2019-2020学年山西省晋中市平遥中学高三(上)第一次月考数学试卷2(9月份) (含答案解析)

2019-2020学年山西省晋中市平遥中学高三（上）第一次月考数学试
卷2（9月份）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|x≤2}，B={x|3−2x<0}，则()
A. A∪B=R
B. A∩B=⌀
C. A∩B={x|x⩽2}
D. A∪B={x|3
2
<x⩽2}
2.在区间上为增函数的是()
A. y=1
B. y=x
1−x
+2
C. y=−x2−2x−1
D. y=1+x2
3.不等式(log2
3a)2<2+log2
3
a的解集为()
A. {a|0<a<4
9} B. {a|a>3
2
}
C. {a|4
9<a<3
2
} D. {a|0<a<4
9
,或a>3
2
}
4.已知p：ab>0，q：b
a +a
b
≥2，则p与q的关系是()
A. p是q的充分而不必要条件
B. p是q的必要而不充分条件
C. p是q的充分必要条件
D. 以上答案都不对
5.若f(x)=1
2x−1
+a是奇函数，则a=()
A. 0
B. 1
C. −1
D. 1
2 6.设函数g(x)=x(x2−1)，则g(x)在区间[0,1]上的最大值为()
A. −1
B. 0
C. −2√3
9D. √3
3
7.已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=−1
f x ，若f(0)=1
2
，则f(2018)=()
A. −1
2B. 1
2
C. −2
D. 2
8.已知函数f(x)=|3x−2|−m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()
A. [0,2]
B. (0,2)
C. [0,2)
D. (0,2]
9.已知函数f(x)满足f(x)+f(−x)=0，且当x∈(0,+∞)时，f(x)
x
+f′(x)>0成立，若a=f(1)，
b=ln2⋅f(ln2)，c=log21
3⋅f(log21
3
)，则a,b,c的大小关系是()
A. a>b>c
B. c>b>a
C. a>c>b
D. c>a>b
10.命题“∀x∈N∗，x2∈N∗且x2≥x”的否定形式是()
A. ∀x∈N∗，x2∉N∗且x2<x
B. ∀x∈N∗，x2∉N∗或x2<x
C. ∃x0∈N∗，x02∉N∗且x02<x0
D. ∃x0∈N∗，x02∉N∗或x02<x0
11.已知f(x+1)=√x，则函数f(x)的大致图象是()
A. B.
C. D.
12.已知函数f(x)=log2x，g(x)=2x+a，若存在x1,x2∈[1
2
,2]，使得f(x1)=g(x2)，则a的取值范围是()
A. (−∞,−5)∪(0,+∞)
B.
C. (−5,0)
D. [−5,0]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.曲线y=x−cosx在点(π
2,π
2
)处的切线方程为____________．
14.函数f(x)=(x−1)2+2，x∈[0,2)的值域是______ ．
15.已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b
2x+1+a
是奇函数，则a+b的值为______．
16.已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；命题q：方程4x2+4(m−2)x+1=0
无实根．若p∨q为真，(p∧q)为假，则m的取值范围为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知集合A={x|x2+x+m+2=0,x∈R}，B={x|x>0}，若A∩B=⌀，求实数m的取值范
围．
18.已知二次函数f(x)=x2+ax+b，满足f(0)=6,f(1)=5．
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)当x∈[−2,2]时，求函数y=f(x)的值域．
x3+ax2+6x−1.当x=2时，函数f(x)取得极值．
19.已知函数f(x)=1
3
(1)求实数a的值；
(2)方程f(x)+m=0有3个不同的根，求实数m的取值范围．
20.函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，且对任意的x,y∈(0,+∞)都有f(x+y)=f(x)+f(y)−
1，且f(4)=5．(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(1)+f(2−m)>4．
21.设函数f(x)=x2−xlnx+2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间；
,+∞)，使f(x)在[a,b]上的值域是[k(a+2),k(b+2)]，求k的取值范(Ⅱ)若存在区间[a,b]⊆[1
2
围．
−lnx.a∈R
22.已知f(x)=x+a
x
(1)若a=2，求f(x)的单调区间；
(2)当a≤−1
时，若f(x)≥−ln2在x∈[2,e]上恒成立，求a的取值范围．
4
-------- 答案与解析 --------1.答案：A
解析：
【分析】
本题考查了交集及其运算和并集及其运算，是基础题．
【解答】
解：集合A={x|x≤2}，B={x|3−2x<0}={x|x>3
2
}，
∴A∪B=R，A∩B={x|3
2
<x≤2}
故选A．
2.答案：B
解析：
【分析】
本题主要考查函数的单调性，是基础题．
逐个判断即可．
【解答】
解：A.函数无单调性，
B.y=x
1−x +2=1+1
1−x
，反比例函数，在(−∞,0)上是增函数，
C.y=−(x+1)2在(−∞,−1)上是增函数，(−1,0)是减函数，
D.在(−∞,0)上是减函数．
故选B．
3.答案：C
解析：
【分析】
本题考查对数不等式的解法，属于基础题型，利用换元法，即可转化一元二次不等式的解法．【解答】
解：∵不等式(log2
3a)2<2+log2
3
a，
令，
即t2−t−2<0，
即−1< t<2，故，
所以4
9<a<3
2
，
故选C．
4.答案：C
解析：
【分析】
本题考查了充分必要条件，考查基本不等式，属于基础题．
当ab>0时，则b
a >0，a
b
>0，利用基本不等式可得b
a
+a
b
≥2；当b
a
+a
b
≥2时，即(a−b)2
ab
≥0，故ab>0.
