近年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数学案理(2021

2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数学案理
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3．1 任意角和弧度制及任意角的三角函数
[知识梳理]
1．任意角的概念
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
（2）角的分类
（3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝．
(4)相关结论
①象限角
②轴线角
2．弧度制的定义和公式
(1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
(2)公式
3．任意角的三角函数
［诊断自测]
1．概念思辨
（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．（）
(2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．（)
（3)α∈错误!，则tanα〉α〉sinα。

（)
（4）α为第一象限角，则sinα＋cosα〉1。

( )
答案(1)×（2）√（3)√（4）√
2．教材衍化
(1)(必修A4P9T5)直径为4的圆中，36°的圆心角所对的弧长是( )
A。

错误! B。

错误! C。

错误! D。

错误!
答案B
解析∵36°＝36×错误! rad＝错误! rad,∴36°的圆心角所对的弧长为l＝错误!×2＝错误!。

故选B。

(2）(必修A4P 21T 9）设θ是第三象限角，且错误!＝－cos 错误!，则错误!是( ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
答案 B
解析 由θ在第三象限,所以2k π＋π〈θ〈2k π＋错误!(k ∈Z ），所以k π＋π
2〈错误!〈k π＋错误!(k ∈Z )．又cos 错误!≤0，故选B 。

3．小题热身
（1）(2017·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y ＝－x 上，且cos α＜0,则tan α＝________。

答案 －1
解析 如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P （x ，y ），则y ＝－x ,由三角函数的定义得tan α＝错误!＝错误!＝－1.
（2)（2018·黄浦模拟)如图，已知扇形OAB 和OA 1B 1，A 1为OA 的中点,若扇形OA 1B 1的面积为1,则扇形OAB 的面积为________．
答案 4
解析 设∠AOB ＝α，则S 扇形OA 1B 1＝错误!OA 错误!·α＝1,
S 扇形OAB ＝错误!OA 2·α，OA ＝2OA 1，
∴S 扇形OAB ＝错误!·（2OA 1）2
·α＝4。

题型1 象限角及终边相同的角
错误!设集合M＝错误!，N＝错误!，判断两集合的关系（）
A．M＝N B．M N
C．N M D．M∩N＝∅
赋值法．
答案B
错误!已知角α＝2kπ－错误!（k∈Z)，若角θ与角α终边相同，则y＝错误!＋错误!＋错误!的值为________．
找α的终边，利用终边确定正负，再求值．
答案－1
解析由α＝2kπ－π
5
(k∈Z)及终边相同角的概念知，α的终边在第四
象限，又θ与α的终边相同,所以角θ是第四象限角，所以sinθ〈0，cosθ>0，tanθ<0.因此，y＝－1＋1－1＝－1。

方法技巧
象限角的两种判断方法
1．图象法:在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
2．转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．见典例2.
提醒:注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．
冲关针对训练
1．（2017·潍坊模拟)集合错误!kπ＋错误!≤α≤kπ＋错误!，k∈Z｝中的角所表示的范围(阴影部分)是（）
答案C
解析当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋错误!≤α≤2nπ＋错误!，此时α表示的范围与错误!≤α≤错误!表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋错误!≤α≤2nπ＋π＋错误!，此时α表示的范围与π＋错误!≤α≤π＋错误!表示的范围一样．故选C。

2．若sin错误!＝错误!,且sinθ〈0，则θ的终边所在象限是（) A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案C
解析∵sinθ〈0，∴2sin错误!cos错误!〈0.
又∵sin错误!＝错误!，∴cos错误!<0.
故θ
2
是第二象限角，且2kπ＋错误!〈错误!<2kπ＋错误!π（k∈Z）．
∴4kπ＋π〈θ<4kπ＋错误!π，∴θ的终边在第三象限．故选C。

题型2 弧度制及扇形面积公式的应用
错误!已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l。

（1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
利用方程组法、二次函数求最值．解（1)α＝60°＝错误! rad，
∴l＝α·R＝错误!×10＝错误! (cm)．
(2)由题意得错误!
解得错误!(舍去），错误!故扇形圆心角为错误!。

