江苏省江阴一中2018_2019学年高一数学12月月考试题201901040265

江苏省江阴一中2018-2019学年高一数学12
月月考试题
一、填空题（14×5=70分）
1. 已知集合A ={1，2，4}，B ={2，4，8}，则A ∪B ＝ ．
2. 函数y = 2tan(3x π
4
)的最小正周期为 ． 3. 求值：sin(
20π
3
)= ． 4. 函数y ＝1－x ＋lg(x ＋2)的定义域为 ．
5. 函数y ＝162x
的值域为 ．
6. 若函数ln 26y x x =+-的零点为0x ，则满足0≤k x 的最大整数k = ．
7. 已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-
<<的图象关于直线3
x π
=对称，则ϕ的值是 ． 8. 已知e 1→，e 2→是夹角为2π3的两个单位向量，a →=e 1
→
2e 2→，b →=k e 1→+e 2→，若a →·b →
= 0，则
实数k 的值为 ．
9. 设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，
AB AD 21=
，BC BE 3
2
=， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ．
10. 函数f (x )=A sin(x +),(A ,, 是常数，A >0, >0)
的
部分图象如图所示，则f (0)= ．
11. 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()2
01
x x ax f x bx x <+-⎧⎪
=+⎨⎪+⎩≤≤≤，
，，，其中a ， b R ．
若f (12)= f (3
2
)，则3a + b 的值为 ．
12. ①函数⎪⎭⎫
⎝
⎛+
=42sin πx y 有一条对称轴方程是8
5π
=
x ； ②若βα,为第一象限角,且βα>,则tan tan αβ>；
③函数cos(3)2
y x π
=+是奇函数； ④函数)22cos(π
+
=x y 的图像向左平移
2
π
个单位,得到x y 2cos -=的图像. 以上四个结论中，正确的序号为________．(填序号）
13. 在ABC 中，∠BAC =︒60，2,5==AC AB ，D ，E 分别在边AB ，AC 上， 且AD BD 2=，EC AE =，BE 与CD 交于点F ，则=⋅BC AF __________． 14. 已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝1
()2
x .
若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，则实数a 的取值范围是_________． 三、解答题（70分）
15. (14分) 已知向量a →=(1，cos x )，b →=(1
3，sin x )，x (0，).
(1)若a →∥b →
，分别求tan x 和sin x + cos x sin x cos x 的值；
(2)若a →b →
，求sin x cos x 的值.
16. (14分) 已知集合}87|{2
x x x A <+=,}0)2(2|{2
<+--=a a x x x B (1)当4a =时,求A B ；(2)若A
B B =,求实数a 的取值范围.
17.(15分) 已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++(0,0,)A ωϕπ>><.在一个周期内， 当x = 12时，y 取得最大值6，当x = 7
12
时，y 取得最小值0.
(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间与对称中心坐标； (3)当x
[12，6
]时，函数y = mf (x )1的图像与x 轴有交点，求实数m 的取值范围．
18.(15分) 已知在ABC 中，点A (2，4) ，B (1，
2) ，C (4，3) ，BC 边上的高为AD .
(1)求证：AB ⊥AC ；
(2)设ABC = ，求cos
的值；
(3)求点D 和向量AD →
的坐标；
(4)请利用向量方法证明：AD 2
=BD ·CD .
