2019届重庆市第一中学高三10月月考数学(文)试题(解析版)

2019届重庆市第一中学高三10月月考数学（文）试题一、单选题
1．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
首先求得结合A，然后进行交集运算即可.
【详解】
求解分式不等式可得：，则，
结合交集的定义可得 .
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．函数的最小正周期为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
首先化简函数的解析式，然后利用最小正周期公式求解函数的最小正周期即可.
【详解】
由题意可得：，
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数最小正周期的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．设，则“”是“函数在定义域上为增函数”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
首先求解实数a的取值范围，然后确定充分性和必要性即可.
【详解】
函数在定义域上为增函数，则，
由于“”是“”的充分不必要条件，
故“”是“函数在定义域上为增函数”的充分不必要条件.
本题选择A选项.
【点睛】
本题主要考查对数函数的性质，充分性与必要性的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．已知实数，则下列不等式中成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
由题意分别考查题中的不等式是否成立即可.
【详解】
指数函数在上单调递减，由于，故，选项A中的不等式成立；
幂函数在上单调递减，由于，故，选项B中的不等式不成立；
当时，，，选项C中的不等式不成立；
当时，，，选项D中的不等式不成立.
本题选择A选项.
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，指数函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．已知，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系求解三角函数值即可.
【详解】
由题意可得：，
则，.
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查诱导公式的应用，两角和的正切公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
题中命题的否命题为假命题，据此求解a的取值范围即可.
【详解】
由题意可知，命题：，为假命题，
则：，求解二次不等式可得实数的取值范围是.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查二次函数恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．已知数列满足：则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由题意利用递推关系裂项求解的值即可.
【详解】
由题意可得：，
则：
.
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查数列的递推关系，累加法求通项等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．已知则的最小值为（）
A．2 B．1 C．D．
【答案】B
将原问题转化为均值不等式求最值的问题即可，注意等号成立的条件.
【详解】
由题意可得：，则：
，
当且仅当时等号成立.
即的最小值为1.
本题选择B选项.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
9．在等差数列中，为前项和，，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由.
故选：A.
10．已知函数是定义在上的奇函数，若且为偶函数，则
（）
A．B．1 C．6 D．4
【答案】D
【解析】
由题意首先确定函数的周期性，然后结合函数的性质求解函数值即可.
【详解】
我们有如下结论：
若函数是奇函数，且是偶函数，则函数是周期函数，它的一个周期.
函数为奇函数，则，
是偶函数，则，据此可得：
.
据此即可证得上述结论.
据此结论可知题中所给函数的周期为，
则，，，
据此可得： 4.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．已知各项均为正数的数列的前项和为，且若
对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由得到a n=n，任意的，
恒成立等价于
，利用作差法求出
的最小值即可.
【详解】
当n=1时，，又∴
∵a n+12=2S n+n+1，∴当n≥2时，a n2=2S n﹣1+n，两式相减可得：a n+12﹣a n2=2a n+1，
∴a n+12=（a n+1）2，
∵数列{a n}是各项均为正数的数列，∴a n+1=a n+1，即a n+1﹣a n=1，
显然n=1时，适合上式
∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为1．
∴a n=1+（n﹣1）=n．
任意的，恒成立，
即恒成立
记
，
，
∴为单调增数列，即的最小值为
∴，即
故选：C
【点睛】
已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.
12．函数，关于的方程有4个不相等实根，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
首先分析函数的性质，然后换元后分离参数求解实数的取值范围即可.
【详解】
由函数的解析式可得函数为偶函数，
当时，，，
由导函数研究函数的单调性可得，函数在区间上单调递增，在区间上单
调递减，且当时，，函数的最大值为，
据此绘制函数的图象如图所示，
令，原问题等价于关于的方程在区间上存在唯一的实数根；
整理可得：，令，则，
由二次函数的性质易知在定义域内恒成立，则函数在定义域内单调递减，且，，
据此可得：实数的取值范围是.
本题选择D选项.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
二、填空题
13．设向量，则实数__________.
【答案】
【解析】
由题意得到关于x的方程，解方程即可求得x的值.
【详解】
由向量平行的充分必要条件可得：，解得：.
【点睛】
本题主要考查向量的坐标表示，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的化能力和计算求解能力.
14．曲线在点处的切线的斜率为，则________．
【答案】
【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。

