北师大版数学高一必修二 球的表面积和体积

节我们就来研究柱体、锥体、台体、球的体积和球的表面
目
开
积问题．
关
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 柱、锥、台体的体积公式
问题 1 我们已经学习了正方体、长方体的体积计算公式，
它们的体积公式是什么？
答 V 正方体＝a3，V 长方体＝abc.
本 课
问题 2 取一摞纸张放在桌面上(如下图所示)，并改变它们的
V 柱体＝Sh—S′——＝→S V 台体＝13h(S＋ SS′＋S′)—S′——＝→0 V 锥体＝13Sh.
本 课
2．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角
时 栏
三角形，进行相关计算．
目 开
3．解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体
关
的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．
已知螺帽的底面六边形边长是 12 mm，高是
10 mm，内孔直径是 10 mm，这一堆螺帽约
有多少个(铁的密度是 7.8 g/cm3，π≈3.14)?
本 解 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积和一个圆
课 时
柱的体积的差．
栏 目
因为
V
正六棱柱＝6×12×12×(12×sin
60°)×10＝3×122×
和体积．
本 解 过 C 点作 CD⊥AB，垂足为 D.△ABC 以 AB 所
课 时
在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面
栏 目 开 关
重合的圆锥，如图所示， 这两个圆锥高的和为 AB＝5，底面半径 DC＝ACA·BBC＝152， 故 S 表＝π·DC·(BC＋AC)＝854π.
V＝13π·DC2·AD＋13π·DC2·BD＝13π·DC2·(AD＋BD)＝458π.
探究点二 锥体的体积公式 问题 1 观察下面的图，用同样大小的三个三棱锥能拼成一个三
棱柱，说明了什么问题？
本
课
时
答 说明三棱锥的体积是等底、等高的三棱柱体积的三分
栏
目
之一．
开 关
问题 2 类比棱柱与棱锥之间的体积关系，能猜测出等底、等高的
圆柱与圆锥之间的体积关系吗？
答 圆柱的体积是圆锥的 3 倍．
问题 3 你能推测出锥体的体积计算公式吗？ 答 V 锥＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)．
目 开 关
S 侧面积＝12c·AB＝12×4×230.4× 115.22＋146.62≈85 916.2(m2)．
V＝13S·AC＝13×230.42×146.6≈2 594 046.0(m3)．
答 金字塔的侧面积约是 85 916.2 m2，体积约是 2 594 046.0 m3.
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7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、
圆台的体积
7．3 球的表面积和体积
本
课 [学习要求]
时 栏
1．理解柱体、锥体、台体的体积公式；
目 开
2．理解球的表面积和体积公式；
关 3．能运用体积公式求解有关的体积问题，并且熟悉台体与柱
体和锥体之间的转换关系．
[学法指导]
通过柱、锥、台和球体的体积公式的应用，提高知识的应
3 4.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2．设正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为 5，那么它的体积为( B )
A．6 3
B. 3
C．2 3
D．2
本
解析 因为正六棱锥的高为 5－12＝2，
课
时 栏
所以 V＝13Sh＝13×6× 43×2＝ 3.
目
开
关
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3．若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面，则该圆锥的
即所得旋转体的表面积为854π，体积为458π.
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本 1．已知高为 3 的棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是边长
课 时
为 1 的正三角形(如图)，则三棱锥 B1—ABC 的
栏
体积为
( D)
目 开 关
1 A.4
1
3
B.2
C. 6
3 D. 4
解析
V＝13Sh＝13×43×3＝ Nhomakorabea时 栏
放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从这个事
目
实中你得到什么启发？
开
关
答 体积没有发生变化，说明等底、等高的棱柱体积相等．
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问题 3 等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系如何？
答 它们的体积也相等．所以柱体的体积公式为 V 柱＝Sh.
本 课 时 栏 目 开 关
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∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，
∴DO＝12DD′＝a. 由于以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱
中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．
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由上述计算知，圆柱母线长 3a，底面半径 2a；
圆锥的母线长 2a，底面半径 a.
∴圆柱的侧面积 S1＝2π·2a· 3a＝4 3πa2，圆锥的侧面积
答 这堆螺帽约有 250 个．
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本 小结 不规则几何体的体积可通过对几何体分割，使每部分都能
课
时 够易求得其体积，或者使所求体积等于整体几何体体积减去部分
栏 目
几何体体积．
开
关
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跟踪训练 2 已知一正四棱台的上底边长为 4 cm，下底边
长为 8 cm，高为 3 cm.求其体积．
即此三棱柱的体积为
6 2.
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探究点三 台体的体积公式
问题 1 台体的上底面积 S′，下底面积 S，高 h，则台体的体积
是如何计算的？
答 台体的体积可以用两个锥体体积的差得到(如右图)，
本 课
∵x＋x h＝
SS′，∴x＝
h S′ S－ S′.
时 栏 目 开 关
V 台＝13S(h＋x)－13S′x＝13Sh＋13Sx－13S′x＝13Sh ＋13(S－S′)x
V 柱＝Sh＝π·(2a)2· 3a＝4 3πa3.
V 锥＝13S′h＝13·π·a2· 3a＝ 33πa3.
