上海田林第三中学七年级下册数学期末试卷培优测试卷 (2)

上海田林第三中学七年级下册数学期末试卷培优测试卷
一、解答题
1．如图1，AB //CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点O 在直线AB 、CD 之间，且
100EOF ∠=︒．
（1）求BEO OFD ∠+∠的值；
（2）如图2，直线MN 分别交BEO ∠、OFC ∠的角平分线于点M 、N ，直接写出
EMN FNM ∠-∠的值；
（3）如图3，EG 在AEO ∠内，AEG m OEG ∠=∠；FH 在DFO ∠内，DFH m OFH ∠=∠，直线MN 分别交EG 、FH 分别于点M 、N ，且
50FMN ENM ∠-∠=︒，直接写出m 的值．
2．综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线,a b ，且,a b ABC //是直角三角形，90BCA ∠=︒，操作发现：
（1）如图1．若148∠=︒，求2∠的度数；
（2）如图2，若30,1A ∠=︒∠的度数不确定，同学们把直线a 向上平移，并把2∠的位置改
∠-∠=︒，请说明理由．
变，发现21120
（3）如图3，若∠A=30°，AC平分BAM
∠，此时发现1
∠与2
∠又存在新的数量关系，请写出1
∠与2
∠的数量关系并说明理由．
3．已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截，∠1＝∠2．
（1）求证：AB//CD；
（2）如图（2），点E在AB，CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过P点作PH//EQ交CD于点H，连接PQ，若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度数．
4．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；
（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．
5．已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连HM，HN．（1）如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．求证：2∠MEN﹣∠MHN＝180°；
（2）如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．
①请直接写出∠MEN与∠MHN的数量关系：；
②作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线于点Q，若∠H＝140°，求∠ENQ的度数．（可直接运用①中的结论）
二、解答题
6．如图，以直角三角形AOC 的直角顶点О为原点，以OC 、OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点()0,A a ，(),0C b 满足220a b b -+-=．
（1）C 点的坐标为______；A 点的坐标为______．
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q 点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动，点Q 到达A 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是()1,2，设运动时间为
()0t t >．问：是否存在这样的t ，使ODP
ODQ
S
S
=？若存在，请求出t 的值：若不存在，请
说明理由．
（3）如图2，过O 作//OG AC ，作AOF AOG ∠=∠交AC 于点F ，点E 是线段OA 上一动点，连CE 交OF 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，OHC ACE
OEC
∠+∠∠的值是否会
发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
7．已知//a b ，直角ABC 的边与直线a 分别相交于O 、G 两点，与直线b 分别交于E ，F 点，且90ACB ∠=︒．
（1）将直角ABC 如图1位置摆放，如果56AOG ∠=︒，则CEF ∠=________； （2）将直角ABC 如图2位置摆放，N 为AC 上一点，180NEF CEF ∠+∠=︒，请写出
