【初三数学】天津市九年级数学上(人教版)第22章二次函数测试卷(解析版)

人教版九（上）数学第二十二章二次函数培优测试卷（附答案）一．选择题
1．下列函数中，一定是二次函数的是（）
A．y＝﹣x2+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝2x+3 D．y＝
2．抛物线y＝4（x+3）2+12的顶点坐标是（）
A．（4，12）B．（3，12）C．（﹣3，12）D．（﹣3，﹣12）
3．关于抛物线y
1＝（2+x）2与y
2
＝（2﹣x）2的说法，不正确的是（）
A．y
1与y
2
的顶点关于y轴对称
B．y
1与y
2
的图象关于y轴对称
C．y
1向右平移4个单位可得到y
2
的图象
D．y
1绕原点旋转180°可得到y
2
的图象
4．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点是（﹣4，0），（6，0），则抛物线的对称轴是（）A．1 B．直线x＝1 C．2 D．直线x＝2
5．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．
C．D．
6．二次函数y＝x2+bx+c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数解析y ＝x2﹣2x+1，则b与c分别等于（）
A．2，﹣2 B．﹣8，14 C．﹣6，6 D．﹣8，18
7．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（）
A．1秒B．2秒C．4秒D．20秒
8．若函数y＝（a﹣3）x2﹣2ax+a﹣与x轴有交点，且关于x的不等式组
无解，则符合条件的整数a的和为（）
A．7 B．10 C．12 D．15
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③9a+c＞3b；④5a+2c＞0，其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．知：如图抛物线y＝ax2+bx+与y轴交于点A，与x轴交于点B、点C．连接AB，以AB为边向右作平行四边形ABDE，点E落在抛物线上，点D落在x轴上，若抛物线的对称轴恰好经过点D，且∠ABD＝60°，则这条抛物线的解析式为（）
A．y＝﹣x2x
B．y＝﹣x2x
C．y＝﹣x2x
D．y＝﹣x2﹣x
E．故函数的表达式为：y＝﹣x2x
二．填空题（共6小题）
11．抛物线y＝x2﹣2x，当y随x的增大而减小时x的取值范围为．
12．某种火箭背向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公式h＝﹣5t2+160t+10表示．经过s，火箭到达它的最高点．
13．已知点P（x，y）在抛物线y＝（x﹣1）2+2的图象上，若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是．
14．若二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0
的解一个为x
1＝3，则方程x2﹣2x+k＝0另一个解x
2
＝．
15．开口向下的抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，当抛物线与x轴围成的封闭区域（不包含边界）内，仅有4个整数点（整数点就是横、纵坐标均为整数的点）时，a的取值范围是．
16．将二次函数y＝2x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是．
三．解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，m取满足条件的最小的整数
（1）求此二次函数的解析式
（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，求n的值
18．若抛物线上y
＝ax2+bx+c，它与y轴交于C（0，4），与x轴交于A（﹣1，0）、B（k，0），
1
P是抛物线上B、C之间的一点．
（1）当k＝4时，求抛物线的方程，并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标；
（2）当a＝1时，求抛物线的方程及B的坐标，并求当△BPC面积最大时P的横坐标；
（3）根据（1）、（2）推断P的横坐标与B的横坐标有何关系？
19．已知二次函数y＝x2﹣2ax+4a+2．
（1）若该函数与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该函数与x轴的另一交点坐标；
（2）不论a取何实数，该函数总经过一个定点，
①求出这个定点坐标；
②证明这个定点就是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．
20．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A．D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
21．血橙以果肉酷似鲜血的颜色而得名，果实一般在1月下旬成熟，由于果农在生产实践中积累了丰富的经验，采取了留树保鲜技术措施，将鲜果供应期拉长到了5月初．重庆市万州区孙家村晚熟柑橘以血橙为主，主要销售市场是成都、重庆市区、万州城区，据以往经验，孙家村上半年1﹣5月血橙的售价y（元/千克）与月份x之间满足一次函数关系y＝x+2.5（1≤x≤5，且x是整数）．其销售量P（千克）与月份x之间的函数关系如图．（1）请你求出月销售量P（千克）与月份x之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（2）血橙在上半年1﹣5月的哪个月出售，可使销售金额W（元）最大？最大金额是多少（3）由于气候适宜以及留树保鲜技术的提高，预计该产区今年5月将收获60000千克的血橙，由于人力、物力等各方面成本的增加，孙家村决定，将5月的销售价格提高a%，当以提高后的价格销售50000千克血橙后，由于保存技术的限制，剩下的血橙制成一种新型研发出的果肉饼进行销售，每千克的血橙可生产0.8千克果肉饼，果肉饼的售价格
在血橙提高后的价格的基础上将再提高a%，最后该产区将这批果肉饼全部售完后，血橙和果肉饼的销售总金额达到了480000元．求a的值．
