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高三考前保温训练4
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在题中横线上. 1．若集合{|lg 1}S x N x =∈≤，2{|10}P x x =≤则集合S P = .
2．复数
i
1+2i
(i 是虚数单位)的实部是 ． 3．已知命题：2
:,210P x R ax ax ∃∈++≤，若命题P 是假命题，则实数a 的取值范围是 ．
4．已知向量a 和向量b 的夹角为0
150，||2,||3a b ==
，则|5|a b -= ．
5．若x 是不等式|1|3x +<的解，则x 是负数的概率为 ．
6．已知函数2
()1(0)f x ax ax a =+->有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则a 的取值范围是 ．
7．设等差数列的前n 项和为n S ，若369,36S S ==，则8a = ． 8．,αβ是两个不重合的平面，下列条件可判定//αβ的有 ．
（1）,αβ都平行于直线,l m ；
（2）α内有三个不共线的点到β的距离相等； （3）,l m 是α内的两条直线，且//,//l m ββ；
（4）,l m 是两条异面直线，且//,//,//,//l m l m ααββ． 9．在如右的程序框图中，输出S 的值为 ． 10．设,x y 均为正实数，且80xy x y ---=，
则xy 的最小值为 ． 11．两个正数a 、b 的等差中项是
9
2
，一个等比中项是25，,a b <则椭圆22
221x y a b
+=的离心率为 ．
12．若不等式2(22)33x
a a x
-->的解集为{|0}x x <，则实数a 的取值范围是 ．
13．若5[,]123x ππ∈-
-，则2tan()tan()36
y x x ππ
=+-+的最大值为 ．
14．定义在R 上的函数()f x ，对任意的x 都有(4)()4f x f x +≤+和(3)()3f x f x +≥+，
且(1)2,(0)1f f ==，则(2009)f = ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）
已知3π
sin(π)cos(2π)tan()
2()tan(π)sin(π)
f αααααα---+
=⋅----，
（1）化简()f α；
（2）若α为第三象限角，且3π1
cos()25
α-=，求()f α的值； （3）若313
π
α=-，求()f α的值．
16．（本小题满分14分）
如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为a 的菱形，且
060ABC ∠=，侧棱长为
2
2
a ，若经过1AB 且与1BC 平行的平面交上底面线段11A C 于点E ．
（1）试求AE 的长；
（2）求证：1AC ⊥平面1AB E ？
17．（本小题满分16分）
在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线l
经过点P ，且与x 轴交于点(2,0)F ． （1）求直线l 的方程；（2）如果一个椭圆经过点P ，且以点F 为它的一个焦点，求椭圆的标准方程；（3）若在（1）（2）的情况下，设直线l 与椭圆的另一个交点Q ，且
PM PQ λ= ,当||OM 最小时，求λ对应值．
18．（本小题满分146分）
定义区间(),m n ，[],m n ，(],m n ，[),m n 的长度均为n m -，其中n m >．
（1）若关于x 的不等式2
21230ax x -->
，求实数a 的值；
（2）已知20
7{|1},{|30}1340
x A x B x tx t x tx tx ⎧>⎪=>=+>⎨++-<⎪⎩，若A B 构成的各区间长度和
为6，求实数t 的取值范围．
19.随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人（140＜2a ＜420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，每．裁员．．1人，则留岗职员每人每年．．．．多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的
4
3
，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？ 20．（本小题满分16分）
如果一个数列的各项均为实数，且从第二项起开始，每一项的平方与它前一项的平方的差都是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差． （1）若数列{}n b 是等方差数列，121,3b b ==，求7b ； （2）是否存在一个非常数数列的等差数列或等比数列，同时也是等方差数列？若存在，求出这个数列；若不存在，说明理由．
（3）若正项数列{}n a 是首项为2、公方差为4的等方差数列，数列1
{}n
a 的前n 项和为n T ，
是否存在正整数,p q ，使不等式1n T 对一切*n N ∈都成立？若存在，求出
,p q 的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在题中横线上.