NEF ∠与AOG ∠之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角ABC 如图3位置摆放，若135GOC ∠=︒，延长AC 交直线b 于点Q ，点P 是射线GF 上一动点，探究,POQ OPQ ∠∠与PQF ∠的数量关系，请直接写出结论． 8．如图1所示：点E 为BC 上一点，∠A ＝∠D ，AB ∥CD （1）直接写出∠ACB 与∠BED 的数量关系；
（2）如图2，AB ∥CD ，BG 平分∠ABE ，BG 的反向延长线与∠EDF 的平分线交于H 点，若∠DEB 比∠GHD 大60°，求∠DEB 的度数；
（3）保持（2）中所求的∠DEB 的度数不变，如图3，BM 平分∠EBK ，DN 平分∠CDE ，作BP ∥DN ，则∠PBM 的度数是否改变？若不发生变化，请求它的度数，若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
9．阅读下面材料：
小颖遇到这样一个问题：已知：如图甲，//,AB CD E 为,AB CD 之间一点，连接,,35,37BE DE B D ∠=︒∠=︒，求BED ∠的度数．
她是这样做的： 过点E 作//,EF AB 则有,BEF B ∠=∠ 因为//,AB CD 所以//.EF CD ① 所以,FED D ∠=∠
所以,BEF FED B D ∠+∠=∠+∠ 即BED ∠=_ ； 1．小颖求得BED ∠的度数为__ ； 2．上述思路中的①的理由是__ ； 3．请你参考她的思考问题的方法，解决问题：
已知：直线//,a b 点,A B 在直线a 上，点,C D 在直线b 上，连接,,AD BC BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠且,BE DE 所在的直线交于点E ．
（1）如图1，当点B 在点A 的左侧时，若,ABC ADC αβ∠=∠=，则BED ∠的度数
为 ；(用含有,αβ的式子表示)．
（2）如图2，当点B 在点A 的右侧时，设,ABC ADC αβ∠=∠=，直接写出BED ∠的度数(用含有,αβ的式子表示)．
10．（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b ，使直线b 经过点P ，且//b a ，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：
②在（1）中的步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点P 的直线a 的 线．
（2）已知，如图3，//AB CD ，BE 平分ABC ∠，CF 平分BCD ∠．求证：//BE CF （写出每步的依据）．
三、解答题
11．如图，直线//AB CD ，E 、F 是AB 、CD 上的两点，直线l 与AB 、CD 分别交于点
G 、H ，点P 是直线l 上的一个动点（不与点G 、H 重合），连接PE 、PF ．
（1）当点P 与点E 、F 在一直线上时，GEP EGP ∠=∠，60FHP ∠=︒，则
PFD ∠=_____．
（2）若点P 与点E 、F 不在一直线上，试探索AEP ∠、EPF ∠、CFP ∠之间的关系，并证明你的结论．
12．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为__________
（2）如图1，已知∠MON ＝60°，在射线OM 上取一点A ，过点A 作AB ⊥OM 交ON 于点B ，以A 为端点作射线AD ，交线段OB 于点C （点C 不与O 、B 重合），若∠ACB =80°．判定△AOB 、△AOC 是否是“梦想三角形”，为什么？
（3）如图2，点D 在△ABC 的边上，连接DC ，作∠ADC 的平分线交AC 于点E ，在DC 上取一点F ，使得∠EFC +∠BDC ＝180°，∠DEF ＝∠B ．若△BCD 是“梦想三角形”，求∠B 的度数．
13．在ABC 中，射线AG 平分BAC ∠交BC 于点G ，点D 在BC 边上运动（不与点G 重合），过点D 作//DE AC 交AB 于点E .
（1）如图1，点D 在线段CG 上运动时，DF 平分EDB ∠.
①若100BAC ︒∠=，30C ︒∠=，则AFD ∠=_____；若40B ︒∠=，则AFD ∠=_____； ②试探究AFD ∠与B 之间的数量关系？请说明理由；
（2）点D 在线段BG 上运动时，BDE ∠的角平分线所在直线与射线AG 交于点F .试探究AFD ∠与B 之间的数量关系，并说明理由.