22．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0），分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点D．
（1）求点D的坐标．
（2）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣．
①求该抛物线的解析式；
②连结CD．问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所
有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
23．如图1．已知直线l ：y ＝﹣1和抛物线L ：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），抛物线L 的顶点为原点，且经过点A （2，）直线y ＝kx +1与y 轴交于点F ，与抛线L 交于点B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），且x 1＜x 2．
（1）求抛物线L 的解析式；
（2）求证：无论k 为何值，直线l 总是与以BC 为直径的圆相切；
（3）①如图2，点P 是抛物线L 上的一个动点，过点P 作PM ⊥l 于点M ，试判断PM 与PF 之间的数量关系，并说明理由；
②将抛物线L 和点F 都向右平移2个单位后，得到抛物线L 1和点F 1，Q 是抛物线L 1上的一动点，且点Q 在L 1的对称轴的右侧，过点Q 作QN ⊥l 于点N ，连接QA ．求|QA ﹣QN |的最大值，并直接写出此时点Q 的坐标．
参考答案
一．选择题
1．解：A 、是二次函数，故本选项符合题意；
B 、当a ＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C 、不是二次函数，故本选项不符合题意；
D 、不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A ．
2．解：∵抛物线y ＝4（x +3）2+12，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣3，12），
故选：C ．
3．解：∵抛物线y 1＝（2+x ）2＝（x +2）2，
∴抛物线y 1的开口向上，顶点为（﹣2，0），对称轴为直线x ＝﹣2； 抛物线y 2＝（2﹣x ）2＝（x ﹣2）2，
∴抛物线y 2的开口向上，顶点为（2，0），对称轴为直线x ＝2；
∴y 1与y 2的顶点关于y 轴对称，
∴它们的对称轴相同，y 1与y 2的图象关于y 轴对称，y 1向右平移4个单位可得到y 2的图象，
∵y 1绕原点旋转180°得到的抛物线为y ＝﹣（x +2）2，与y 2开口方向不同， ∴关于抛物线y 1＝（2+x ）2与y 2＝（2﹣x ）2的说法，不正确的是D ， 故选：D ．
4．解：∵抛物线与x 轴的交点为（﹣4，0），（6，0），
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线x ＝
＝1，即x ＝1．
故选：B ．
5．解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），
∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，排除B 、C ；
当a ＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D ； 当a ＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A 正确；
故选：A．
6．解：∵得到函数解析y＝x2﹣2x+1
∴y＝（x﹣1）2
∴将新二次函数y＝（x﹣1）2向下平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的解析式为y＝（x﹣1﹣2）2﹣3，即y＝x2﹣6x+6
又∵y＝x2+bx+c
∴b＝﹣6，c＝6
故选：C．
7．解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5t2+20t中，
又∵﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，有最高点，
此时，t＝﹣＝2．
故选：B．
8．解：当a﹣3≠0且△＝4a2﹣4×（a﹣3）（a﹣）≥0，解得a＞且a≠3，当a﹣3＝0，函数为一次函数，它与x轴有一个交点，
所以a＞，
解两个不等式得，
因为不等式组无解，
所以a≤5，
所以a的范围为＜a≤5，
所以满足条件的a的值为0，1，2，3，4，5
所以所有满足条件的整数a之和为0+1+2+3+4+5＝15．
故选：D．
9．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a＞0，
∵抛物线与x轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵b＝﹣4a，
∴4a+b＝0，所以②正确；
∵x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，所以③错误；
把（﹣1，0）代入解析式得a﹣b+c＝0，
而b＝﹣4a，
∴c＝﹣5a，
∴5a+2c＝5a﹣10a＝﹣5a＞0，所以④正确．
故选：B．
10．解：如下图所示，OA＝，∠ABD＝60°，
则OB＝＝1，过点B（﹣1，0），
∵四边形ABDE平行四边形，
则∠AED＝∠ABD＝60°，OH＝OA＝，
同理可得：HE＝1＝AH，过点E（2，），
将点B、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣x2x
故选：B．
二．填空题
11．解：∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴当y随x的增大而减小时x的取值范围为x＜1，
故答案为：x＜1．
12．解：函数的对称轴为：t＝﹣＝﹣＝16，
即经过16s，火箭到达它的最高点，
故答案为16．
13．解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2，
∴该函数开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵点P（x，y）在抛物线y＝（x﹣1）2+2的图象上，﹣1＜x＜2，1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1，
