(典型题)初中数学八年级数学下册第五单元《分式与分式方程》测试卷(包含答案解析)(1)

一、选择题
1．已知一个三角形三边的长分别为5，7，a ，且关于y 的分式方程
45233y a a
y y ++=--的解是非负数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）
A ．24
B ．15
C ．12
D ．7
2．已知关于x 的分式方程131k x x
=+无解，则k 的值为（ ） A ．0 B ．0或-1 C ．-1 D ．0或1
3
3．H7N9病毒直径为30纳米，已知1纳米=0.000 000 001米．用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（ ） A ．93010-⨯米 B ．83.010-⨯米
C ．103.010-⨯米
D ．90.310-⨯米
4．下列关于分式
2
x x
+的各种说法中，错误的是（ ）． A ．当0x =时，分式无意义 B ．当2x >-时，分式的值为负数 C ．当2x <-时，分式的值为正数
D ．当2x =-时，分式的值为0
5．某市铺设一条长660米的管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天铺设的管道长比计划增加10%，结果提前6天完工，求实际每天铺设管道长度及实际施工天数，小明列出方程：660660
(110%)
x x -+=6，题中x 表示的量为（ ） A ．实际每天铺设管道长度 B ．实际施工天数
C ．计划施工天数
D ．计划每天铺设管道的长度
6．如果分式
1
1
m m -+的值为零，则m 的值是（ ） A ．1m =- B ．1m = C ．1m =± D ．0m =
7．下列各分式中，最简分式是（ ）
A ．6()8()x y x y -+
B ．22y x x y --
C ．22
22
x y x y xy ++ D ．22
2()
x y x y -+ 8．如图，若x 为正整数，则表示321132
7121
(1)(1)543x x x x x x x x x
--++--÷++++的值的点落在（ ）．
A ．段①
B ．段②
C ．段③
D ．段④
9．若x 2y 5=，则x y y
+的值为（ ） A ．
25 B ．
72
C ．
57
D ．
75
10．下列计算正确的是（ ） A ．22a a a ⋅= B ．623a a a ÷= C ．2222a b ba a b
-=- D ．3339()28a a
-
=- 11．将0.50.0110.20.03
x x
+-=的分母化为整数，得（ ） A ．0.50.01123x x +-= B ．5051003x
x +-= C ．
0.50.01100203
x x +-= D ．50513
x
x +-
= 12．如果分式21
21
x x -+的值为0，则x 的值是（ ）
A ．1
B ．0
C ．1-
D ．±1
二、填空题
13．化简2242()44224
x x
x x x x -+÷
++++的结果是_______． 14．若231x x +=-，则11
x
x _______________________．
15．某种病毒的直径为0.0000000028米，用科学记数法表示为______米．
16．一艘轮船在静水中的最大航速为60km/h ，它以最大航速沿江顺流航行240km 所用时间与以最大航速逆流航行120km 所用时间相同，则江水的流速为________km/h ．
17．对于实数a 、b ，定义一种运算“⊗”为：2
(1)
a a
b ab a
-⊗=-有下列命题：
①1(3)3⊗-=； ②a b b a ⊗=⊗； ③方程11
02
x
的解为12
x =
； ④若函数(2)y x =-⊗的图象经过(1,)A m -，(3,)B n 两点，则m n <，其中正确命题的序号是__．（把所有正确命题的序号都填上）
18．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg ，甲型机器人搬运800kg 所用时间与乙型机器人搬运600kg 所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg 产品？ 根据以上信息，解答下列问题．
（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，可列方程为______小惠同学设甲型机
器人搬运800kg 所用时间为y 小时，可列方程为____________． （2）乙型机器人每小时搬运产品_______________kg ． 19．若()()0
2
3248x x ----有意义，则x 的取值范围是______．
20．如果13x y =，那么22
x xy
y -=______． 三、解答题
21．一个电器超市购进A ，B 两种型号的电风扇后进行销售，若一台A 种型号的电风扇进价比一台B 种型号的电风扇进价多30元，用2000元购进A 种型号电风扇的数量是用3400元购进B 种型号电风扇的数量的一半．
（1）求每台A 种型号电风扇和B 种型号的电风扇进价分别是多少？