据充分必要条件的定义判断即可．【解答】
解：若ab>0，则b
a >0，a
b
>0，
∴b
a +a
b
≥2，当且仅当b
a
=a
b
时等号成立，故p⇒q成立．
若b
a +a
b
≥2，则a2+b2
ab
≥2，
∴a2+b2−2ab
ab ≥0，即(a−b)2
ab
≥0．
∵(a−b)2≥0，∴ab>0，
故q⇒p成立，即p是q的充分必要条件，
故选C．
5.答案：D
解析：
【分析】
本题考查函数的奇偶性.求出函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，利用f(−1)=−f(1)，即可求出结果．
【解答】
解：由2x−1≠0得x≠0，
∴函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
∵f(x)=1
2−1
+a是奇函数，
∴f(−1)=−f(1)，
即1
2−1−1+a=−(1
2−1
+a)，
解得a=1
2
．
6.答案：B
解析：解：g(x)=x3−x，x∈[0,1]，g′(x)=3x2−1，
令g′(x)>0，解得：x>√3
3
，
令g′(x)<0，解得：x<√3
3
，
故g(x)在[0,√3
3)递减，在(√3
3
,1]递增，
故g(x)的最大值是g(0)或g(1)，
而g(0)=0，g(1)=0，
故函数g(x)在[0,1]的最大值是0，
故选：B．
求出函数g(x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出g(x)在[0,1]的最大值即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
7.答案：C
解析：
【分析】
本题考查的知识点是函数的周期性，函数的值．
根据已知中函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=−1f(x)，判断出函数f(x)是以4为周期的周期函数，是解答本题的关键．
【解答】
解：f(x+2)=−1f(x)，f(x+4)=f(x+2+2)=−1
f(x+2)
=f(x)即函数的周期是4，
所以f(2018)=f(504×4+2)=f(2)
又因为f(0)=1
2
，
所以f(2)=−1f(0)=−2，
故选C．
8.答案：B
解析：
本题主要考查函数零点的判定定理，属于基础题．
把函数f(x)=|3x−2|−m的零点转化为函数y=|3x−2|与y=m的图象交点的横坐标，画出两个函数的图象，数形结合得答案．
函数零点的几种等价形式：函数y=f(x)−g(x)的零点⇔函数y=f(x)−g(x)的图象与x轴的交点的横坐标⇔方程f(x)−g(x)=0的根⇔函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象的交点的横坐标．
【解答】
解：函数f(x)=|3x−2|−m有两个不同的零点，等价于函数y=|3x−2|与函数y=m的图象有两个交点，作出函数y=|3x−2|与y=m的图象，如图所示，
由图可知，当0<m<2时，函数y=|3x−2|与函数y=m的图象有两个交点，
所以实数m的取值范围是(0,2)，
故选B．
9.答案：D
解析：
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，由单调性比较大小．
【解答】
+f′(x)>0得f(x)+xf′(x)>0，
解：由当x∈(0,+∞)时，f(x)
x
设g(x)=xf(x)，则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)上为增函数，
)，
a=g(1)，b=g(ln2)，c=g(log21
3
因为f(x)是奇函数，所以g(x)是偶函数，c=g(log23)，
log23>1>ln2，所以c>a>b，
故选D．
10.答案：D
【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】
解：命题的全称命题，则否定是特称命题，
即∃x0∈N∗，x02∉N∗或x02<x0，
故选：D．
11.答案：A
解析：
【解答】
解：由f(x+1)=√x得f(x+1)=√x+1−1，即f(x)=√x−1，x≥1，
即函数f(x)的图象是函数y=√x的图象向右平移一个单位得到，
即对应的图象为A，
故选：A．
【分析】
求出函数f(x)的解析式，结合函数图象平移关系进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数图象平移关系是解决本题的关键，难度较易．12.答案：D
解析：
【分析】
,2]上的值域，本题考查了函数定义域和值域，根据f(x)的解析式求出其值域，再求出g(x)在x∈[1
2
,2]，使得f(x1)=g(x2)成立，得两个值域交集不为空集，进而得到答案．