∴当x＝1时，y取得最小值，此时y＝2，当x＝﹣1时，y取得最大值，此时y＝（﹣1﹣1）2+2＝6，
∴﹣1＜x＜2，则y的取值范围是2≤y≤6，
故答案为：2≤y≤6．
＝3，
14．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x
1
∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
＝﹣1．
∴方程x2﹣2x+k＝0另一个解x
2
故答案为﹣1．
15．解：∵y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4a）．
当x＝0时，y＝a（x+1）（x﹣3）＝﹣3a，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3a）．
则，
解得：﹣≤a＜﹣，
故答案为：﹣≤a＜﹣．
16．解：将抛物线y＝2x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝2x2+1．故答案为：y＝2x2+1．
三．解答题
17．解：（1）∵二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，∴关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣4＝0有两个不相等的实数根，
∴
解得：m＞﹣且m≠0．
∵m＞且m≠0，m取其内的最小整数，
∴m＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣3；
（2）∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
∵1＞0，∴当x≤时，y随x的增大而减小．
又∵n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，
∴n2﹣3n﹣3＝1﹣n，1﹣3﹣3＝﹣5，
解得：n＝1﹣．
18．解：（1）k＝4时，
由交点式得y＝a（x+1）（x﹣4），（0，4）代入得a＝﹣1，
∴y ＝﹣3x 2+3x +4，
则B （4，0），连OP ，
设P （m ，﹣m 2+3m +4），S △BCP ＝S △OPB +S △OPB ﹣S △OBC ＝
＝﹣2（m ﹣2）2+8m ＝2时，最大值为8，
∴P 的横坐标为2时有最大值．
（2）a ＝1时，c ＝4，
设y ＝x 2+bx +4，A （﹣1，0）代入得b ＝5，
∴y ＝x 2+5x +4．
令y ＝0求得B （﹣4，0），
则直线BC 方程为y ＝x +4，
过P 作PH 平行于y 轴交直线BC 于H ，
设P （n ，n 2+5n +4）、H （n ，n +4），
＝＝﹣2（n +2）2+8n ＝﹣2面积最大值为8，
此时P 的横坐标为﹣2．
（3）由（1）知，当面积最大时，P 的横坐标等于B 的横坐标的一半，
由（2）知，面积最大时，P 的横坐标等于B 的横坐标的一半，
故：可以推断，当面积最大时，P 的横坐标等于B 的横坐标的一半．
19．解：（1）（﹣1，0）代入得0＝1+2a +4a +2，
∴，
∴y ＝x 2+x ，
∴另一交点为（0，0）．
（2）①整理得y＝a（4﹣2x）+x2+2，
令x＝2代入y＝6，
故定点为（2，6），
②∵y＝x2﹣2ax+4a+2＝（x﹣a）2+（﹣a2+4a+2），
顶点为（a，﹣a2+4a+2），
而﹣a2+4a+2＝﹣（a﹣2）2+6，
当a＝2时，纵坐标有最大值6，
此时x＝2，y＝6，顶点（2，6），
故定点（2，6）是所有顶点中纵坐标最大的点．
20．解：（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），
则其表达式为：y＝a（x﹣8）2+8，
将点O（0，0）代入上式得：0＝64a+8，解得：a＝﹣，
故函数的表达式为：y＝﹣（x﹣8）2+8，（0≤x≤16）；
（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x＝7.5﹣3.5＝4，
当x＝4时，y＝6，即允许的最大高度为6米，
5.8＜6，故该车辆能通行；
（3）点A、D关于函数对称轴对称，则设AD＝2m，
则点A（8﹣m，y），则AB＝y＝﹣（x﹣8）2+8＝8﹣m2，
设：w＝AB+AD+DC＝2m+2AB＝﹣m2+2m+16，
∵﹣＜0，故w有最大值，
当m＝4时，w的最大值为20，
故AB、AD、DC的长度之和的最大值是20．
21．解：（1）设P＝kx+b，将（1，70000），（5，50000）代入得：
，解得
∴P＝﹣5000x+75000．
（2）∵上半年1﹣5月血橙的售价y（元/千克）与月份x之间满足一次函数关系y＝x+2.5（1≤x≤5，且x是整数）
∴W＝Py
＝（﹣5000x+75000）（x+2.5）
＝﹣2500x2+25000x+187500
∴当x＝﹣＝5时，销售金额W（元）最大，最大金额是250000元．
（3）设a%＝t，5月份的销售价格y＝×5+2.5＝5
由题意得：5（1+t）×50000+（60000﹣50000）×0.8×5（1+t）（1+）＝480000 ∴25（1+t）+4（1+t）（1+t）＝48
∴化简得：6t2+35t﹣19＝0
∴（2t﹣1）（3t+19）＝0
∴t＝50%或t＝﹣（舍）
故a＝50．
22．解：（1）过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，
∵∠DBF+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠DBF＝∠BAO，
又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，
在△AOB和△BFD中，
，
∴△AOB≌△BFD（AAS）
∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，
∴D的坐标是（3，1），
（2）①根据题意，得a＝﹣，c＝0，且a×32+b×3+c＝1，解得：b＝，
∴抛物线的解析式为y＝．
②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，
∴C（，1），
∵C、D两点的纵坐标都为1，
∴CD∥x轴，
∴∠BCD＝∠ABO，
∴∠BAO与∠BCD互余，