19. (16分) 已知函数b ax ax x g ++-=12)(2
（0≠a 且1<b ）在区间[2,3]上有最大值4和最小值1．设()
()g x f x x
=． (1)求a 、b 的值；
(2)若不等式02)2(≥⋅-x
x
k f 在[2,2]x ∈-上有解，求实数k 的取值范围； (3)若1
(|23|)30|23|
x
x
f k k -+⋅
-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．
20. (16分) 已知函数()3f x mx =+，()22g x x x m =++． (1)求证：函数()()f x g x -必有零点；
(2)设函数()()()1F x f x g x =--，若()F x 在[]1,0-上是减函数，求实数m 的取值范围；
(3)设函数()()(),0
,0
f x x G x
g x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，若关于x 的方程()21G x m =-有且仅有三个实数解，
求实数m 的取值范围．
20182019学年度第一学期高一数学阶段性检测 2018.12.19
班级 学号 姓名 一、填空题（14×5=70分）
1. 已知集合A ={1，2，4}，B ={2，4，8}，则A ∪B ＝ ． 【答案】 {1, 2，4，8}
2. 函数y = 2tan(3x π
4
)的最小正周期为 ． 【答案】 π
3
3. 求值：sin(20π
3
)= ． 【答案】
32
4. 函数y ＝1－x ＋lg(x ＋2)的定义域为 ． 【答案】 (2,1]
5. 函数y ＝162x
的值域为 ． 【答案】 [0,4)
6. 若函数ln 26y x x =+-的零点为0x ，则满足0≤k x 的最大整数k = ． 【答案】 2
7. 已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3
x π
=对称，则ϕ的值是 ． 【答案】 6
π
-
8. 已知e 1→，e 2→是夹角为2π3的两个单位向量，a →=e 1
→
2e 2→，b →=k e 1→+e 2→，若a →·b →
= 0，则
实数k 的值为 ． 【答案】5
4
9. 设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=
，BC BE 3
2
=， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ． 【答案】1
2
10. 函数f (x )=A sin(x +),(A ,,
是常数，A >0, >0)的部分图象如图所示，则
f (0)= ．
【答案】
2
11. 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间
[11]-，上，0111()2
01
x x ax f x bx x <+-⎧⎪
=+⎨⎪+⎩≤≤≤，
，，，其中a ， b R ． 若f (12)= f (3
2)，则3a + b 的值为 ．
【答案】 2
12. ①函数⎪⎭⎫
⎝
⎛+
=42sin πx y 有一条对称轴方程是8
5π
=
x ； ②若βα,为第一象限角,且βα>,则tan tan αβ>；
③函数cos(3)2
y x π
=+是奇函数； ④函数)22cos(π
+
=x y 的图像向左平移
2
π
个单位,得到x y 2cos -=的图像. 以上四个结论中，正确的序号为________．(填序号） 【答案】 ① ③
13. 在ABC 中，∠BAC =︒60，2,5==AC AB ，D ，E 分别在边AB ，AC 上， 且AD BD 2=，EC AE =，BE 与CD 交于点F ，则
=⋅BC AF __________．
【答案】 225
-
【解题分析】如图，须把,AF BC 分解到,AB AC 方向上，其中
BC AC AB =-,AF 分解时，须应用待定系数法，利用
,,C F D 和,,B F E 共线，设AF AB AC λμ=+，而3,2AB AD AC AE ==，
所以3,2,
AF AD AC AF AB AE λμλμ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩所以3121λμλμ+=⎧⎨+=⎩得15
25λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以12
55
AF AB AC =+． 故
=
⋅BC AF 221221122
()()555555
AB AC AC AB AC AB AC AB +-=-⋅-=-．
14. 已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝1
()2
x . 若存在
x 0∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12
，1，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，则实数a 的取值范围是_________．
【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522
【解题分析】由f(x)＋g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
可得f(－x)＋g(－x)＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12－x ，即－f(x)＋g(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－x ，
则f(x)＝12(2－x －2x )，g(x)＝12(2－x ＋2x )．由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，a ＝－g （2x 0）f （x 0），
设h(x)＝－
g （2x ）f （x ）(x∈[12，1])，则h(x)＝－12（2－2x ＋22x
）12（2－x －2x ）＝22x ＋2－2x 2x －2－x ＝(2x －2－x )＋22x －2－x .x ∈[12
，1]时，2
x
－2－x
∈[
22，32]．设t ＝2x －2－x
，则t ∈[22，32]，而h(x)＝t ＋2t ，又y ＝t ＋2t 在[22
，2]上递减，在[2，32]上递增，则y 最小＝2＋22＝22，y 最大＝22＋22
2＝52
2，所以h(x)∈[22，
522]，即a∈[22，52
2
]． 本题考查函数的奇偶性和单调性，考查了换元法的应用及转化与化归思想． 三、解答题（70分）
15. (14分) 已知向量a →=(1，cos x )，b →=(1
3，sin x )，x (0，).