(3）由已知，得l＋2R＝20，所以S＝错误!lR＝错误!(20－2R）R＝10R－R2＝－（R－5）2＋25，所以当R＝5时,S取得最大值25，此时l＝10,α＝2。

[条件探究］将典例中的第(3）问推广为“若扇形的周长是一定值C(C>0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？"
解扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，
∴R＝错误!，
∴S扇＝错误!α·R2＝错误!α·错误!2＝错误!·错误!＝错误!·错误!≤C2。

16
当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值错误!.
方法技巧
应用弧度制解决问题的方法
1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．见典例（1)．
2．求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．见典例（3)．
3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
提醒：弧度制下l＝|α|·r，S＝错误!lr，此时α为弧度．在角度制下,弧长l＝错误!，扇形面积S＝错误!，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．冲关针对训练
(2018·大连模拟)一个半径为R的扇形，它的周长为4R,则这个扇形所含弓形的面积是（)
A.错误!
B.错误!R2sin1·cos1
C。

错误!R2（2－sin1·cos1) D．R2(1－sin1·cos1）
答案D
解析设圆心角为θ，由题知2R＋R·θ＝4R，得θ＝2，
所以S弓＝S扇－S三角形＝错误!×2R·R－错误!R2·sin2＝R2－错误!R2·sin2＝R2·错误!＝R2(1－sin1·cos1)．故选D.
题型3任意角三角函数的定义及应用
角度1 利用三角函数定义求值
错误!已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α终边经过点P(－3，y），且sinα＝错误!y（y≠0），则判断角α所在的象限，并求cosα和tanα的值．
定义法．
解依题意，P到原点O的距离为
|PO|＝－32＋y2，∴sinα＝错误!＝错误!＝错误!y.
∵y≠0，∴9＋3y2＝16,∴y2＝错误!，∴y＝±错误!.
∴点P在第二或第三象限．
当P在第二象限时,
y＝错误!，cosα＝错误!＝－错误!，tanα＝－错误!。

当P在第三象限时，
y＝－错误!,cosα＝错误!＝－错误!，tanα＝错误!.
角度2 利用三角函数线比较大小，解不等式
错误!sin1,cos1,tan1的大小关系是( )
A．sin1>cos1〉tan1 B．sin1〉tan1>cos1
C．tan1>sin1〉cos1 D．tan1>cos1>sin1
单位圆法．
答案C
解析作单位圆，作出锐角1弧度的正弦线BP，余弦线OB，正切线AT，可得tan1>sin1>cos1，故选C.
方法技巧
三角函数定义问题的常见类型及解题策略
1．已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
2．利用单位圆解三角不等式的步骤
（1)确定区域的边界（注意边界的虚实)；
(2)确定区域；
（3）写出解集．
3．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值（sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．提醒:若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同）．
冲关针对训练
1．设错误!〈x〈错误!，a＝sin x,b＝cos x，c＝tan x，则（)
A．a〈b<c B．c〈b〈a C．b<c〈a D．b<a〈c
答案B
解析∵错误!<x〈错误!，
∴错误!〈sin x<1，－错误!<cos x〈0，tan x<－1。

∴c〈b〈a.故选B。

2．(2017·兴庆区期中）已知角α的终边经过点P(x,－错误!)（x>0）,且cosα＝错误!x，求sinα＋错误!的值．
解角α的终边经过点P(x，－错误!)（x〉0），
∵r＝错误!，∵cosα＝错误!＝错误!x，可得x＝错误!.则r＝2错误!。

sinα＝错误!＝－错误!＝－错误!,tanα＝错误!＝－错误!＝－错误!。

那么sinα＋错误!＝－错误!－错误!＝－错误!。

1．（2017·商丘期末）已知点P（－错误!，y)为角β的终边上的一点，且sinβ＝错误!，则y的值为（)
A．±1
2
B。

错误! C．－错误! D．±2
答案B
解析由题意可得：|OP｜＝错误!，所以sinβ＝错误!＝错误!，所以y＝±错误!，又因为sinβ＝错误!，所以y>0，所以y＝错误!。