由存在x1,x2∈[1
2
【解答】
解：∵函数，
,2]时，f(x1)∈[−1,1]，
当x1∈[1
2
∵函数g(x)=2x+a，
,2]时，g(x2)∈[a+1,a+4]，
当x2∈[1
2
,2]，使得f(x1)=g(x2)成立，
若存在x1,x2∈[1
2
则[−1,1]∩[a+1,a+4]≠⌀，
即a +1∈[−1,1]或a +4∈[−1,1]， 解得：a ∈[−5,0]． 故选D ．
13.答案：2x −y −π
2=0
解析： 【分析】
本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键． 求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程． 【解答】
解：y =x −cosx 的导数为y′=1+sinx ， 即有在点(π2,π
2
)处的切线斜率为k =1+sin π
2=2， 则曲线在点(π2,π
2)处的切线方程为y −π
2=2(x −π
2)， 即为2x −y −π
2=0. 故答案为2x −y −π
2=0．
14.答案：[2,3]
解析：解：函数f(x)=(x −1)2+2，x ∈[0,2)，
函数的对称轴为x =1，开口向上，函数的最小值为f(1)=2，函数的最大值为：f(0)=3． 函数的值域为[2,3]． 故答案为：[2,3]．
求出函数的对称轴，利用二次函数的性质写出结果即可．
本题考查函数的值域，二次函数的基本性质的应用，考查计算能力．
15.答案：3
解析：解：∵f(x)是定义域为R 的奇函数，
∴f(0)=0，即f(0)=b−1
2+a =0，则b −1=0，即b =1， 则f(x)=
1−2x 2+a
，
又f(−1)=−f(1)，
则1−121+a =−1−24+a ，得a =2，
即a +b =1+2=3，
故答案为：3
利用奇函数的定义和性质建立方程关系进行求解即可．
本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．
16.答案：(1,2]∪[3,+∞)
解析：解：命题p 为真时，实数m 满足△=m 2−4>0且−m <0，解得m >2，
命题q 为真时，实数m 满足△=16(m −2)2−16<0，解得1<m <3，
p ∨q 为真命题、p ∧q 为假命题，∴p ，q 一真一假；
①若q 真且p 假，则实数m 满足1<m <3且m ≤2，解得1<m ≤2；
②若q 假且p 真，则实数m 满足m ≤1或m ≥3且m >2，解得m ≥3；
综上可知实数m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞)．
根据△>0，−m <0，即可求出命题p 为真时m 的取值范围，根据△<0即可求出命题q 为真时m 的取值范围，由p ∨q 为真，p ∧q 为假，便得到p 真q 假或p 假q 真，分别求出这两种情况下m 的取值范围再并集即可得出实数m 的取值范围．
考查一元二次不等式的解的情况和△取值的关系，解一元二次不等式，以及p ∨q ，p ∧q 真假和p ，q 真假的关系．
17.答案：解：因为A ∩B =⌀，
所以A 有两种可能：A =⌀或A 中的元素均为非正数．
(1)当A =⌀时，Δ<0，
则12−4×1×(m +2)<0，
即m >−74；
(2)当A ≠⌀时，
设方程x 2+x +m +2=0的两个根分别为x 1,x 2，
则满足{Δ=1−4(m +2)⩾0
x 1+x 2=−1⩽0x 1⋅x 2=m +2⩾0
，
所以−2⩽m ⩽−74．
综上所述，实数m 的取值范围为m ⩾−2．
解析：本题考查了集合的运算中交集的应用及参数取值问题，属于基础题．
因为A ∩B =⌀，所以A 有两种情况，分为A =⌀和A ≠⌀讨论方程根的情况，从而求出实数m 的取值
范围．
18.答案：解：(1)∵{f(0)=b =6
f(1)=a +b +1=5
解得{a =−2b =6
， ∴f(x)=x 2−2x +6；
(2)∵f(x)=x 2−2x +6=(x −1)2+5，x ∈[−2,2]，
图象开口向上，对称轴为：x =1，
∴x =1时，f(x)的最小值为5，x =−2时，f(x)的最大值为14．
故函数y =f(x)的值域为[5,14]
解析：本题考查二次函数的简单性质的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力，属于中档题．
(1)利用已知条件列出方程组求解即可．
(2)利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．
19.答案：解：(1)由
， 则 fˈ(x)=x 2+2ax +6
因在x =2时，f(x)取到极值
所以fˈ(2)=0⇒4+4a +6=0 解得，
； (2)由(1)得
则fˈ(x)=x 2−5x +6=(x −2)(x −3)
