【金牌精品】高考数学(理)一轮复习：选修4-4-2参数方程

课后课时作业
1.[2016·北京模拟]参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2－t
y ＝－1－2t (t 为参数)与极坐标方
程ρ＝sin θ所表示的图形分别是( )
A ．直线、直线
B ．直线、圆
C ．圆、圆
D ．圆、直线
答案 B 解析
将参数方程⎩⎨
⎧
x ＝2－t
y ＝－1－2t
消去参数t 得2x －y －5＝0，所
以对应图形为直线．
由ρ＝sin θ得ρ2＝ρsin θ， 即x 2＋y 2＝y ，
即x 2＋⎝
⎛
⎭
⎪⎫y －122＝14，对应图形为圆．
2．[2016·江西南昌模拟]已知曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos t
y ＝2sin t
(t 为
参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为( )
A ．ρ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ＋π4
B ．ρsin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2
C ．ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2
D ．ρ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4 答案 B 解析
把曲线C 的参数方程⎩⎨
⎧
x ＝
2cos t y ＝
2sin t
(t 为参数)，消去参数化
为普通方程为x 2＋y 2＝2，曲线C 在点(1,1)处的切线为l ：x ＋y ＝2，
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，即ρsin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫θ＋π4＝ 2.故选B .
3．[2015·北京东城模拟]已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐
标系，直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋4t
y ＝3t (t 为参数)，则直线l 与曲线C
相交所截的弦长为( )
A .4
5 B .85 C ．2 D ．3
答案 B
解析 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，直线l 的直角坐标方程为3x －4y ＋3＝0.
圆心到直线的距离d ＝|3×0－4×0＋3|32＋42＝35.
∴直线l 与曲线C 相交所截的弦长为2
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫352＝8
5.故选B . 4．[2016·安庆模拟]若直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t cos α
y ＝t sin α(t 是参数)与圆
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4＋2cos θ
y ＝2sin θ(θ是参数)相切，则直线的倾斜角α为( ) A .π
6 B .5π6 C .π6或5π6 D .π2
答案 C 解析
直线⎩⎨
⎧
x ＝t cos αy ＝t sin α
(t 是参数)的普通方程为y ＝x tan α.
圆⎩⎨
⎧
x ＝4＋2cos θy ＝2sin θ
(θ是参数)的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4，
由于直线与圆相切，则
|4tan α|1＋tan 2
α
＝2，
即tan 2
α＝13，解得tan α＝±3
3，
由于α∈[0，π)，故α＝π6或5π
6.
5．[2015·株洲模拟]已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程：
⎩⎨⎧
x ＝2
2t －2
y ＝22t
(t 为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的
非负半轴为极轴建立极坐标系，则以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为________．
答案 ρ＝1
解析 直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. ∴原点到直线的距离r ＝2
2
＝1.
∴以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为ρ＝1. 6．[2016·中山模拟]在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程
为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋s y ＝1－s (s 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋2y ＝t
2
(t 为参数)，若l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB|＝________.
答案
2
解析 直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2，曲线C 的直角坐标方程为y ＝(x －2)2(y ≥0)，联立两方程得x 2－3x ＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以|AB|＝ 2.
7．[2016·武昌质检]已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t
y ＝t ＋a (t 为参
数)，曲线C 2的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－t
y ＝－t ＋b (t 为参数)．以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程是ρ＝1.若C 1与C 2分曲线C 3所成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.
答案 2
解析 由题意得，C 1的直角坐标方程为y ＝x ＋a ，C 2的直角坐标方程为y ＝x ＋b ，因为曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，
因为C 1与C 2分曲线C 3所成长度相等的四段弧，
所以直线y ＝x ＋a ，y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交截得的弦长所对的圆心角是90°，
则圆心到直线的距离d ＝22，即22＝|a|
2，
解得a ＝±1，
同理b ＝±1，所以a 2＋b 2＝2.