（2）该超市A 种型号电风扇每台售价260元，B 种型号电风扇每件售价190元，超市根据市场需求，决定再采购这两种型号的电风扇共30台，若本次购进的两种电风扇全部售出后，总获利不少于1400元，求该超市本次购进A 种型号的电风扇至少是多少台？ 22．化简：22234122m m m m m --⎛
⎫-÷ ⎪--⎝⎭
． 23．先化简，再求值：2111224
x x x -⎛⎫+÷
⎪--⎝⎭，其中3x =． 24．某同学化简分式22
2
1211x x x x x x +⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭出现了错误，解答过程如下： 原式＝222221
21121x x x x x x x x x x
++÷-÷-+--+
＝
332
222(1)(1)x x x x x x -+--- ＝
2
2
(1)2(1)x x x -+- （1）该同学解答过程从第 步开始错误的．
（2）写出此题正确的解答过程，并从－2＜x ＜3的范围内选取一个你喜欢的x 值代入求值．
25．（1）先化简，再求值：22
214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷
⎪--+⎝⎭
，其中12x =． （2）解不等式组3123
3112x x x x +<+⎧⎪
⎨->-⎪⎩
．
26．清江山水华府小区物业，将对小区内部非活动区域进行绿化．甲工程队用m 天完成这项工程的三分之一，为加快工程进度，乙工程队参与绿化建设，两队合作用5天完成这一项工程．
（1）若10m =，求乙工程队单独完成这项工程所需的时间；
（2）求m 的取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据三角形的三边关系确定a 的取值范围，再根据分式方程的解是非负数确定a 的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论. 【详解】
解：
45233y a a
y y
++=-- 去分母得:4526y a a y +-=- 移项得:6y a -=-+ ∴6y a =-
∵分式方程的解为非负数， ∴60a -≥ ∴6a ≤，且a≠3
∵三角形的三边为:5，7，a ， ∴212a << ∴26a <≤， 又∵a≠3，且为整数， ∴a 可取4，5，6，和为15. 故选：B. 【点睛】
本题考查了三角形的三边关系、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式（组）解集，求出不等式（组）的整数解.
2．D
解析：D 【分析】
此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出k 的值即可． 【详解】
解：分式方程去分母得：33x kx k =+ ，即 ()313k x k -=- ，
当310k -=，即 1
3
k =时，方程无解； 当x=-1时，-3k+1=-3k ，此时k 无解； 当x=0时，0=-3k ，k=0，方程无解；
综上，k 的值为0或 13
． 故答案为：D ． 【点睛】
本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
3．B
解析：B 【分析】
由于1纳米=10-9米，则30纳米=30×10-9米，然后根据幂的运算法则计算即可． 【详解】
解：1纳米=0.000 000 001米=10-9米， 30纳米=30×10-9米=3×10-8米． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了科学记数法-表示较小的数：用a×10n （1≤a ＜10，n 为负整数）表示较小的数．
4．B
解析：B 【分析】
根据分式的定义和性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】
当0x =时，分式无意义，选项A 正确；
当2x >-时，分式的值可能为负数，可能为正数，故选项B 错误； 当2x <-时，20x +<，分式的值为正数，选项C 正确； 当2x =-时，20x +=，分式的值为0，选项D 正确； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式的性质，从而完成求解．
5．D
解析：D 【分析】
根据计划所用时间-实际所用时间=6，可知方程中未知数x 所表示的量． 【详解】
解：设原计划每天铺设管道x 米，则实际每天铺设管道()110%x +，
根据题意，可列方程：
660
6
(110%)
660
x x
-=
+
，
所以小明所列方程中未知数x所表示的量是计划每天铺设管道的长度，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是依据所给方程还原等量关系．6．B
解析：B
【分析】
先根据分式为零的条件列出关于m的不等式组并求解即可．
【详解】
解：∵
1
1 m
m
-
+
=0
∴m-1=0，m+1≠0，解得m=1．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键，同时分母不等于零是解答本题的易错点．
7．C
解析：C
【分析】
分式的分子和分母没有公因式的分式即为最简分式，根据定义解答．
【详解】