要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB＝∠BAO，
设P的坐标为（x，），
（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，
则tan∠POB＝tan∠BAO，即，
∴，
解得：x
＝0（舍去），，
1
∴，
∴点P的坐标为（）．
（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3，
则tan∠POB＝tan∠BAO，即，
∴，
＝0（舍去），，
解得：x
1
∴，
∴P点坐标为（），
综上所述，在抛物线上是否存在点P（）或，使得∠POB与∠BCD 互余．
（3）如图4，∵D（3，1），E（1，1），
抛物线y＝ax2+bx+c过点E、D，代入可得
，解得，
∴y＝ax2﹣4ax+3a+1．
分两种情况：
①当抛物线y＝ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．
（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，抛物线
y＝ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，∴3a+1＜0，解得a＜﹣；
②当抛物线y＝ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，
（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；
（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个．
根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB＝∠BAO，
∴，
设Q（2a，﹣a）在直线OQ上，
设直线OQ的解析式为y＝kx，
∴k＝﹣，
则直线OQ的解析式为y＝﹣x，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，∴方程ax2﹣4ax+3a+1＝﹣x有两个不相等的实数根，
∴，
整理得：，
解得：或（舍去），
综上所示，a的取值范围为a＜﹣或．
23．解：（1）抛物线的表达式为：y＝ax2，
将点A坐标代入上式得：＝a（2）2，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2；
（2）将抛物线的表达式与直线y＝kx+1联立并整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，
则x
1+x
2
＝4k，x
1
x
2
＝﹣4，
则y
1+y
2
＝k（x
1
+x
2
）+2＝4k2+2，
则x
2﹣x
1
＝＝4，
设直线BC的倾斜角为α，则tanα＝k，则cosα＝，
则BC＝＝4（k2+1），BC＝2k2+2，
设BC的中点为M（2k，2k2+1），则点M到直线l的距离为：2k2+2，
故直线l总是与以BC为直径的圆相切；
（3）①设点P（m， m2）、点M（m，﹣1），点F（0，1），
则PF2＝m2+（m2﹣1）2＝（m2+4）2，PM＝m2+1＝（m2+4）＝PF，即：PM与PF之间的数量关系为：PM＝PF；
②抛物线新抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2…①，
如图2，设平移后点F的对应点为F′（2，1），
由①知：PM＝PF，同理QN＝QF′，
故当A、F′、Q三点共线时，|QA﹣QN|有最大值，
|QA﹣QN|的最大值＝|QA﹣QF′|＝AF′，
则AF′＝＝；
将点A、F′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
故直线AF′的表达式为：y＝x﹣…②，
联立①②并解得：x＝1或6（舍去1），
故点Q（6，4）；
故：|QA﹣QN|的最大值为，此时点Q的坐标为（6，4）．
人教版九年级数学上册第22章二次函数单元测试卷含答案
一、选择题（共8题；共24分）
1.二次函数y=x2-2x+3顶点坐标是（）
A. （-1，-2）
B. （1，2）
C. （-1，2）
D. （0，2）
2.已知抛物线y=(x−4)2-3与y轴交点的坐标是（）
A. （0，3）
B. （0，-3）
C. （0，）
D. （0，-）
3.二次函数y= -的图象如何移动就得到-的图象（）
A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位
B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位
D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位
4.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为（）
A. y=2(x-1)2-3
B. y=2(x-1)2+3
C. y=2(x+1)2-3
D. y=2(x+1)2+3
5.已知二次函数的图象如下图所示，则四个代数式，，
，中，值为正数的有（）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
6.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：①2a ﹣b=0；②（a+c）2＜b2；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣2）2﹣2．其中正确的是（）
A. ①③
B. ②③
C. ②④
D. ③④
7.已知一次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；
②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.如图，已知顶点为（-3，-6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，-4），则下列结论中错误的
是（）
A. b2＞4ac
B. ax2+bx+c≥-6
C. 若点（-2，m），（-5，n）在抛物线上，则m＞n
D. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1
二、填空题（共10题；共30分）