(1)若a →∥b →
，分别求tan x 和sin x + cos x sin x cos x 的值；
(2)若a →b →
，求sin x cos x 的值. 解: (1)∵//a b ， ∴sin x = 1
3cos x
∵cos x 0，∴tan x = 1
3
∴sin x + cos x sin x cos x = tan x + 1
tan x 1 = 13 + 11
3 1 = 2 …… 6分
(2) ∵a b ⊥，∴1
3+sin x cos x =0 ∴sin x cos x = 1
3
∴(sin x cos x )2
=12sin x cos x =53
∵x (0，)，∴sin x >0，∵sin x cos x <0，∴cos x <0 ∴sin x cos x =
15
3
. …… 14分 16. (14分) 已知集合}87|{2
x x x A <+=,}0)2(2|{2
<+--=a a x x x B (1)当4a =时,求A
B ；
(2)若A B B =,求实数a 的取值范围.
解:(1){}|17A x x =<<, …… 2分
当4a =时,{}{}
2|224046B x x x x x =--<=-<<, …… 4分 ∴()1,6A
B =. …… 6分
(2) ∵A
B B =,∴A B ⊆,{}()(2)0B x x a x a =+--<, …… 8分
①当1a =-时, ,B =∅A B ∴⊆不成立; …… 9分 ②当2,a a +>-即1a >-时,(,2),B a a =-+ …… 10分
1
,27
a A B a -≤⎧⊆∴⎨
+≥⎩,解得5;a ≥ …… 11分 ③当2,a a +<-即1a <-时,(2,),B a a =+- …… 12分
21
,7a A B a +≤⎧⊆∴⎨
-≥⎩
解得7;a ≤- …… 13分 综上,当A B ⊆,实数a 的取值范围是(,7][5,)-∞-⋃+∞.…… 14分
17.(15分) 已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++(0,0,)A ωϕπ>><.在一个周期内， 当x = 12时，y 取得最大值6，当x = 7
12
时，y 取得最小值0.
(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间与对称中心坐标； (3)当x
[12，6
]时，函数y = mf (x )1的图像与x 轴有交点，求实数m 的取值范围．
解: (1)由题意知⎩
⎪⎨
⎪⎧
A+B ＝6
A+B ＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
A ＝3
B ＝3
∵T 2=
7
12
12= 2
，∴T=，∴ =2
将(12,6)代入()3sin(2)3f x x ϕ=++
得6
+
=6
+2k ，k Z ∴ =3
+2k ，k Z
∵||<，∴ =3 ∴()3sin(2)33f x x π
=++ …… 5分
(2)由
2+2k ≤2x +3≤2+2k ，k Z
得5
12+k ≤ x ≤ 12+k ，k Z
故f (x )的单调递增区间是[5
12+k ，12
+k ] k Z
由 2x +3
=
+k ，k
Z 得x =3+ k
2
，k Z
故f (x )的对称中心是(3+ k
2
，3)，k Z. …… 10分
(3)当x [12，6]时，2x +3[6，2
3
]
则3sin(2x +3)[32，3] ，f (x ) [9
2
，6]
令y = mf (x )1=0，则f (x )= 1
m
故1m [92，6] ，则m 的取值范围是[16，2
9]. …… 15分
18.(15分) 已知在ABC 中，点A (2，4) ，B (1，
2) ，C (4，3) ，BC 边上的高为AD .