详解：
则
故答案为-3.
点睛：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。

15．点是圆上两个动点，为线段的中点，则的值为__________.
【答案】3
【解析】
首先设出点A,B的坐标，然后结合平面向量的坐标运算求解数量积即可.
【详解】
由题意可知，为等边三角形，
设，，其中，
则：，，
由平面向量数量积的坐标运算法则可得：
.
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．某小商品生产厂家计划每天生产型、型、型三种小商品共100个，生产一个型小商品需5分钟，生产一个型小商品需7分钟，生产一个型小商品需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个型小商品可获利润8元，生产一个型小商品可获利润9元，生产一个型小商品可获利润6元．该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大日利润是__________元.
【答案】850
【解析】
由题意将原问题转化为线性规划的问题，然后利用线性规划的方法求解最值即可.
【详解】
依题意，每天生产的玩具A型商品x个、B商品y个、C商品的个数等于：100−x−y，
约束条件为：，
整理得.
目标函数为T=2x+3y+600.
如图所示,做出可行域.
初始直线l0:2x+3y=0，平移初始直线经过点A时，T有最大值。

由得.
最优解为A(50,50)，
此时T max=850(元).
即最大日利润是850元.
【点睛】
本题主要考查线性规划的实际应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
17．已知数列为等比数列，，是和的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由题意首先求得数列的公比，然后求解数列的通项公式即可；
（2）首先求得数列的通项公式，然后错位相减求解数列的前项和即可.【详解】
（1）设数列的公比为，因为，所以，．
因为是和的等差中项，所以．
即，化简得．
因为公比，所以．
所以（）.
（2）因为，所以．
所以．
【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．的内角所对边分别为，已知的面积为，，
，且.
（1）求边；
（2）如图，延长至点，使，连接，点为线段中点，求。

【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由题意得到关于边长的方程组，求解方程组即可求得b的值；
（2）由题意利用正弦定理将正弦的比值转化为边长的比值求解即可.
【详解】
（1）…①
由余弦定理，…②
联立①②可得或
又，.
（2）为中点，，
故,即.
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，余弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且，
.
（1）求证：平面；
（2）若，且，求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
（1)由题意结合线面垂直的判断定理证明题中的结论即可；
（2）结合棱锥的特征转化顶点，利用求解三棱锥的体积即可.
【详解】
（1)∵四边形是菱形，∴,∵,
∴平面，又平面，∴．∵,是的中点，
∴，∵，∴平面.
（2）菱形的边长为，又是等边三角形，则.
由（1）知，，又是的中点，，
又是等边三角形，则.在中，
，
.
【点睛】
求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．
20．如图，已知圆，抛物线的顶点为，准线的方程为，
为抛物线上的动点，过点作圆的两条切线与轴交于.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若，求△面积的最小值.
【答案】(1).
(2)32.
【解析】分析：（Ⅰ）根据抛物线的准线方程可得，故抛物线的方程可求出.
（Ⅱ）求出过的圆的切线的方程后可得两点的横坐标，它们可用
及其相应的斜率表示，因此也与这三者相关.再利用圆心到直线的距离为半径得到
斜率满足的方程，利用韦达定理和消元后可用关于的函数表示，求出该
函数的最小值即可.
详解：（Ⅰ）设抛物线的方程为，
则，∴，所以抛物线的方程是.
（Ⅱ）设切线，即，
切线与轴交点为，圆心到切线的
距离为，化简得
设两切线斜率分别为，则
=，当且仅当时取等号.
所以切线与轴围成的三角形面积的最小值为32.
点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得. 21．已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）当时，求证：.
【答案】（1）时取得极小值，无极大值；（2）见解析.
【解析】
（1）首先求得导函数，然后确定函数的单调性，据此求解函数的极值即可；
（2）解法一：原问题等价于证明，构造函数
，，通过证明即可证得题中的结论；
解法二：令，则，令，通过讨论的性质结合隐零点的方法即可证得题中的结论.
【详解】
（1），
由得；由得。

故当时取得极小值，无极大值。

（2）解法一：若，因为，要证，即证，令，则。

令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，，
令，则。

令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，，
又因为，所以，即，所以，
即。

解法二：令，则，
令，
则，所以在单调递减，即在单调递减，又，，所以，使得，且当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递
减；
所以，又，所以，
故，令，则
，所以在单调递增，所以，
故，即，所以若，则
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
22．在直角坐标系中，以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知
曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.
（1）写出曲线与直线的直角坐标方程；
（2）设为曲线上一动点，求点到直线距离的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
(1)将极坐标方程转化为直角坐标方程即可；
(2)首先设出Q点的坐标，然后利用点到直线距离公式和三角函数的性质确定d的最小值即可.
【详解】
（1）极坐标转化为直角坐标方程可得.
（2）设，则点：
，
当且仅当.
【点睛】
直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角
坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生
，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.
23．已知函数
（1）若，求实数的取值范围；
（2）证明：时，。

【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）即为分类讨论即可得到结果；
（2）利用三角绝对值不等式即可得到结果.
【详解】
（1）即为。

当时，，得；
当时，，无解当时，，得。

所以时，实数的取值范围为。

（2）证明：
【点睛】
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。