1、 {1,2,3}
2、
25 3、01a ≤< 4、133 5、23 6、11
(,)62
7、15 8、（4） 9、126 10、16 11、35 12、(,1)(3,)a ∈-∞-+∞ 13、4
33
14、2010
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15、 解：（1）cos sin cos sin sin ()()cos sin cos f α
αααααααα
⋅⋅
=
⋅-=-；-------------4分 （2）α为第三象限角，且31cos()25πα-=，1
sin ,5
α∴=-----------------6分
26cos α∴=-
，26
()f α∴=； ---------------9分 （3）
313πα=-
311
()cos()32
f πα∴=--=-----------------------14分 16、 解：（1）3a
AE =
，即点E 为线段11A C 的中点．理由如下： 连接1A B 交1AB 于点O ，连接OE ，则有1//OE BC ， 又
OE ⊆平面1AB D ，1BC 平面1AB D ，1//BC ∴平面1AB D --------6分
（2）由题意有111A B C ∆为边长为a 的正三角形，又点E 为线段11A C 的中点，111B E AC ∴⊥ 又平面111A B C ⊥平面11ACC A ，且平面111
A B C 平面1111ACC A A C =，1B E ∴⊥平面
11ACC A ，11B E AC ∴⊥．------10分在平面11ACC A 中由平几知识可得1A C AE ⊥，又1B E
AE E =，所以1
AC ⊥平面1AB E ． ------------------------14分 17、解：（1）直线l 的方程是2(2)y x =----4分（2）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b
+=>>，
∵(2,0)F ），∴2c =，即2
2
4a b -=--①-----5分
∵点(3,2)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，∴2292
1a b
+=-- ②------7分
由①②解得2
2
12,8a b ==．所以所求椭圆的标准方程为
22
1128
x y +=-------9分
（3）由方程组(0,Q ． -10分.(3,PQ =--．∵(3)PM PQ λλ==-，
∴ (33)OM OP PM λ=+=-，
∴||(3OM ==14分 ∴当5
9
λ=
时，||OM 最小．-------------------------------------16分 18、解：（1）0a =时不合题意； --------1分
0a ≠时，方程221230ax x --=的两根设为1x 、2x ，则126x x a +=
，123
2x x a
=-，3分 又()2
2
12
12122
366
64x x x x x x a a
=-=+-=
+，得2a =-或3a =（舍），所以2a =-.6分 （2）先解不等式711x >+，整理得601x x -+>+，即()()160x x +-<，所以不等式7
1
1
x >+的解集()1,6A =- ，--------------------------------------------8分 又()0,B ⊆+∞，()0,6A
B ⊆，-------------10分，不等式组的解集的各区间长度和
为6，所以不等式组230
340
tx t tx tx +>⎧⎨+-<⎩，当()0,6x ∈时，恒成立．
当()0,6x ∈时，不等式30tx t +>恒成立，得0t >；-----------------12分 当()0,6x ∈时，不等式2340tx tx +-<恒成立，即2
4
3t x x
<
+恒成立，而()0,6x ∈时，243x x +的取值范围为2,27⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，所以实数227t ≤ ；--------15分 综上所述，t 的取值范围为20,
27⎛⎤
⎥⎝⎦
-------------16分 19.
解答：设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则
ab x a x b
bx bx b x a y 2])70(2[100
4.0)01.0)(2(2+---
=-+-= …………5分 依题意 .21070,4202140.2
02432<<<<≤<∴⋅≥
-a a a
x a x a 又 ……7分
（1）当y a x a a
a ,70,14070,2700-=≤<≤-<时即取到最大值；……………10分 （2）当y a
x a a a ,2
,210140,270=<<>-时即取到最大值；……………………13分
答：当 70a 140,公司应裁员为a 70,经济效益取到最大值
当140
a 210,公司应裁员为
a
,2
经济效益取到最大值………………………15分 20、解：（1）由{}n b 是等方差数列，121,3b b ==，有公方差22
318d =-=， ------1分 于是2
71(71)849,b =+-⨯=77b ∴=±------------------------------3分 （2）若数列{}n a 是等差数列，设(,)n a an b a b R =+∈，则2222
2n a a n abn b =++， 要使{}n a 也是等方差数列，应有221n n a a k --=（k 为与n 无关的常数），得2
0a =，即0a =，
这时n a b =必为一常数数列，因此不存在一个非常数数列的等差数列，同时也是等方差数列．-----5分
若数列{}n a 是等比数列，设11n n a a q -=（q 为公比且0q ≠），则2222
1n n a a q -=， 要使{}n a 也是等方差数列，应有22
1n n a a k --=（k 为与n 无关的常数），即
2222242242111(1)n n n a q a q a q q k ----=-=，所以必有21,1q q ==±，----------7分
当1q =时，数列{}n a 是常数数列，故舍去
当1q =-时，所以存在一个非常数数列的等比数列，同时也是等方差数列，其公比
1q =-．--9分
（3）由于{}n a 是首项为2，公方差为4的等方差数列，所以
221(1)44(1)4,n a a n d n n =+-=+-=n a ∴=， ------10分
所以数列1{
}
n a 的前n 项和为：1...2n T =++---11分
假设存在正整数,p q 使不等式
1 (1)
2++>对一切*
n N ∈都成立．
...1)
++>
当1n =时，9
11),4
p q >∴+<，又,p q 为正整数，1p q ∴==． --13分
...1)
++>对一切*n N ∈都成立．
*)
n N =>=∈
...1)...1)
>+++=。

16分。