用数学文化滋养理性精神——《走进幻方》教学

文|戚洪祥——
—《走进幻方》教学
与常规知识相比，数学文化因其特有的趣味性、故事性而被学生所喜爱。

为了落实《数学课程标准（2011年版）》提出的“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中”这一要求，现行的各版本教材通过原题植入、方法融入、史料嵌入等方式，从多个角度将数学文化引入数学教育教学活动。

由“河图”“洛书”演变而来的“三阶幻方”因其神秘的“幻和”，常常在中低年级教学整数加法时出现，用以激发学生的学习兴趣。

恰巧2020年盐城市中考将“三阶幻方”编入考题，以此为生活背景，设计了一节五年级数学文化活动课。

【教学过程】
一、挑战考题，激发学生学习兴趣
师：同学们知道中考吗？中考虽然离咱们小学生很遥远，但中考数学卷上却有我们小学生会做的题。

这是一道2020年盐城市中考题，请你试试看。

PPT出示题目：
把1~9这9个数填入3×3的方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，
这样便构成了一个“九宫格”。

它源
于我国古代的“洛书”（图1），是世
界上最早的“幻方”。

图2是仅可以
看到部分数值的“九宫格”，则涂阴
影的小方格内应该填（）。

图1图2
A.1
B.3
C.6
D.无法确定
生：我选A。

我是根据图1，看
到涂阴影的小方格对应的是1个
圆圈，所以我认为它应该填1。

（教师借助PPT将两个图重
叠在一起，出示图3。

师生一起读
图，2对应着2个点……而阴影部
分对应着1个点，所以应该填1）
图3
生：我也选A，但我的方法与
他不同。

我是根据“任意一行、任
意一列及两条对角线上的数之和
都相等”这个信息来算的，根据斜
线上的8、5、2可以算出和是15，
最右边一列已经有了2和7，所以
右下角那一格为6。

这时最下面一
行有了8和6，那么中间一个数就
应该是1。

师：感谢这两位同学，一道中
考题，我们五年级的同学却能用
两种不同的方法解决，真是非常
厉害，老师为你们点赞。

你能继续
将这个九宫格填完吗？
（学生独立思考后回答，教师
呈现完整的“九宫格”）
师：这个九宫格图其实我们
并不陌生。

一年级时，我们就会填
“九宫格”（出示图4）。

到了四年级
时，我们还学会了借助计算器从
加法的角度探究“九宫格”的奥秘
（出示图5）。

图4苏教版一年级下册第15页
图5苏教版四年级下册第43页
师：像这样横、竖、斜格中数
的和都相等的方格图，在数学里
叫“幻方”，相等的和叫“幻和”。

“九宫格”的横、竖、斜都有三格，所以又叫“三阶幻方”，我们今天一起走进幻方，探索其中的奥秘。

二、问题引学，探究三阶幻方奥秘
1.独立观察，初探奥秘。

师：三阶幻方可不只有同学们填的这一种（PPT出示图6），观察一下，你发现了什么？
图6
生：每种填法横、竖、斜格中数的和都等于15。

师：是的，这个15就是三阶幻方的幻和。

生：我发现对角都是1和9、2和8、3和7、4和6这样一对一对的。

师：这一对一对有什么相同点？
生：它们的和都是10。

生：我发现5都在正中间一格。

师：一对的两个数和为10，再加上中心位置的5，所以幻和是15。

2.自主学习，突破难点。

师：有人研究过三阶幻方的所有填法，发现5如果不在中心位置，就填不起来了。

你有什么疑问吗？
生：为什么三阶幻方的中心一定是5？
师：这个问题真好！请大家四人小组借助《学习单》研究一下。

生：我们选择的是第二种填
法。

中间横行的三个数分别是
（9，5，1），中间竖行的三个数是
（3，5，7），斜格的两组数分别是
（4，5，6）和（8，5，2），这四组数的
和是60。

生：我们选择的是第一种填
法，和也是60。

生：我们也是60，我们选的是
第四种。

生：其实每一种填法的和都是
60，因为三阶幻方的幻和是15，四
组数就是4个幻和，15×4=60。

师：感谢这位同学的解释，继
续汇报第二个问题。

生：1至9的和是45。

生：我们发现4个幻和中5
出现的次数最多，它出现了4次，
其余每个数都只出现了1次。

生：60比45多了15，就是因
为5多出现了3次，所以中间数
一定是5。

师：（PPT演示）中间横行、中
间竖行、两个斜格一共有12个小
方格，它们的和是60。

所有的方格
都被圈到了，它们的和是45，处于
中心位置的方格被圈了4次，也
就是多圈了3次，所以相差的15
就是中心方格中数的3倍，中间
位置的数一定是5。

3.读思结合，理解填法。

师：三阶幻方的神奇奥秘一
下子被大家发现了。

如果没有这
几个图做参考，你们能不能用1~9
这9个数，也填一个三阶幻方呢？
（学生独立尝试，同桌检查）
师：这里有三阶幻方的几种
填法，我们一起来了解一下。

先来
看名气最大的“杨辉填法”（PPT
出示图7），谁来读一读？
图7
师：对照上面的图，你能看明
白每句话的意思吗？动手试一试。

（学生动手尝试，同桌交流）
师：（PPT出示）“好玩的数
学”系列丛书中的《幻方与素数》
介绍了这样一种填法，谁读一
读？
生：戴9履1，左3右7，2、4
为肩，6、8为足，5在中间。

