内蒙古2017-2018学年高二数学12月月考试题 理

内蒙古2017-2018学年高二数学12月月考试题 理
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

第 Ⅰ 卷（选择题 共60分）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线y ＝1
2x ＋1平行，则它的离心率
为( ) A.5B ．6C.
62
D ．
52
3．执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名老师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有( ) A ．900种 B ．600种 C ．300种 D ．150种
5．已知变量X 服从正态分布N (2,4)，下列概率与P (X ≤0)相等的是( )
A ．P (X ≥2)
B ．P (X ≥4)
C ．P (0≤X ≤4)
D ．1－P (X ≥4)
6．设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≥0x －y ≤0
0≤y ≤k ，
若z 的最大值为12，则z 的最小值为( )
A ．－3
B ．－6
C ．3
D ．6
7.一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱
柱外接球的体积为（ ）
A ．
B ．
C ． 25π
D ．
8.某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病，得到22⨯列联表，经计算得2 5.231K =，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下， 22
( 3.841)0.05,( 6.635)0.01P K P K ≥=≥=，则该研究所可以（ ）
A ．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”
B ．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”
C ．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”
D ．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”
9．将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( ) A ．15 B ．20 C ．30
D ．42
10．已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2
cos 2θ－y 2
sin 2θ＝1与C 2：y 2
sin 2θ－x 2
sin 2θtan 2
θ
＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等
D ．离心率相等
11．盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件．取
两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是( ) A ．
310 B ．35 C ．12 D ．25
12．抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝90°.
过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN →|
|AB →|的最大值为( )
A.
22B ．3
2
C ．1
D ． 3
Ⅱ卷（非选择题，共 90分）
二．填空题(每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸上对应横线处)
13．已知p (x )：x 2
＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________。

14．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个（用数字作答）。

15.在4
6
)
1()1(y x ++的展开式中，记n
m y
x 项的系数为),(n m f ，则
=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）________。