A、6()
8()
x y
x y
-
+
=
3()
4()
x y
x y
-
+
，故该项不是最简分式；
B、
22
y x
x y
-
-
=-x-y，故该项不是最简分式；
C、
22
22
x y
x y xy
+
+
分子分母没有公因式，故该项是最简分式；
D、
22
2
()
x y
x y
-
+
=
x y
x y
-
+
，故该项不是最简分式；
故选：C．
【点睛】
此题考查最简分式定义，化简分式，掌握方法将分式的化简是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
将原式分子分母因式分解，再利用分式的混合运算法则化简，最后根据题意求出化简后分
式的取值范围，即可选择． 【详解】
原式2
2
1(1)
7121
1543(1)x x x x x x x
-++=-++++ 1(3)(4)11(1)(4)3x
x x x x
x x x x -++=-++++ 1111x x x
-=
-++ 1
x x =
+ 又因为x 为正整数，
所以
1121x x ≤<+， 故选B ． 【点睛】
本题考查分式的化简及分式的混合运算，最后求出化简后的分式的取值范围是解答本题关键．
9．D
解析：D 【分析】
根据同分母分式的加法逆运算得到x y x y y y y +=+，将x 2
y 5
=代入计算即可． 【详解】
解：∵
x 2
y 5
=， ∴x y x y 2y y y 5+=+=+17
5
=， 故选：D ． 【点睛】
此题考查同分母分式的加减法，已知式子的值求分式的值．
10．C
解析：C 【分析】
A 、
B 两项利用同底数幂的乘除法即可求解，
C 项利用合并同类项法则计算即可，
D 项利用分式的乘方即可得到结果，即可作出判断． 【详解】
解：A 、原式=a 3，不符合题意； B 、原式=a 4，不符合题意； C 、原式=-a 2b ，符合题意； D 、原式=3
27
8a - ，不符合题意， 故选：C ． 【点睛】
此题考查了分式的乘方，合并同类项，以及同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．D
解析：D 【分析】
根据分式的基本性质求解． 【详解】
解：将
0.50.0110.20.03x x +-=的分母化为整数，可得50513x x +-=． 故选：D ． 【点睛】
本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键．
12．D
解析：D 【分析】
直接利用分式的值为零的条件，即分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【详解】
解：∵分式21
21
x x -+值为0，
∴2x+1≠0，210x -=， 解得：x=±1． 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分子为零分母不为零是解题关键．
二、填空题
13．2【分析】先约分再算加法然后把除法化为乘法进而即可求解【详解】原式=====2故答案是：2【点睛】本题主要考查分式的化简掌握分式的四则混合运算法则是解题的关键
解析：2 【分析】
先约分，再算加法，然后把除法化为乘法，进而即可求解． 【详解】
原式=2
(2)(2)2(2)224x x x
x x x ⎡⎤+-+÷⎢⎥+++⎣⎦ =()
2
22222x x x x x -⎡⎤+÷⎢⎥
+++⎣⎦ =()222222x x x x x +-⎡⎤+⋅⎢⎥++⎣⎦
=
()222x x x x
+⋅+ =2， 故答案是：2． 【点睛】
本题主要考查分式的化简，掌握分式的四则混合运算法则，是解题的关键．
14．【分析】先将化为再由得然后代入计算即可【详解】解：先把原式变为：∵∴∴故填：-2【点睛】本题主要考查了代数式求值和分式的加减运算根据题意对已有等式和代数式灵活变形是解答本题的关键 解析：2-
【分析】
先将1
1x x 化为211
x x x +-+，再由231x x +=-得213x x =--，然后代入计算即可．
【详解】
解：先把原式变为：2
1111
1
1
1
1
x x x x x x x x x ∵231x x +=- ∴213x x =-- ∴2
21113121
1
1
x x x x x x x x ．
故填：-2． 【点睛】
本题主要考查了代数式求值和分式的加减运算，根据题意对已有等式和代数式灵活变形是解答本题的关键．
15．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示一般形式为a×10-n 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解：000000 解析：92.810-⨯
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记
数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】
解：0.0000000028=2.8×10-9， 故答案为：92.810-⨯． 【点睛】
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
