,(0,,)()0,0.
2222200.
2
a a a
G x z G PAD FG x z a a a a a
FG CB x z a a x x a a a a a
FG CP x z a a a z z a
G G AD ∈=---⋅=---⋅=-==⋅=---⋅-=+-==∴（3）设（，，），则平面。

（）（）（）点坐标为（，，），即点为的中点 解法二、(1)证明：PD ⊥面ABCD ∴PD CD ⊥，又ABCD 是正方形∴AD CD ⊥
PD
AD D =∴CD ⊥面PAD ∴CD PA ⊥
E 、
F 分别为AB 、PB 的中点∴EF PA ，故CD EF ⊥
AD OE EB AE OE FO O BD //.∴=，、，连结的中点（证法二）取
.//.PD FO FB FP CD OE CD AD ∴=⊥∴⊥，，又
PD ABCD FO ABCD ⊥∴⊥∴底面，底面，FO CD ⊥
P
F
D C
A E B
OE OF O
=∴CD⊥面OEF
EF⊂面OEF∴CD EF
⊥
2
2
2
11
..
33
1112
2422
115
3.
224
B DEF F DEB DEF DEB
DEB
B DEF d d FO
a
a FO a a EF AP
a
DF PB a DE a
V V S S
S
--∆∆
∆
=∴⋅=⋅
====
===+=
（2）设到平面的距离为，
设底面边长为，则，，，
，
.
6
3
6
3
sin
.
6
1
2
1
4
1
8
6
8
6
.
90
4
5
4
3
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
所成角的正弦值为
与平面
，
，则
所成角
与平面
设
，
，
DEF
DB
DB
d
DEF
DB
a
d
a
a
d
a
a
DEF
DE
a
a
a
DF
EF S DEF
o
∴
=
=
=
⇒
⋅
=
⋅
∴
=
∴
=
∠
∴
=
=
+
=
+
∆
θ
θ
.
G AD
（3）答：是的中点.
PC H DH PD DC DH PC
=∴⊥
（方法一）取的中点，连结，
.
BC PDC BC DH DH PCB
⊥∴⊥∴⊥
又平面，，平面
1
.////
2
DA G GF FH HF BC DG DGFH
∴
取中点，连结、，四边形为平行四边形
//.
DH GF GF PCB
∴∴⊥
，平面
.
..
..
AD G PG GB GF
PGD BGA PG GB F PB GF PB
GO FO ABCD OG AD FG AD FG BC FG PBC ∆≅∆∴=∴⊥
⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥
（方法二）取中点，连结、、
，又为中点，
连结底面，，，平面
21、解：
（1）证法一：设点P的坐标为).
,
(y
x由P)
,
(y
x在椭圆上，得
.
)
(
)
(
)
(
|
|
2
2
2
2
2
2
2
2
1
x
a
c
a
x
a
b
b
c
x
y
c
x
P
F
+
=
-
+
+
=
+
+
=
由0
,>
+
-
≥
+
≥a
c
x
a
c
a
a
x知，所以.
|
|
1
x
a
c
a
F+
=………………………3分
证法二：设点P的坐标为).
,
(y
x记,
|
|,
|
|
2
2
1
1
r
F
r
F=
=则.
)
(
,
)
(2
2
2
2
2
1
y
c
x
r
y
c
x
r+
+
=
+
+
=
由.
|
|
,
4
,
2
1
1
2
2
2
1
2
1
x
a
c
a
r
F
cx
r
r
a
r
r+
=
=
=
-
=
+得
（2）解法一：设点T的坐标为).
,
(y
x当0
|
|=时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.
当|0
|
|
|
2
≠
≠TF
且时，由0
|
||
|
2
=
⋅TF，得
2
TF
⊥.又|
||
|
2
PF
=，所以T为线段F2Q的中点.
在△QF 1F 2中，a F ==
||2
1
||1，所以有.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.
设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧'=+'=.2
,2y y c
x x
因此⎩
⎨
⎧='-='.2,
2y y c x x ①
由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+
综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分
（3）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||22
1,2
022
020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤
所以，当c
b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c
b a 2
<时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当c
b a 2
≥时，),(),,(002001y x c MF y x c --=---=， 由2222
022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，
212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，
22121sin ||||2
1
b MF F MF MF S =∠⋅=
，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||22
1,2
022020b y c a y x ③ ④
③
④
由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((22242
20≥+-=-=c b a c b a c
b a x 于是，当c
b a 2
≥时，存在点M ，使S=2b ；
当c
b a 2
<时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当c
b a 2
≥时，记c
x y k k c x y k k M F M F -=
=+=
=00
200121
,， 由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 2
12121=+-=∠k k k k MF F …………14分。