第十七讲 等腰三角形与直角三角形

第十七讲 等腰三角形与直角三角形
归纳 1：等腰三角形
基础知识归纳：1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
基本方法归纳：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2
b ＜a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°—2∠B ，∠B =∠C =2
180A ∠-︒ 注意问题归纳：等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题，并证明角相等的问题．
【例1】已知等腰三角形的三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2=0的两根，则m 的值是（ ）
A ．34
B ．30
C ．30或34
D ．30或36
归纳2：等边三角形
基础知识归纳：1．定义
三条边都相等的三角形是等边三角形．
2．性质：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
3．判定
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
基本方法归纳：线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等；到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
注意问题归纳：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【例2】如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF=120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（）
A．
3
2
B．
23
5
C．
3
3
D．
3
4
归纳3：直角三角形
基础知识归纳：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
直角三角形的性质：
（1）直角三角形两锐角互余．
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
基本方法归纳：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形．
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
注意问题归纳：注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，它的逆命题不能直接使用．
【例3】已知等腰三角形的底角是30°，腰长为
，则它的周长是．
归纳4：勾股定理
基础知识归纳：
直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2；
基本方法归纳：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
注意问题归纳：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一种常用的方法，通常与直角三角形的性质结合起来考查．
【例4】如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．
（1）若a=6，b=8，c=12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
（2）求证：△ABC的内角和等于180°；
（3）若
()
1
2
a b c
a
a b c c
++
=
-+
，求证：△ABC是直角三角形．
【基础练习】
1．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15=0的一根，则此三角形的周长是（）
A．16B．12C．14D．12或16
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB 于点D，交AC与点E，若∠1=145°，则∠2的度数是（）
A．30°B．35°C．40°D．45°
3．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）
A．（1，1）B．（1，3）C．（3，1）D．（3，3）4．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）
A．1.6B．1.8C．2D．2.6
5．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）
A．2，2，4B．5，6，12C．5，7，2D．6，8，10 6、等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根，则k的值是（）
A．8B．9C．8或9D．12
7.如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB与点E，已知△BCE的周长为10，且BC=4，则AB的长为（）
A．3B．4C．5D．6
8．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）
A．3
2
B．2C．
5
2
D．3
【基础练习】
9．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD=AB=2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE=1，则△ABC的面积为（）
A．42B．4C．25D．8
10.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则
CD
5
5
BD的最小值是（）
A．25B．45
C．53D．10
11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）
A．
8
13
B．
15
13
C．
25
13
D．
32
13
12、如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正
半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=k
x
（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为
（）
A．4B．22 C．2D．2
13.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△BDE∽△CAD．
（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC=3，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．
1．在△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，延长BD交AC于点N若AB=4，DM=1，则AC的长为（）
A．5B．6C．7D．8
2．如图，在△ABC中，AB=AC，AE平分∠BAC，F为AC上一点，且AF=EF．若∠B=42°，则∠EFC为（）
A．48°B．96°C．138°D．84°
3．如图：分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边作等边△ACD及等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF交AC于点O．给出下列说法：
①AC=EF；②四边形ADFE是平行四边形；③△ABC≌△ADO；④2FO=BC；⑤∠EAD=120°．其中正确结论的个数是（）
A．2B．3
C．4D．5
4．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，点D在直线BC上运动，以为边向AD的右侧作正方形ADEF，连接PF，则在点D的运动过程中，线段PF的最小值为（）
A．2B．2C．1D．22
5．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）
A．4B．3C．2D．5
6．如图，△PAB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，则△PAB与△PCD的面积之差为（）
A．5B．10C．l5D．20
7．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深，葭长各几何．”意思是：如示意图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？备注：1丈=10尺．设芦苇长x尺，则可列方程为（）
A．x2+102=（x+1）2B．（x﹣1）2+52=x2
C．x2+52=（x﹣1）2D．x2+12=（x﹣1）2
8．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，如果CE=8，则ED的长为（）
A．2B．3C．4D．6
9．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形与小正方形的边长之比是2：1，若随机在大正方形及其内部区域投针，则针尖扎到小正方形（阴影部分）的概率是（）
A．0.2B．0.25C．0.4D．0.5
10．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若CD=6，则AD的长为（）
A．2B．3C．4D．4.5
11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE
1
2
BC ．
求证：A B平分∠EAD．
12．（如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点F为AB上一点，连接CF，过点B作BE⊥BC 交CF的延长线于点E，交AD于点H，且∠1=∠2．
（1）求证：A B=AC；
（2）若∠1=22°，∠AFC=110°，求∠BCE的度数．
13．如图，等边△ABC中，AB=6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE=CD，DF⊥BE，垂足为F．
（1）求BD的长；
（2）求证：B F=EF；
（3）求△BDE的面积．。