高考数学总复习课时作业55曲线与方程理北师大版

A 级
1．已知两点M( －2,0)，N(2,0)，点 P 为坐标平面内的动点，知足
→→→ →| MN|·|MP|＋MN· NP
＝ 0，则动点P( x，y) 的轨迹方程为 ()
A．y2＝ 8x B．y2＝－ 8x
C．y2＝ 4x D．y2＝－ 4x
2．方程 ( x2＋y2－ 4)x＋ y＋1＝0的曲线形状是 ()
3．已知点P 在定圆 O的圆内或圆周上，动圆C过点 P 与定圆 O相切，则动圆C的圆心轨迹可能是 ()
A．圆或椭圆或双曲线
B．两条射线或圆或抛物线
C．两条射线或圆或椭圆
D．椭圆或双曲线或抛物线
4．设点A为圆 ( x－ 1) 2＋y2＝ 1上的动点， PA是圆的切线，且| PA|＝1，则 P 点的轨迹方程为 ()
A．y2＝ 2x B． ( x－ 1) 2＋y2＝ 4
C．y2＝－ 2x D． ( x－ 1) 2＋y2＝ 2
5．长为 3 的线段的端点，
B 分别在
x
轴、
y
轴上挪动，
→
＝ 2
→
，则点
C
的轨迹
AB A AC CB
是 ()
A．线段B．圆
C．椭圆D．双曲线
0，
y→→
6．平面上有三点A( －2，y) ，B2， C( x， y)，若 AB ⊥B C，则动点 C 的轨迹方程为 ________．
7．已知△ABC的周长为6，A( － 1,0)， B(1,0)，则极点 C的轨迹方程为________．8．已知定点A(2,0) ，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程是
________．
9．已知⊙
O 的方程是
x
2＋
y
2－ 2＝0，⊙′的方程2＋
y
2－ 8 ＋10＝ 0，由动点
P
向⊙
O
O x x
和⊙ O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
10．已知点A( － 1,0)， B(2,4)，△ ABC的面积
为10，求动点C的轨迹方程．
→→
11．已知点A(－2,0)， B(2,0)，曲线C上的动点P知足 AP· BP＝－3，
(1)求曲线 C的方程；
(2) 若过定点M(0，－2)的直线 l 与曲线 C有交点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
B 级
1．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)， B(－1,3)，若点 C→→→
知足 OC＝λOA＋λ OB( O
12为原点 ) ，此中λ，λ ∈R，且λ ＋λ ＝1，则点C的轨迹是()
1212
A．直线B．椭圆
C．圆D．双曲线
2．(2011 ·北京卷 ) 曲线
C 是平面内与两个定点1(－1,0)和2(1,0)的距离的积等于常
F F
数a2(a＞1)的点的轨迹．给出以下三个结论：
①曲线 C过坐标原点；
②曲线 C对于坐标原点对称；
③若点
P 在曲线
C
上，则△12 的面积不大于
1
2.
F PF2
a
此中全部正确的结论的序号是________．
3．(2012 ·山西省考前适应性训练) 已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点 F1， F2在 y 轴
上，它的一个极点为(2，0) ，且中心到直线AF的距离为焦距的1
的直线，过点 (2,0)
14
l 与椭圆交于不一样的两
点，，点
N
在线段上．
P Q PQ
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设| PM|·|NQ|＝ | PN| ·|MQ| ，求动点N的轨迹方
程．详解答案
课时作业 ( 五十五 )
A级
1．B |
→
| ＝ 4，|
→
| ＝
x
＋ 22＋2，
→
·
→
＝4(
x
－2) ，
MN MP y MN NP
∴ 4x＋22＋ y2＋4( x－2)＝0，∴ y2＝－8x.
2． C由题意可得
x2＋ y2－4＝0，
或 x＋ y＋1＝0.它表示直线x＋y＋1＝0和圆 x2
x＋y＋1≥0，
＋ y2－4＝0在直线 x＋ y＋1＝0右上方的部分．
3．C当点P在定圆O的圆周上时，圆C与圆 O内切或外切， O，P，C三点共线，∴轨迹为两条射线；
当点 P 在定圆 O内时(非圆心)，| OC|＋| PC|＝ r 0为定值，轨迹为椭圆；
当 P与 O重合时，圆心轨迹为圆．
4． D
如图 ，设 P ( x ，y ) ，圆心为 M (1,0) ．连结 MA ，则 MA ⊥PA ，且 | MA |＝ 1，又∵ | PA | ＝ 1， ∴| PM |＝ | MA |2＋| PA | 2＝ 2，即 | PM |2＝2，
∴ ( x －1) 2＋ y 2＝ 2.
5． C 设 C ( x ，y ) ， A ( a, 0) ， B (0 ， b ) ，则 a 2＋ b 2＝ 9，①
又 →＝ 2→ ，因此 (
x － ， ) ＝2( － ， b － ) ，
AC
CB a y
x y
＝ 3 x ，
a
即
3 ② b ＝ 2y ，
2
y 2
把②代入①式整理可得 x ＋ 4 ＝ 1. 应选 C.
→
y →
y
6．分析：
AB ＝ 2，－2 ， B C ＝ x ， 2 .
→
→
→ → y y
2
∵ AB ⊥ B C ，∴ AB ·BC ＝0，得 2·x － 2·
2＝ 0. 得 y ＝ 8x .