9.若抛物线的开口向上，则的取值范围是________．
10.抛物线的顶点坐标是________．
11.若A（，），B（，），C（1，）为二次函数y= +4x﹣5的图
象上的三点，则、、的大小关系是________．
12.抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为：________．
13.把二次函数y=﹣2x2+4x+3化成y=a（x﹣m）2+k的形式是________．
14.如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________．
15.将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为________
16.二次函数y=x2+（2m+1）x+（m2﹣1）有最小值﹣2，则m=________．
17.若二次函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是________．
18.抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件：（1）4a﹣b=0；（2）a﹣b+c＞0；（3）与x轴有两个交点，且两交点的距离小于2．以下有四个结论：①a＜0；②c＞0；③ac= b2；④ ＜
a＜．则其中正确结论的序号是________．
三、解答题（共9题；共66分）
19.如图，一块矩形草地的长为100m，宽为80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，这时草坪的面积为y（m2）．求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．
20.已知抛物线C1：y1=2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点．
（1）求k的值；
（2）怎样平移抛物线C1就可以得到抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k？请写出具体的平移方法；（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k上，且n＜t，直接写出m的取值范围．
21.直线l：y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m与x轴的
另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图像指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．
22.如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），B两点，交y轴于点D．
（1）求点B、点D的坐标，
（2）判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．
23.某产品每件成本28元，在试销阶段产品的日销售量y（件）与每件产品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示．为维持市场物价平衡，最高售价不得高出83元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
24.已知，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于点A（-3，0）和B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点D为CB的中点，将线段DB绕点D旋转，点B的对应点为点G，当点G 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点G的坐标；
（3）如图2，若点D为直线BC或直线AC上的一点，E为x轴上一动点，抛物线
对称轴上是否存在点F，使以B，D，F，E为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
25.如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方），若FG=2 DQ，求点F的坐标．
26.甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．
27.已知如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，M是AC的中点，点N在AB上（不同于
A、B），将△ANM绕点M逆时针旋转90°得△A1PM
（1）画出△A1PM
（2）设AN=x，四边形NMCP的面积为y，直接写出y关于x的函数关系式，并求y的最大或最小值．
参考答案
一、单选题
1.B
2.C
3.C
4.C
5.A
6.D
7.C
8.C
二、填空题
9.a＞2 10.（0，-1）11.＜＜12.y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0）
13.y=﹣2（x﹣1）2+5 14.直线x=2 15.16.17.1 18.①
三、解答题
19.解：设中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，草坪的面积为y（m2），根据题意得出：y=100﹣80﹣80x﹣100x+x2=x2﹣180x+8000（0＜x＜80）
20.解：（1）根据题意得：△=16﹣8k=0，解得：k=2；
（2）C1是：y1=2x2﹣4x+2=2（x﹣1）2，抛物线C2是：y2=2（x+1）2﹣8．
则平移抛物线C1就可以得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；
（3）当x=1时，y2=2（x+1）2﹣8=0，即t=0．
在y2=2（x+1）2﹣8中，令y=0，解得：x=1或﹣3．
则当n＜t时，即2（x+1）2﹣8＜0时，m的范围是﹣3＜m＜1．
21.解：∵y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，∴x=0时，y=6，
∴A（0，6），
y=0时，x=8，
∴B（8，0），
∵过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），BC=5，
∴C（3，0）．