∴V＝V 柱－V 锥＝4 3πa3－ 33πa3＝113 3πa3.
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小结 求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其
本 课
表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公
＝ 13 Sh ＋ 13 (S － S′)
h S′ S－ S′
＝
1 3
Sh ＋
1 3
(
S＋
S′ )h
S′
＝
1 3
h(S
＋
SS′＋S′)．
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问题2 柱体、锥体、台体的体积公式间有怎样的关系？ 答 关系如下图所示：
本 课 时 栏 目 开 关
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例 2 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(如右图)，共重 5.8 kg，
本 课
解 V＝13(S 上＋S 下＋ S上·S下)h
时 栏
＝13(42＋82＋ 42×82)×3＝112(cm3)．
目 开
答 正四棱台的体积为 112 cm3.
关
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探究点四 球的表面积和体积 问题 如何求球的表面积及体积？
本 答 球面的表面积及球体的体积的推导比较复杂，只要记住
＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面 ABCD 内过点 C 作
l⊥CB，以 l 为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
本 课
解 如图，在梯形 ABCD 中，∠ABC＝90°，
时 栏
AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
目 开 关
∴CD＝BcCos－6A0D°＝2a，AB＝CDsin 60°＝ 3a，
时
栏 目
V 圆锥＝13Sh＝13πr2h＝13π×42×12≈201(cm3)．
开
关 所以，冰激凌融化了，不会溢出杯子．
小结 球既是中心对称又是轴对称的几何体，它的任何截面
均为圆，过球心的截面都是轴截面，因此球的问题常转化为
圆的有关问题解决．
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跟踪训练 3 一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为 3 cm，瓶里所装的 水深为 8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到 8.5 cm，求钢球的半径．
时 栏
式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄
目 开
清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
关
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跟踪训练 4 将例题中的条件改为在△ABC 中，AC ＝3，BC＝4，AB＝5，以 AB 所在直线为轴，三角 形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积
3 2
开 关
×10≈3.74×103(mm3)．
V 圆柱≈3.14×(10÷2)2×10＝0.785×103(mm3)．
所以一个螺帽的体积 V＝3.74×103－0.785×103
≈2.96×103(mm3)＝2.96(cm3)．
因此约有 5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102＝250(个)
本 解 如下图，设钢球半径为 R，则由题意有
课 时 栏 目 开 关
π×32×8＋43πR3＝π×32×8.5， 解得 R＝1.5(cm)． 答 钢球的半径为 1.5 cm.
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探究点五 简单组合体的表面积和体积
例 4 如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD
S 分别为台体的上、下底面面积，h 为高． 4．设球的半径为 R，那么它的表面积公式为 S ＝ 球面 4πR2；体积
公式为 V 球＝ 43πR3 .
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[问题情境]
本
上一节我们学习了几何体的侧面积，一般地，面积是相对
课 时
平面图形来说的，对于空间图形需要研究它们的体积，本
栏
跟踪训练 1 正三棱柱侧面的一条对角线长为 2 且与该侧面
内的底边所成角为 45°，求此三棱柱体积．
解 如右图为正三棱柱 ABC－A1B1C1，则有
AB1＝2，∠B1AB＝45°，
本 课
∴AB＝BB1＝ 2，
时 栏 目
∴S△ABC＝12×
2× 23×
2＝
3 2.
开 关
∴V ＝ 三棱柱 23×
2＝
6 2.
S2＝π·a·2a＝2πa2，
本 课 时
圆柱的底面积 S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积 S4＝πa2， ∴组合体上底面积 S5＝S3－S4＝3πa2，
栏 目
∴旋转体的表面积 S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4 3＋9)πa2.
开 关
又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一
个圆锥的体积．
3
体积为____3__π__．
解析 先利用圆锥侧面积公式求出半径．
本 课 时 栏 目 开 关
πl＝2πr，
设圆锥底面半径为 ∴lr＝＝21，， ∴h＝
r，母线长为 3.
l，高为
h，则12πl2＝2π，
∴V 圆锥＝13π×12×
3＝
3 3 π.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
用能力及空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心.
填一填·知识要点、记下疑难点
1．柱体的体积公式为 V＝ Sh ，其中 S 为柱体的底面面积，h
本 课
为柱体的高．
1
时 栏
2．锥体的体积公式为 V＝ 3Sh ，其中 S 为锥体的底面面积，h
目
为锥体的高．
开 关
3．台体的体积公式为 V ＝ 台体 13(S′＋ S′S＋S)h ，其中 S′，
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例 1 埃及胡夫金字塔大约建于公元前 2580 年，其形状为正
四棱锥，金字塔高约 146.6 m，底面边长约 230.4 m．问：
这座金字塔的侧面积和体积各是多少？
本 解 如图，AC 为高，BC 为底面的边心距，
课 时
则 AC＝146.6 m，BC＝115.2 m.
栏 底面周长 c＝4×230.4 m.
课 时 栏
公式即可，S 球面＝4πR2，V 球＝43πR3.其中 R 为球的半径．
目
开
关
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例 3 如右图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个 半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出杯子 吗？(假设冰激凌融化前后体积不变)
本 课
解 因为 V 半球＝12×43πR3＝12×43π×43≈134(cm3)，