由fˈ(x)=0，解得x =2或x =3；
fˈ(x)>0，解得x >3或x <2；
fˈ(x)<0，解得2<x <3，
∴f(x)的递增区间为：(−∞,2)和(3,+∞)；
f(x)递减区间为：(2,3) 又，
作y =f(x)的图象与直线y =−m ，则直线与函数图象有三个不同的交点，可得−113<m <−72．
解析：考查利用导数研究函数的极值、单调性等问题，体现了数形结合和转化的思想方法，考查了观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
(1)因为f(x)在x =3是取极值，则求出f′(x)得到f′(3)=0解出求出a 即可．
(2)由(Ⅰ)得f(x)，若关于x 的方程f(x)+m =0有三个不同的实数根，即函数f(x)的图象与直线y =−m 有三个交点，利用导数即求函数f(x)的极值，结合图象可得实数m 的取值范围．
20.答案：解：(1)对任意的x ，y ∈(0,+∞)都有f(x +y)=f(x)+f(y)−1，
∵f(4)=5，
令x =y =2，
∴f(4)=f(2)+f(2)−1=5，
∴f(2)=3，
(2)由f(1+1)=f(1)+f(1)−1，可得f(1)=2，
∵f(1)+f(2−m)>4．
∴f(2−m)>2=f(1)，
∵f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，
∴0<2−m <1，
∴1<m <2，
故不等式的解集为(1,2)．
解析：本题主要考查了利用赋值法求解函数值及利用函数的单调性求解不等式，属于函数性质的简单应用．
(1)令x =y =2，结合f(4)=5，即可求解f(2)；
(2)由f(1+1)=f(1)+f(1)−1，可求f(1)=2，然后结合f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，可求不等式．
21.答案：解：(Ⅰ)令g(x)=f′(x)=2x −lnx −1(x >0)，
g′(x)=2−1x ，
令g′(x)>0，解得：x >12，令g′(x)<0，解得：0<x <12，
所以g(x)在(0,12)单调递减，在(12,+∞)单调递增，
则g(x)的最小值为g(12)=ln2>0．
所以f′(x)=g(x)≥g(12)>0，
所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)在区间[a,b]⊆[12,+∞)递增，
∵f(x)在[a,b]上的值域是[k(a +2),k(b +2)]
所以f(a)=k(a +2),f(b)=k(b +2),12≤a <b ．
则f(x)=k(x +2)在[12,+∞)上至少有两个不同的正根，
k =f(x)x+2，令F(x)=f(x)x+2=x 2−xlnx+2x+2(x ≥12) 求导，得F′(x)=x 2+3x−2lnx−4
(x+2)2(x ≥12)，
令G(x)=x 2+3x −2lnx −4(x ≥12)
则G′(x)=2x +3−2x =
(2x−1)(x+2)x ≥0． 所以G(x)在[12,+∞)递增，
G(12)<0,G(1)=0．
当x ∈[12,1)时，G(x)<0∴F′(x)<0，
当x ∈(1,+∞)时，G(x)>0∴F′(x)>0
所以F(x)在[12,1)上递减，在(1,+∞)上递增，
故F(1)<k ≤F(12)∴k ∈(1,9+2ln210]．
解析：(Ⅰ)求出f(x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (Ⅱ)根据f(x)的单调性求出f(x)在[a,b]的值域，令F(x)=
f(x)x+2=x 2−xlnx+2x+2(x ≥12)，根据函数的单调性求出k 的范围即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题． 22.答案：解(1)当a =2时，f(x)=x +2x −lnx ，
则f′(x)=1−2x 2−1x =x 2−x−2x 2，x >0
令f′(x)>0，解得x >2，令f′(x)<0，解得0<x <2，
所以f(x)增区间为(2,+∞)，减区间为(0,2)．
(2)由f′(x)=1−
a x 2−1x =x 2−x−a x 2，x ∈[2,e]， 当a ≤−14时，x 2−x −a >0，故f(x)在x ∈[2,e]上为增函数，
若f(x)≥−ln2，则只需f min (x)=f(2)=2+a 2−ln2≥−ln2，
即：a ≥−4，
故a 的取值范围是{a 丨−4⩽a ⩽−14}．
解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
(2)求出函数的导数，求出函数f(x)的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．。