(1)求证：AB ⊥AC ；
(2)设ABC = ，求cos
的值；
(3)求点D 和向量AD →
的坐标；
(4)请利用向量方法证明：AD 2
=BD ·CD . 解: (1)由题意知AB →
=(
3，6)，AC →
=(2，
1)
则AB →AC →
=6+6=0
故AB ⊥AC …… 2分
(2)由BC →
=(5，5)，得cos = BA →BC →|BA →||BC →|
= 35+654555 =31010 …… 5分
(3)设BD →=BC →
=(5，5)，[0，1]
则AD →=AB →+BD →
=(53，56)
由AD →BC →，得AD →·BC →
=0，即5(53)+5(56)=0
解得=910，BD →=(92，9
2)，
则点D (72，52)， AD →=(3
2
，
3
2
) …… 10分
(4)由(3)得|AD →|2 = 92
，|BD →||CD →
|=
812
12 = 92
则|AD →
|2
= |BD →||CD →
|
即AD 2
=BD ·CD . …… 15分
19. (16分) 已知函数b ax ax x g ++-=12)(2
（0≠a 且1<b ）在区间[2,3]上有最大值4和最小值1．设()
()g x f x x
=． (1)求a 、b 的值；
(2)若不等式02)2(≥⋅-x
x
k f 在[2,2]x ∈-上有解，求实数k 的取值范围；
(3)若1
(|23|)30|23|
x
x
f k k -+⋅
-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 解：(1)a b x a x g -++-=1)1()(2
，当0>a 时，)(x g 在[2，3]上为增函数
故⇒⎩⎨⎧==1)2(4)3(g g ⎩
⎨
⎧==⇒⎩⎨⎧=++-=++-0111444169b a b a a b a a ， 当0<a 时，)(x g 在[2，3]上为减函数
故⇒
⎩⎨
⎧==4)2(1
)3(g g ⎩
⎨
⎧=-=⇒⎩⎨⎧=++-=++-31
41441169b a b a a b a a ， ∵1<b ，∴0,1==b a ，即12)(2
+-=x x x g ，21
)(-+
=x
x x f …… 4分 (2)不等式02)2(≥⋅-x
x
k f 化为x
x
x
k 222
12⋅≥-+
k x x ≥-+212)21(
12，令12,2
12
+-≤=t t k t x
∵∈x [－2，2]，∴1[,4]4t ∈，记12)(2
+-=t t t ϕ，∴9)4()(max ==ϕϕt ，∴9≤k ……
8分
(3)方程1(|23|)(
3)0|23|x
x f k -+-=-化为
1|23|(23)0|23|
x
x k k +-+-+=- 2|23|(23)|23|10x x k k --+-++=，|23|0x -≠
令
|23|x t
-=，则方程化为
2(23)10t k t k -+++=)0(≠t
∵方程1|23|(23)0|23|
x
x k
k +-+-+=-有三个
不同的实数解，
∴
由
|23|
x t =-的图像知，
2(23)10t k t k -+++=
有两个根1t 、2t ，且1203t t <<≤ 记2
()(23)1h t t k t k =-+++
则(0)10(3)840h k h k =+>⎧⎨=-+<⎩或(0)10
(3)84023032
h k h k k ⎧
⎪=+>⎪=-+=⎨⎪
+⎪<<⎩，∴12k ≥ …… 16分
20. (16分) 已知函数()3f x mx =+，()22g x x x m =++． (1)求证：函数()()f x g x -必有零点；
(2)设函数()()()1F x f x g x =--，若()F x 在[]1,0-上是减函数，求实数m 的取值范围；
(3)设函数()()(),0
,0
f x x G x
g x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，若关于x 的方程()21G x m =-有且仅有三个实数解，
求实数m 的取值范围．
解：(1)证明：()()()()
()()223223f x g x mx x x m x m x m -=+-++=-+-+-
由()()()2
2
2124381640m m m m m ∆=-+-=-+=-≥，
知，函数()()f x g x -必有零点． ………………………………4分 (2)()()()()()222222F x x m x m x m x m =-+-+-=--+-，令()()2()22G x x m x m =--+-
()()()()2
224226m m m m ∆=---=--
①当20∆≤，即26m ≤≤时，()()()222F x x m x m =--+-， 若()F x 在[]1,0-上是减函数，则
2
02
m -≥，即2m ≥，26m ∴≤≤时，符合条件； ②当20∆>，即2m <或6m >时， 若2m <，则
202m -<，要使()F x 在[]1,0-上是减函数，2
12
m -≤-且()00G ≤，0m ∴≤，
若6m >，则
2
22
m ->，要使()F x 在[]1,0-上是减函数，()00G ≥，6m ∴>． 综上，0m ≤或2m ≥． ………………………………10分 (3)当0m =时，()23,0
2,0x G x x x x ≥⎧=⎨+<⎩
，不合题意；
当0m <时，要使方程()21G x m =-有且仅有三个解，必须211m m m -<-<，解得
11 / 11 0m <<； 当0m >时，要使方程()21G x m =-有且仅有三个解，
①，无解； ②，无解；
综上，符合条件的实数的取值范围是．………………………………16分。