8．[2015·上海六校二联]若点P(x ，y)在曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θy ＝2＋sin θ(θ为参
数，θ∈R )上，则y
x 的取值范围是________．
答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞) 解析
由⎩⎨
⎧
x ＝cos θy ＝2＋sin θ，
消去参数θ得x 2＋(y －2)2＝1，①
设y
x ＝k ，则y ＝kx ，代入①式并化简，得(1＋k 2)x 2－4kx ＋3＝0，此方程有实数解，∴Δ＝16k 2－12(1＋k 2)≥0，解得k ≤－3或k ≥ 3.
9．[2016·长春质检]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t y ＝at (t 为参数)，曲
线C 1的方程为ρ(ρ－4sin θ)＝12，定点A (6,0)，点P 是曲线C 1上的动点，Q 为AP 的中点．
(1)求点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；
(2)直线l 与直线C 2交于A ，B 两点，若|AB |≥23，求实数a 的取值范围．
解 (1)根据题意，得
曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝12， 设点P (x ′，y ′)，Q (x ，y )，
根据中点坐标公式，得⎩⎨
⎧
x ′＝2x －6
y ′＝2y ，
代入x 2＋y 2－4y ＝12，
得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4. (2)直线l 的直角坐标方程为y ＝ax ，根据题意，得圆心(3,1)到直线的距离d ≤22
－(3)2
＝1，即|3a －1|
a 2
＋1
≤1，解得0≤a ≤34.
∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，34. 10．[2015·大庆二模]已知圆锥曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos α
y ＝3sin α
(α为参数)和
定点A (0，3)，F 1，F 2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线AF 2的直角坐标方程；
(2)经过点F 1且与直线AF 2垂直的直线l 交此圆锥曲线于M ，N 两
点，求||MF 1|－|NF 1||的值．
解 (1)圆锥曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 2
3＝1，可得F 2(1,0)， ∴直线AF 2的直角坐标方程为x 1＋y
3＝1，即y ＝－3x ＋ 3.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
∵直线AF 2的斜率为－3，∴直线l 的斜率为3
3.
∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝－1＋3
2t
y ＝1
2t
(t 为参数)，
代入圆锥曲线方程可得3⎝
⎛⎭⎪⎫－1＋32t 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 2＝12，
整理得13t 2
－123t －36＝0，∴t 1＋t 2＝123
13，
∴||MF 1|－|NF 1||＝|t 1＋t 2|＝123
13.
11．[2016·郑州质检]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫θ＋π4，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t
y ＝－1＋22t (t 为参数)，直线l 和圆C 交于A ，
B 两点，P 是圆
C 上不同于A ，B 的任意一点．
(1)求圆心的极坐标； (2)求△P AB 面积的最大值． 解 (1)由圆C 的极坐标方程为 ρ＝22cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得 ρ2
＝22⎝ ⎛⎭
⎪⎫22ρcos θ－2
2ρsin θ，
把⎩⎨
⎧
x ＝ρcos θy ＝ρsin θ
代入可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝
0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.
∴圆心坐标为(1，－1)， ∴圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，7π4. (2)由题意，得直线l 的直角坐标方程为22x －y －1＝0. ∴圆心(1，－1)到直线l 的距离d ＝|22＋1－1|(22)2＋12
＝22
3，
∴|AB |＝2
r 2
－d 2
＝2
2－89＝2103.
点P 到直线l 的距离的最大值为r ＋d ＝2＋223＝523，∴S max ＝1
2×2103×523＝1059.
12．[2015·课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t cos αy ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.
联立⎩⎨
⎧
x 2＋y 2－2y ＝0
x 2＋y 2－23x ＝0，
解得⎩⎨
⎧
x ＝0y ＝0，
或⎩⎨⎧
x ＝32
y ＝3
2.
所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫
32
，32.
(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α≤π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫α－π3.
当α＝5π
6时，|AB |取得最大值，最大值为4.。