设抛物线m的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8），
将A（0，6）代入，得24a=6，解得a= ，
∴抛物线m的解析式为y= （x﹣3）（x﹣8），即y= x2﹣x+6；
函数图像如下：
当抛物线m的函数值大于0时，x的取值范围是x＜3或x＞8．
22.解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，
∵与x轴交于点A（3，0），
∴0=4a+4，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，
令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，令x=0，可得y=3
∴B点坐标为（﹣1，0），D点坐标为（0，3）；
（2）∵A（3，0），D（0，3），C（1，4），
∴AD==3，CD==，AC==2，∴AD2+CD2=（3）2+（）2=20=（2）2=AC2，
∴△ACD是以AC为斜边的直角三角形，
∴S△ACD=AD•CD=×3×=3．
23.解：（1）当30＜x≤40时，设此段的函数解析式为：y=kx+b，
解得，k=﹣3，b=156
∴当30＜x≤40时，函数的解析式为：y=﹣3x+156；
当40＜x≤80时，设此段函数的解析式为：y=mx+n，
解得，m=，n=56，
∴当40＜x≤80时，函数的解析式为：y=；
当80＜x≤83时，y=16；
由上可得，y与x之间的函数关系式是：y=；
（2）当30＜x≤40时，
w=（x﹣28）y
=（x﹣28）（﹣3x+156）
=﹣3x2+240x﹣4368
=﹣3（x﹣40）2+432
∴当x=40时取得最大值，最大值为w=432元；
当40＜x≤80时，
w=（x﹣28）y
=（x﹣28）（）
=
=，
∴当x=70时，取得最大值，最大值为w=882元；
当80＜x≤83时，w=（x﹣28）×16
∴当x=83时，取得最大值，最大值为w=880元；
由上可得，当x=70时，每日点的销售利润最大，最大为882元，
即要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为70元，此时每日销售利润是882元．
24.（1）由A（-3，0）和B（2，0），得：
即= ax²+bx+4
∴
∴
∴.
（2）易得C（0,4），则BC= .
由可对称轴为x= ,
则可设点G的坐标为（，，
∵点D是BC的中点
∴点D的坐标为（，，
由旋转可得，DG=DB
∴……………
∴………
∴点G的坐标为（，或（，
（3）①当BE为对角线时，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以此时D即为对称轴与AC 的交点或对称轴对BC的交点，F为点D关于x轴的对称点，
设，
∵C（，，A（，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴D（，，
∴F（，；
易得
∴当时，y=5，
∴D（，，
∴F（，；
②当BE为菱形的边时，有DF∥BE
I)当点D在直线BC上时
设D（，，则点F（，
∵四边形BDFE是菱形
∴FD=DB
根据勾股定理得，（
整理得：=0，
解得：，
∴F（，或（，
II）当点D在直线AC上时
设D（，
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元练习题含答案
一、选择题
1.一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），
若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第3.3s
B．第4.3s
C．第5.2s
D．第4.6s
2.二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
下列说法正确的是（）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞-3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是-2
D．抛物线的对称轴是x=-
3.已知矩形的周长为36m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为x m，圆柱的侧面积为y m2，则y与x的函数关系式为（）
A．y=-2πx2+18πx
B．y=2πx2-18πx
C．y=-2πx2+36πx
D．y=2πx2-36πx
4.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）
A．60m2
B．63m2
C．64m2
D．66m2
5.已知抛物线y=ax2+bx+c过（1，-1）、（2，-4）和（0，4）三点，那么a、b、c的值分别是（）
A．a=-1，b=-6，c=4
B．a=1，b=-6，c=-4
C．a=-1，b=-6，c=-4
D．a=1，b=-6，c=4
6.二次函数y=2x2-3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（）A．抛物线开口向下
B．抛物线经过点（2，3）
C．抛物线的对称轴是直线x=1
D．抛物线与x轴有两个交点
7.抛物线y=-2x2的对称轴是（）
A．直线x=
B．直线x=-
C．直线x=0
D．直线y=0
8.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、D，与y轴交于点C，四边形ABCD是平行四边形，则点B的坐标是（）
A．（-4，-3）
B．（-3，-3）
C．（-3，-4）
D．（-4，-4）
二、填空题
9.在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数y1=a1（x+h1）2+k1与y2=a2（x+h2）2+k2的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数．如二次函数y=（x+1）2-1与y=（x-1）2+3互为梦函数，写出二次函数y=2（x+3）2+2的其中一个梦函数_____________________．
10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象可知：当k__________时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．