答案：
y 2＝ 8x
7．分析： ∵A ( － 1,0) ， B (1,0) ，∴ | AB | ＝ 2，
又∵△ ABC 的周长为 6，∴ | CA | ＋| CB | ＝ 4>2，
∴ C 点的轨迹是以 A ， B 为焦点的椭圆 ( 去掉左、右极点 ) ．
2
2
∵ 2a ＝4， c ＝ 1，∴ b ＝ a － c ＝ 3.
x 2 y 2
∴轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝ 1( x ≠± 2) ．
答案：
x 2＋ y 2
＝ 1( x ≠± 2)
4
3
8．分析：
设 ( 1，
1
)， ( ， ) ，则
y 1
2
＝ 1，
①
P x
y M x y
x
x 1＋ 2
x ＝ 2
x 1＝ 2x － 2
又 M 为 AP 中点，∴
，即 ，
y
1
y 1＝ 2
y ＝ 2
代入①得
答案：
2
2
1
(2 y ) ＝ 2x － 2，即 y ＝ 2( x －1) ．
2
1
y ＝ 2( x － 1)
9．分析：
由⊙ O ： x 2＋y 2＝ 2，⊙ O ′： ( x － 4) 2＋ y 2＝ 6 知两圆相离，
而 2＝
2
－ 2，
2
＝ ′ 2－6，
PT
PO PQ PO
2
2
－6，设 P ( x ， y ) ，
∴ PO － 2＝ PO ′
2
2
2 2
3
即得 x ＋ y － 2＝ ( x － 4) ＋ y －6，即 x ＝2.
答案： 3
x ＝
2
2
2
20
10．分析： ∵AB ＝ 3 ＋4 ＝ 5，∴ AB 边上高 h ＝ 5 ＝4.
故 C 的轨迹是与直线 AB 距离等于 4 的两条平行线．
∵ k AB ＝ 4
，
3
的方程为 4 － 3 y ＋ 4＝0，可设轨迹方程为 4 x
－ 3 ＋ ＝ 0.
AB
x y c
由
| c －4|
＝ 4 得 c ＝ 24 或 c ＝－ 16，
5
故动点 C 的轨迹方程为： 4x － 3y － 16＝ 0 或 4x － 3y ＋ 24＝ 0.
11．分析：
(1) 设 P ( x ， y ) ，
→ → 2 2
由 AP ·BP ＝ ( x ＋2， y ) ·(x － 2， y ) ＝x － 4＋ y ＝－ 3，
得 P 点轨迹 ( 即曲线 C ) 的方程为 x 2＋y 2 ＝1，即曲线 C 是圆．
(2) 可设直线 l 方程为 y ＝ kx － 2，其一般方 程为： kx － y － 2＝0，
由直线
l 与曲线 C 有交点，得 |0 －0－ 2|
k ≤－ 3或 k ≥ 3，
≤1，解得
k 2＋ 1
即所求 k 的取值范围是 ( －∞，－
3] ∪[ 3，＋∞ ) ．
B 级
1． A 设
( ， y ) ，则 →
＝ ( x ， y )，
→
＝(3,1) ， → ＝( － 1,3) ，
C x
OC OA
OB
→→→
x ＝ 3λ 1－ λ2
∵ OC ＝λ1OA ＋ λ2OB ，∴
，又 λ1＋ λ 2＝ 1，
y ＝λ1＋ 3λ2
∴ x ＋2 y － 5＝ 0，表示一条直线．
2．分析：
设 ( ， y ) 为曲线
C 上随意一点，
A x
1
2
2
则由 | AF | ·|AF | ＝a ，得
C ： x ＋ 1 2＋ y 2· x － 1
2
＋y 2＝ a 2，
把 (0,0) 代入方程可得 1＝ a 2，与 a ＞ 1 矛盾，故①不正确； 当 M ( x ， y ) 在曲线 C 上时，点 M 对于原点的对称点 M ′( － x ，－ y ) 也知足方程，故曲线
C 对于原点对称，故②正确；
1 S △ F 1PF 2＝ | PF 1|| PF 2|sin ∠ F 1PF 2
2
1
＝2a2sin 答案：
1
∠F1PF2≤2a2，故③正
确．②③
y2x2
3．分析：(1) 设椭圆的标准方程是a2＋b2＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个极点是A( 2 ，0) ，故b2＝2.
1π
1b2
依据题意得，∠ AFO＝6，sin∠ AFO＝a，即 a＝2b， a ＝8，
因此椭圆的标准方程是y2＋ x2＝1.
82
(2) 设P( x1，y1) ，Q( x2，y2) ，N( x，y) ，由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方
程为
y ＝ (－2) ．k x
直线 l 的方程与椭圆方程联立消去y 得：( k2＋ 4) x2－ 4k2x＋ 4k2－ 8＝ 0.
由＝16
k 4－ 4(
k
2＋ 4)(4
k
2－ 8)>0 ，得－ 2< <2.
k
依据根与系数的关系得
x1＋
x2
＝4k22，4k2－ 8
4＋k
x x
4＋k
又 | PM|·|NQ| ＝| PN| ·|MQ|，即 (2 －x1)( x2－x) ＝ ( x－x1)(2 －x2) ．
解得 x＝1，代入直线 l 的方程得 y＝－ k， y∈(－2,2)．因
此动点 N的轨迹方程为 x＝1，y∈(－2,2)．。