师：这段话比“杨辉填法”难
懂一些，谁能结合填好的三阶幻
方解释一下？
（学生尝试解释）
师：戴，就是头上戴的东西，
也就是头的位置；履，就是鞋的意
思，指向下面一行的中间。

把三阶
幻方想象成人，根据人体的各部
分来记忆每个数的位置，也是我
国古代数学家的创举。

4.实践应用，体验填法。

师：你还有什么问题吗？
生：三阶幻方是不是一定要
用1~9这9个数？
生：有没有四阶幻方、五阶幻方？
师：好问题！我们依次来研究，
对于第一个问题，你们觉得呢？
生：我觉得2~10也行。

生：只要9个数是等差数列
就一定行。

师：请你用5、15、25、35、45、
55、65、75、85这9个数来填一填。

生：（展示填法，如图8）中间
数为45，幻和为135。

三、学法迁移，自主探究四阶幻方
1.整体观察，自由表达。

师：会不会有四阶幻方呢？（PPT出示图9）老师这里就有一个，谁来介绍一下它？
图8图9
生：它有四行，每行四个数。

生：填的数是1~16这16个数。

生：与三阶幻方不同，它没有中间一个数，因为4是偶数。

生：它的幻和是34。

师：请大家验证一下，它的幻和是不是34？
生：（验证并汇报）每行、每列、斜行四个数的和都是34。

生：我还发现左上角的四个数16、2、5、11这四个数的和也是34。

生：每个角上四个数的和都是34。

师：是的。

在这个四阶幻方中，不止每行、每列、斜行四个数和相等，左上、左下、右上、右下四个区域方格中数的和也都等于幻和。

（PPT借助不同的颜色相机呈现）
2.读图辨析，自悟填法。

师：想不想知道四阶幻方是怎么填的？（PPT出示下图）请大家仔细观察，试着用简短的语言总结一下四阶幻方的填法。

生：先把16个数从小到大写成四行，然后先把四个角上的数对换一下，最后再把中间的四个数对换一下。

师：你说的对换是怎样的？
生：（演示）这样斜过来对换。

3.尝试应用，自破定势。

师：说得真好！老师在一年级
的书上看到了这样的一个方格图
（PPT出示图10），用刚才的方法
进行变换，能将它变成一个四阶
幻方吗？咱们先猜一猜。

图10苏教版图11
一年级下册第78页
生：我猜不能，因为它们不是
等差数列，中间少了11、21、31三
个数。

师：看来许多同学都同意你
的观点。

猜想需要验证，请大家利
用《学习单》上4×4的方格图，换
一换，填一填。

生：我将3和39、9和33、15
和27、17和25分别调换，然后计
算发现横、竖、斜得到的和都是84，
竟然是一个四阶幻方。

（如图11）
师：现在你想说什么？
生：填的数不一定是连续自
然数，也不一定是等差数列的数。

师：是呀！幻方里的数是不固
定的，但它们都有一定的规律。

四、归类填法，尝试构造奇阶
幻方
1.归类填法，引出数学阅读。

师：回顾学习过程，你现在头
脑中有没有产生新的问题？（PPT
出示三阶幻方、四阶幻方图）
生：有没有五阶幻方？它应该
怎么去填呢？
师：刚刚研究了三阶幻方、四
阶幻方，自然而然就会想到有没有
五阶幻方，甚至六阶、七阶，如果用
从1开始的连续自然数去填，它们
的幻和又会是多少？我在准备这节
课的时候，也与同学们一样，产生
了许多问题。

有了问题怎么办呢？
生：上网查资料、看书。

师：这些都是好方法，老师喜
欢用课外阅读来解决自己的问
题。

通过阅读《幻方与素数》这本
书，我对幻方问题有了非常详细
的了解。

这是根据书中的内容，总
结出了所有“奇阶幻方”的填法。

（PPT出示填法）
奇阶幻方
1居上行正中央，依次斜填不能忘；
上出下补右则左，无路可走下一格。

师：请你来读一读，想一想每
句是什么意思。

生：奇阶幻方，就是三阶、五
阶、七阶这样的，奇数的幻方。

生：“1居上行正中央”的意思
就是把1写在最上面一行的正中
间位置。

“依次斜填不能忘”，我的
感觉就是应该要斜过来填。

师：你的感觉真好，就是要斜
着向上填。

2.直观演示，准确理解填法。

图12
师：后面两句是有难度的，
下面
我们以三阶幻方为例，借助演示，边读边填边理解。

（PPT出示图12）3.实践体验，形成创造能力。

师：请用这样的方法，在《学习单》上自己构造一个三阶幻方或五阶幻方。

（学生尝试填，教师巡视并展
示学生作品，略）
师：有兴趣的同学，课后可以
用这样的方法尝试去创造一个更
高阶的奇次幻方。

（作者单位：江
苏省盐城市教育科
学研究院）
责任编辑胡洁
文|林志辉（特级教师）陈柯柯
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