11.已知函数y=（m-2）x2-3x+1，当________时，该函数是二次函数；
当_______时，该函数是一次函数．
12.抛物线y=2x2-4x-6与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．有下列说法：①抛物线的对称轴是x=1；②A、B两点之间的距离是4；③△ABC的面积是24；④当x＜0时，y随x的增大而减小．其中，说法正确的是_________________．（只需填写序号）
13.如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD 是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________________．
14.观察下表：
则一元二次方程x2-2x-2=0在精确到0.1时一个近似根是______，利用抛物线的对称性，可推知该方程的另一个近似根是_______．
15.如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点和点（-2，0），则2a-3b______0．（＞、＜或=）
16.如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1=-x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S=_____________．
三、解答题
17.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x-6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．
（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式；
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？
18.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
19.已知函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），当a，b，c满足什么条件时，（1）它是二次函数？（2）它是一次函数？（3）它是正比例函数？
20.将抛物线y=mx2+n向下平移6个单位长度，得到抛物线y=-x2+3，设原抛物线的顶点为P，且原抛物线与x轴相交于点A、B，求△PAB的面积．
21.已知二次函数y=-x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
第二十二章《二次函数》单元练习题
答案解析
1.【答案】D
【解析】∵炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴方程为x=4.5．∵4.6s 最接近4.5s，∴当4.6s时，炮弹的高度最高．
2.【答案】D
【解析】将点（-4，0）、（-1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c中，得，解得，
∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；B、-=-，当x≥-时，y随x的增大而增大，B不正确；C、y=x2+5x+4=(x+)2-，二次函数的最小值是-，C不正确；D、-=-，抛物线的对称轴是x=-，D正确．
3.【答案】C
【解析】根据题意，矩形的一条边长为x m，
则另一边长为（36-2x）÷2=18-x（m），则圆柱体的侧面积y=2πx（18-x）=-2πx2+36πx．4.【答案】C
【解析】设BC=x m，
则AB=（16-x）m，矩形ABCD面积为y m2，根据题意得y=（16-x）x=-x2+16x=-（x-8）2+64，当x=8m时，y max=64m2，则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．
5.【答案】D
【解析】根据题意，得，
解得．
6.【答案】D
【解析】A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项错误；B、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以B选项错误；C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；D、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确．
7.【答案】C
【解析】对称轴为y轴，即直线x=0．
8.【答案】A
【解析】令y=0，可得x=3或x=-1，∴A点坐标为（-1，0）；D点坐标为（3，0）；令x=0，则y=-3，∴C点坐标为（0，-3），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵AD=BC=4，∴B点的坐标为（-4，-3）．
9.【答案】y=2（x-3）2+2（答案为不唯一）．
【解析】由一对梦函数的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，
可|a1|=a2，h1与h2互为相反数,
二次函数y=2（x+3）2+2的一个梦函数是y=2（x-3）2+2.
10.【答案】＜2
【解析】由二次函数和一元二次方程的关系可知y的最大值即为k的最大值，因此当k＜2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．
11.【答案】m≠2；m=2
【解析】y=（m-2）x2-3x+1，当m≠2时，该函数是二次函数；
当m=2时，该函数是一次函数．
12.【答案】①②④
【解析】①抛物线y=2x2-4x-6的对称轴是直线x=-=1，故①正确；②2x2-4x-6=0，解得x=-1或3，所以AB=4；故②正确；③∵AB=4，C（0，-6），∴S△ABC=×4×6=12，故③错误；
④∵抛物线y=2x2-4x-6的开口向上，对称轴是直线x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大；∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故④正确，所以正确的。