故选B.
2．(2018·东莞月考)角β的终边上有一点P（－m,m)，其中m≠0，则sinβ＋cosβ的值为（）
A. 2 B．－错误! C．0 D.错误!或－错误!
答案C
解析角β的终边上有一点P(－m，m），其中m≠0，
∴r＝｜OP|＝错误!｜m｜，
当m>0时，cosβ＝错误!＝－错误!，
sinβ＝错误!＝错误!，∴sinβ＋cosβ＝0；
当m<0时,cosβ＝错误!＝错误!,sinβ＝错误!＝－错误!,
∴sinβ＋cosβ＝0.
综上，sinβ＋cosβ的值为0.故选C。

3．（2017·连云港质检）已知角α的终边上一点的坐标为错误!，则角α的最小正值为( )
A。

错误! B。

错误! C。

错误! D。

错误!
答案D
解析∵错误!＝错误!，∴角α为第四象限角，且sinα＝－错误!，cosα＝错误!.∴角α的最小正值为错误!。

故选D。

4．（2017·河南八市联考）已知角α的顶点在原点,始边与x轴非负半轴重合，点P（－4m，3m)(m〉0）是角α终边上的一点，则2sinα＋cosα＝________。

答案错误!
解析∵|OP｜＝错误!＝5|m｜＝5m（m>0)，
∴sinα＝错误!＝错误!，cosα＝错误!＝－错误!,
∴2sinα＋cosα＝2×错误!－错误!＝错误!.
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一、选择题
1．给出下列四个命题：
①－错误!是第二象限角；②错误!是第三象限角；③－400°是第四象限角;
④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为（)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案C
解析①中－错误!是第三象限角,故①错．②中错误!＝π＋错误!,从而错误!是第三象限角，故②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．故选C.
2．sin2·cos3·tan4的值（）
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
答案A
解析∵错误!〈2〈3〈π<4〈错误!，∴sin2>0,cos3<0，tan4>0。

∴sin2·cos3·tan4〈0，故选A。

3．已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
答案C
解析设此扇形的半径为r，弧长是l，则错误!解得错误!或错误!从而α＝错误!＝错误!＝4或α＝错误!＝错误!＝1.故选C.
4．若错误!〈θ〈错误!,则下列不等式成立的是( )
A．sinθ>cosθ〉tanθ B．cosθ>tanθ〉sinθ
C．sinθ〉tanθ〉cosθ D．tanθ〉sinθ〉cosθ
答案D
解析∵错误!〈θ<错误!,∴tanθ>1，sinθ－cosθ＝错误!sin错误!。

∵错误!〈θ<错误!，∴0〈θ－错误!〈错误!，∴sin错误!〉0，∴sinθ>cosθ。

故选D。

5．在△ABC中,若sin A·cos B·tan C〈0,则△ABC的形状是( ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
答案B
解析∵△ABC中每个角都在(0，π）内，∴sin A〉0。

∵sin A·cos B·tan C<0，∴cos B·tan C〈0。

若B，C同为锐角，则cos B·tan C〉0。

∴B，C中必定有一个钝角．
∴△ABC是钝角三角形．故选B。

6．（2018·永昌期末）已知角α的终边经过点(3a，4a)（a≠0）,则sinα＋cosα的值为（)
A。

错误! B．－错误! C．±错误! D．±错误!
答案C
解析∵角α的终边经过点(3a，4a)(a≠0），当a〉0时,r＝5a,sinα＝错误!＝错误!，cosα＝错误!＝错误!,sinα＋cosα＝错误!；
当a<0时,r＝|5a|＝－5a，sinα＝错误!＝－错误!，cosα＝错误!＝－错误!,sinα＋cosα＝－错误!。

综上可得，sinα＋cosα＝±7
5。

故选C。

7．已知sinα>sinβ,那么下列命题成立的是（)
A．若α,β是第一象限的角，则cosα>cosβ
B．若α，β是第二象限的角，则tanα〉tanβ
C．若α，β是第三象限的角,则cosα〉cosβ
D．若α，β是第四象限的角,则tanα〉tanβ
答案D
解析由三角函数线可知,选D。

8．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（)
A．2 B．sin2 C.错误! D．2sin1
答案C
解析如图,∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交弧AB 于D。