16.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是
；
②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；
③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
；
④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.其中所有正
确结论的序号是________．
三．解答题(共6个题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 在(2x －3y )10
的展开式中，求：
(1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和 (5)x 的奇次项系数和．
18.如图，已知平行四边形ABCD 中，2AD =，CD =，45ADC ∠=︒，AE BC ⊥，垂足为E ，沿直线AE 将BAE ∆翻折成'B AE ∆，使得平面'B AE ⊥平面AECD ．连接'B D ，P 是'B D 上
的点．
(1）当'B P PD =时，求证CP ⊥平面'AB D ；
(2）当'2B P PD =时，求二面角P AC D --的余弦值．
19.甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜歌名活动,在每一轮活动中,依次播放三首乐曲,然后甲猜第一首,乙猜第二首,丙猜第三首.若有一人猜错,则活动立即结束;若三人均猜对,则该小组进入下一轮.该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是
,乙猜对歌名的概率是,丙猜对歌名的概率是.甲、乙、丙猜对互不影响.
(1)求该小组未能进入第二轮的概率;
(2)记乙猜对歌曲的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.
20．已知△ABC 的两顶点坐标A (－1，0)，B (1，0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，
AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹
为曲线M .
(1)求曲线M 的方程；
(2)设直线BC 与曲线M 的另一交点为D ，当点A 在以线段CD 为直径的圆上时，求直线BC 的方程．
21.人的体重是人的身体素质的重要指标之一．某校抽取了高二的部分学生，测出他们的体重（公斤），体重在40公斤至65公斤之间，按体重进行如下分组：第1组[40,45)，第2组[45,50)，第3组[50,55)，第4组[55,60)，第5组[60,65]，并制成如图所示的频率分布直方图，已知第1组与第3组的频率之比为1:3，第3组的频数为90．
（1）求该校抽取的学生总数以及第2组的频率；
（2）用这些样本数据估计全市高二学生(学生数众多)的体重．若从全市高二学生中任选5人，设X 表示这5人中体重不低于55公斤的人数，求X 的分布列和数学期望．
22.已知抛物线y 2
＝2px (p >0)，四边形ABCD 内接于抛物线，如图所示．
(1)若直线AB ，CD ，BC ，AD 的斜率均存在，分别记为k 1，k 2，k 3，k 4，求证：1k 1＋1k 2＝1
k 3
＋
1
k 4
.
(2)若直线AB 、AD 的斜率互为相反数，且弦AC ⊥x 轴，求证：直线BD 与抛物线在点C 处
的切线平行．
高二理数答案 1----6BDBBBB 7-----12AACDDA
13. [3,8) 14.32 15.120 16.①②④ 17.2
10
1 2
9
1＋5102 1－5
10
2
； 18.（1）∵BC AE ⊥，平面⊥'AE B 平面AECD ，∴EC E B ⊥'． 如图建立空间直角坐标系．
则)0,1,0(A ，)1,0,0(B '
，)0,0,1(C ， )0,1,2(D ，)0,0,0(E ，．
)1,1,0(-=B A ，
)
0,0,2(=AD ，
． ∵
，0=⋅AD CP ，
∴B A CP '⊥，AD CP ⊥．
又A AB AD = ，∴⊥CP 平面AD B '．
设面PAC 的法向量为),,(z y x n = ，则．
取1==y x ，3-=z ，则)3,1,1(-=n
，
又平面DAC 的法向量为)1,0,0(=m
，∴
．
∴二面角D AC P --的余弦值
．
19解 (1)设“该小组未能进入第二轮”为事件A ,其对立事件为,
则P (A )=1-P ()=1-.
(2)由题意可得ξ的可能取值为0,1,2,3.
P (ξ=0)=,
P (ξ=1)=, P (ξ=3)=,
P (ξ=2)=1-P (ξ=0)-P (ξ=1)-P (ξ=3)=
.
故ξ的分布列为
∴E (ξ)=0×+1×+2×+3×.
20解：(1)由题意知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |，所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)．
设曲线M ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，
则a 2
＝4，b 2
＝a 2
－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫|AB |22
＝3，
所以曲线M 的方程为x 24＋y 2
3
＝1(y ≠0)．
(2)连接AD ，注意到直线BC 的斜率不为0，且过定点B (1，0)， 设l BC ：x ＝my ＋1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋13x 2＋4y 2
＝12消去x 得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝－
6m
3m 2
＋4
y 1y 2＝－
9
3m 2
＋4
， 因为AC →＝(my 1＋2，y 1)，AD →＝(my 2＋2，y 2)，所以AC →·AD →＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝(m 2
＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4＝－9（m 2
＋1）3m 2
＋4－12m 2
3m 2＋4＋4＝7－9m
2
3m 2＋4
. 注意到点A 在以CD 为直径的圆上， 所以AC →·AD →
＝0，即m ＝±73
，
所以直线BC 的方程为3x ＋7y －3＝0或3x －7y －3＝0.
21.（Ⅰ）设该校抽查的学生总人数为n ，第2组、第3组的频率分别为2p ，3p ， 则30.025350.375p =⨯⨯=，所以3
90
240n p =
=，
··············· 3分 由20.375(0.0250.0130.037)51p ++++⨯=，解得20.25p =，
所以该校抽查的学生总人数为240人，从左到右第2组的频率为0.25． ···· 6分
22. (2016·安徽安庆模拟)已知抛物线y 2
＝2px (p >0)，四边形ABCD 内接于抛物线，如图所示．
(1)若直线AB ，CD ，BC ，AD 的斜率均存在，分别记为k 1，k 2，k 3，k 4，求证：1k 1＋1k 2＝1
k 3
＋
1
k 4
.
(2)若直线AB 、AD 的斜率互为相反数，且弦AC ⊥x 轴，求证：直线BD 与抛物线在点C 处
的切线平行．
证明：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．
∴k 1＝y 1－y 2x 1－x 2
，∵y 21＝2px 1，y 2
2＝2px 2， ∴k 1＝
2p
y 1＋y 2
. 同理：k 2＝
2p y 3＋y 4，故1k 1＋1k 2＝y 1＋y 2＋y 3＋y 4
2p
， 同理：1k 3＋1k 4＝y 1＋y 2＋y 3＋y 4
2p
，从而得证．
(2)由AC ⊥x 轴，有x 1＝x 3，y 1＝－y 3，设以C 为切点的切线斜率为k ，则切线方程为y ＋
y 1＝k (x －x 1)，代入y 2＝2px ，得k 2x 2－2(k 2x 1＋ky 1＋p )x ＋(kx 1＋y 1)2＝0.
∴Δ＝4(k 2
x 1＋ky 1＋p )2
－4k 2
(kx 1＋y 1)2
＝0， 得k 2
x 1＋ky 1＋p
2＝0，而y 2
1＝2px 1，
∴k ＝－p y 1
.
由直线AB 、AD 的斜率互为相反数，知2p y 1＋y 2＋2p
y 1＋y 4
＝0. ∴2y 1＋y 2＋y 4＝0， ∴k BD ＝
2p y 2＋y 4＝2p －2y 1＝－p
y 1
， ∴k BD ＝k .
∴直线BD 与抛物线在点C 处的切线平行．。