16．20【分析】由顺水船速＝静水船速+水速逆水船速＝静水船速﹣水速设未知数根据两不同航程时间相同列出方程即可求出答案【详解】解：设江水的流速为根据题意可得：解得：经检验：是原方程的根故答案为20【点睛】
解析：20 【分析】
由顺水船速＝静水船速+水速，逆水船速＝静水船速﹣水速，设未知数根据两不同航程时间相同列出方程即可求出答案． 【详解】
解：设江水的流速为/x km h ，根据题意可得：
240120
6060x x
=+-， 解得：20x
，
经检验：20x 是原方程的根， 故答案为20． 【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
17．①④【分析】根据新定义对①②直接进行判断；根据新定义得解得经检验原方程无实数解可对③进行判断；根据新定义得到然后根据一次函数的性质对④进行判断【详解】解：所以①正确；所以②不正确；由于方程所以解得经
解析：①④ 【分析】
根据新定义对①②直接进行判断；根据新定义得
2
11
121
012
2
x x
x
，解得
1
2
x =
，经检验原方程无实数解，可对③进行判断；根据新定义得到9
22
y x
，然后根据一次函数的性质对④进行判断． 【详解】
解：2(11)1(3)1(3)
31，所以①正确； 2(1)a a b ab a
-⊗=-，2
(1)b b a ab b ，所以②不正确； 由于方程1102x ，所以2111210122x x x ，解得12x =，经检验原方程无实数解，所以③错误；
函数2
(21)9(2)2222y x x x ，因为(1,)A m -，(3,)B n 在函数922
y x =-，所以m n <，所以④正确；
综上所述，正确的是：①④； 故答案为①④．
【点睛】
本题考查了命题，新定义下实数的运算，分式方程，一次函数的性质特点，熟悉相关性质是解题的关键．
18．【分析】（1）设乙型机器人每小时搬运产品根据甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等列方程；设甲型机器人搬运所用时间为小时根据甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运列方程；（2）设乙型机器人每
解析：80060010x x =+80060010y
y =+ 【分析】
（1）设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，根据甲型机器人搬运800kg 所用时间与乙型机器人搬运600kg 所用时间相等列方程；设甲型机器人搬运800kg 所用时间为y 小时，根据甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg 列方程；
（2）设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，则甲型机器人每小时搬运（x+10）kg ，由题意得80060010x x
=+，解方程即可． 【详解】 （1）设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，则甲型机器人每小时搬运（x+10）kg ，由题意得 80060010x x
=+， 设甲型机器人搬运800kg 所用时间为y 小时，由题意得
80060010y y
=+， 故答案为：80060010x x
=+，80060010y y =+； （2）设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，则甲型机器人每小时搬运（x+10）kg ，由题意得
80060010x x
=+， 解得x=30，
经检验，x=30是方程的解，
答：乙型机器人每小时搬运产品30kg ．
故答案为：30．
【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意，利用直接设未知数的方法和间接设未知数的方法列方程解决问题，注意：解分式方程需检验．
19．且【分析】根据0指数幂及负整数指数幂有意义的条件列出关于x 的不等式组求出x 的取值范围即可【详解】解：∵（x-3）0-（4x-8）-2有意义∴解得x≠3且x≠2故答案为：x≠3且x≠2【点睛】本题考查
解析：2x ≠，且3x ≠
【分析】
根据0指数幂及负整数指数幂有意义的条件列出关于x 的不等式组，求出x 的取值范围即可．
【详解】
解：∵（x-3）0-（4x-8）-2有意义，
∴30480x x -≠⎧⎨-≠⎩
， 解得x≠3且x≠2．
故答案为：x≠3且x≠2．
【点睛】
本题考查的是负整数指数幂，熟知非0数的负整数指数幂等于该数正整数指数幂的倒数是解答此题的关键．
20．【分析】先给的分子分母同除然后再代入计算即可【详解】解：给的分子分母同除得=故答案为【点睛】本题考查了代数式求值掌握整体思想是解答本题的关键 解析：29
- 【分析】 先给22x xy y
-的分子分母同除2y ，然后再代入计算即可． 【详解】 解：给22x xy y
-的分子分母同除2y ，得
2
1
x x y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=221111233939x x y y ⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为29