则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝错误!AB＝1，
在Rt△AOC中,AO＝
AC
sin∠AOC
＝错误!，
即r＝错误!,从而弧AB的长为l＝｜α|·r＝错误!.故选C.
9．若α是第三象限角,则下列各式中不成立的是( ）
A．sinα＋cosα<0 B．tanα－sinα〈0
C．cosα－tanα<0 D．tanαsinα<0
答案B
解析∵α是第三象限角,∴sinα<0,cosα〈0，tanα〉0，则可排除A,C,D。

故选B。

10．(2018·江西模拟)已知角α的终边经过点（错误!，错误!)，若α＝错误!，则m的值为( ）
A．27 B.错误! C．9 D。

错误!
答案B
解析角α的终边经过点（错误!，错误!)，若α＝错误!,则tan错误!＝tan错误!＝错误!＝错误!＝m－错误!，则m＝错误!。

故选B.
二、填空题
11．(2017·广州模拟）若角θ的终边经过点P(－错误!,m)(m≠0)且sinθ＝错误!m，则cosθ的值为________．
答案－错误!
解析点P（－错误!，m）是角θ终边上一点，由三角函数定义可知sinθ＝错误!。

又sinθ＝错误!m,
∴错误!＝错误!m.
又m≠0，∴m2＝5，∴cosθ＝错误!＝－错误!。

12．（2018·济南期末)已知错误!＝－错误!，且lg cosα有意义,则α所在象限为第________象限．
答案四
解析由错误!＝－错误!可知，sinα<0,
∴α是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上的角．
由lg cosα有意义可知cosα>0，
∴α是第一或第四象限角或终边在x轴的非负半轴上的角，综上可知角α是第四象限角．
13．若角α的终边在直线y＝－3x上,则10sinα＋错误!＝________.
答案0
解析设角α终边上任一点为P（k，－3k）（k≠0）,则r＝错误!＝错误!＝错误!|k｜。

当k>0时，r＝错误!k。

∴sinα＝错误!＝－错误!，错误!＝错误!＝错误!。

∴10sinα＋错误!＝－3错误!＋3错误!＝0。

当k〈0时，r＝－错误!k。

∴sinα＝错误!＝错误!,错误!＝错误!＝－错误!.
∴10sinα＋错误!＝3错误!－3错误!＝0.
综上,10sinα＋
3
cosα
＝0。

14．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0），圆在x轴上沿正方向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，错误!的坐标为________．
答案（2－sin2,1－cos2)
解析因为圆心由（0,1）平移到了（2，1），所以在此过程中P点所经过的弧长为2，其所对圆心角为2。

如图所示，过P点作x轴的垂线，垂足为A，圆心为C，与x轴相切于点
B,过C作PA的垂线，垂足为D,
则∠PCD＝2－错误!，|PD｜＝sin错误!＝－cos2，｜CD|＝cos错误!＝sin2,所以P点坐标为(2－sin2,1－cos2)，
即错误!的坐标为（2－sin2,1－cos2)．
三、解答题
15．已知扇形AOB的周长为8.
（1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小;
(2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB。

解设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得错误!解得错误!或错误!
∴α＝错误!＝错误!或α＝错误!＝6。

(2）∵2r＋l＝8，
∴S扇＝错误!lr＝错误!r（8－2r)＝r（4－r）
＝－(r－2）2＋4≤4,
当且仅当r＝2,即α＝错误!＝2时,扇形面积取得最大值4。

∴弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.
16．已知sinα〈0,tanα〉0。

(1)求α角的集合;
(2）求α
2
终边所在的象限；
（3）试判断tan错误!sin错误!cos错误!的符号．
解（1)由sinα<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tanα>0，知α在第一、三象限,故α角在第三象限，
其集合为{α错误!.
（2）由2kπ＋π<α〈2kπ＋错误!,k∈Z，
得kπ＋错误!〈错误!<kπ＋错误!，k∈Z，
故错误!终边在第二、四象限．
（3）当错误!在第二象限时,tan错误!〈0，sin错误!>0，cos错误!<0，
所以tan错误!sin错误!cos错误!取正号；
当错误!在第四象限时，tan错误!<0，
sin错误!<0，cos错误!>0,
所以tan错误!sin错误!cos错误!也取正号．因此，tan错误!sin错误!cos错误!取正号．。