-． 【点睛】 本题考查了代数式求值，掌握整体思想是解答本题的关键．
三、解答题
21．（1）每台A 种型号电风扇的进价为200元，则B 种型号的电风扇进价是170元；（2）20台
【分析】
（1）合理引进未知数，列分式方程求解即可；
（2）把问题转化为不等式问题求解即可．
【详解】
解：（1）设每台A 种型号电风扇的进价为x 元，则B 种型号的电风扇进价是()30x -元，根据题意可得：
200013400230
x x =⨯- 解得：200x =，
经检验得：200x =是原方程的根，
则30170x -=，
答：每台A 种型号电风扇的进价为200元，则B 种型号的电风扇进价是170元；
（2）设购进A 种型号的电风扇a 台，则设购进B 种型号的电风扇()30a -台，根据题意可得：
()()()260200190170301400a a -+--≥
解得：20a ≥，
答：该超市本次购进A 种型号的电风扇至少是20台．
【点睛】
本题考查了分式方程，不等式的整数解，熟练掌握分式应用题的求解法，不等式的整数解求解方法是解题的关键．
22．1
m m + 【分析】
先把括号内的进行通分，然后除以一个数等于乘以这个数的倒数，把分子分母因式分解后进行约分计算即可；
【详解】
()()()22223441222411m m m m m m m m m m m m m ----⎛⎫-÷=⨯= ⎪----++⎝⎭
； 【点睛】
本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则；
23．
21x +，12
． 【分析】 先把括号里的式子通分进行减法计算，再把除法转化成乘法进行计算，最后把x 的值代入计算即可．
【详解】 解：原式()()()22221241222111
1x x x x x x x x x x --+--=⋅=⋅=---++-， 当3x =时，原式2112
x =
=+． 【点睛】 本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则进行计算．
24．（1）一 ；（2）解答过程见解析，当2x =时，原式＝4．
【分析】
（1）根据除法没有分配律，判断即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：（1）该同学解答过程从第一步开始错误的；
故答案为：一；
（2）2221211x x x x x x +⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭ 2(1)2(1)(1)(1)
x x x x x x x +--=÷-- 2(1)(1)(1)1
x x x x x x +-=⋅-+ 2
1
x x =-， 要使原式有意义，1x ≠，0，1-，
则当2x =时，原式2
2421
==-． 【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．1）()212x -；49
；（2）325x << 【分析】
（1）首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后代值计算；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】
解：（1）22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭
=2(2)(2)(2)(2)4x x x x x x x x x +--+--- =24(2)4
x x x x x --- =()212x -；
当12x =时，原式=22114==913222⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
（2）31233112x x x x +<+⎧⎪⎨->-⎪⎩
①② 解不等式①得，x<2；
解不等式②得，x>35
； ∴不等式组的解集为：325
x << 【点睛】
本题考查的是分式的化简求值以及求解一元一次不等式组，熟知运算的法则是解答此题的关键．
26．（1）乙工程队单独完成这项工程需要10天；（2） 2.5m >
【分析】
（1）甲工程队用10天完成这项工程的三分之一，则每天完成
130
的工程量，设乙工程队单独完成这项工程需要x 天，列分式方程求解即可； （1）甲工程队用m 天完成这项工程的三分之一，则每天完成
13m
的工程量，设乙工程队单独完成这项工程需要x 天，列分式方程，结合x 和m 都是正数，即可求解．
【详解】
解：（1）设乙工程队单独完成这项工程需要x天．
由题意，得111
51 330x
⎛⎫
++⨯=
⎪
⎝⎭
，
解得10
x=．
经检验10
x=是原分式方程的解且符合题意，答：乙工程队单独完成这项工程需要10天；
（2）由题意，得111
51 33m x
⎛⎫
++⨯=
⎪
⎝⎭
，
解得
15
25
m
x
m
=
-
．0
x，0
m>，
250
m
∴->，
2.5
m
∴>．
即m的取值范围是 2.5
m>．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量=工作效率×工作时间．。