14．问题情境：如图1，AB ∥CD ，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC 度数． 小明的思路是：如图2，过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°． 问题迁移：
(1)如图3，AD ∥BC ，点P 在射线OM 上运动，当点P 在A 、B 两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD 、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； (2)在(1)的条件下，如果点P 在A 、B 两点外侧运动时(点P 与点A 、B 、O 三点不重合)，请你直接写出∠CPD 、∠α、∠β间的数量关系．
15．已知，如图1，直线l 2⊥l 1，垂足为A ，点B 在A 点下方，点C 在射线AM 上，点B 、C 不与点A 重合，点D 在直线11上，点A 的右侧，过D 作l 3⊥l 1，点E 在直线l 3上，点D 的下方．
（1）l 2与l 3的位置关系是 ；
（2）如图1，若CE 平分∠BCD ，且∠BCD ＝70°，则∠CED ＝ °，∠ADC ＝ °； （3）如图2，若CD ⊥BD 于D ，作∠BCD 的角平分线，交BD 于F ，交AD 于G ．试说明：∠DGF ＝∠DFG ；
（4）如图3，若∠DBE ＝∠DEB ，点C 在射线AM 上运动，∠BDC 的角平分线交EB 的延长线于点N ，在点C 的运动过程中，探索∠N:∠BCD 的值是否变化，若变化，请说明理由；若不变化，请直接写出比值．
【参考答案】
一、解答题
1．（1） ；（2）的值为40°；（3）． 【分析】
（1）过点O 作OG ∥AB ，可得AB ∥OG ∥CD ，利用平行线的性质可求解； （2）过点M 作MK ∥AB ，过点N 作NH ∥CD ，由角平分线的定义可设∠BEM 解析：（1）260BEO DFO ∠+∠=︒ ；（2）EMN FNM ∠-∠的值为40°；（3）5
3
．
【分析】
（1）过点O 作OG ∥AB ，可得AB ∥OG ∥CD ，利用平行线的性质可求解；
（2）过点M 作MK ∥A B ，过点N 作NH ∥CD ，由角平分线的定义可设∠BEM =∠OEM =x ，∠CFN =∠OFN =y ，由∠BEO +∠DFO =260°可求x -y =40°，进而求解；
（3）设直线FK 与EG 交于点H ，FK 与AB 交于点K ，根据平行线的性质即三角形外角的性质及50FMN ENM ∠-∠=︒，可得50KFD AEG ∠-∠=︒，结合260AEG n OEG DFK n OFK BEO DFO ∠=∠=∠∠+∠=︒，，，可得
11
180100AEG AEG KFD KFD n n ∠+∠+︒-∠-∠=︒，
即可得关于n 的方程，计算可求解n 值． 【详解】
证明：过点O 作OG ∥AB ，
∵AB ∥CD ， ∴AB ∥OG ∥CD ，
∴180180BEO EOG DFO FOG ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴360BEO EOG DFO FOG ∠+∠+∠+∠=︒， 即360BEO EOF DFO ∠+∠+∠=︒， ∵∠EOF =100°，
∴∠260BEO DFO +∠=︒；
（2）解：过点M 作MK ∥AB ，过点N 作NH ∥CD ，
∵EM 平分∠BEO ，FN 平分∠CFO ， 设BEM OEM x CFN OFN y ∠=∠=∠=∠=，， ∵260BEO DFO ∠+∠=︒
∴21802260BEO DFO x y ∠+∠=+︒-=︒， ∴x -y =40°，
∵MK ∥AB ，NH ∥CD ，AB ∥CD ， ∴AB ∥MK ∥NH ∥CD ，
∴EMK BEM x HNF CFN y KMN HNM ∠=∠=∠=∠=∠=∠，，， ∴EMN FNM EMK KMN HNM HNF ∠+∠=∠+∠-∠+∠（） x KMN HNM y =+∠-∠-
=x -y =40°，
故EMN FNM ∠-∠的值为40°；
（3）如图，设直线FK 与EG 交于点H ，FK 与AB 交于点K ，
∵AB ∥CD ， ∴AKF KFD ∠=∠，
∵AKF EHK HEK EHK AEG ∠=∠+∠=∠+∠， ∴KFD EHK AEG ∠=∠+∠， ∵50EHK NMF ENM ∠=∠-∠=︒， ∴50KFD AEG ∠=︒+∠， 即50KFD AEG ∠-∠=︒，
∵AEG n OEG ∠=∠，FK 在∠DFO 内，DFK n OFK ∠=∠．
∴1
180180CFO DFK OFK KFD KFD n ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠ ，
1
AEO AEG OEG AEG AEG n ∠=∠+∠=∠+∠，
∵260BEO DFO ∠+∠=︒， ∴100AEO CFO ∠+∠=︒，
∴11
180100AEG AEG KFD KFD n n ∠+∠+︒-∠-∠=︒，
即(180)1KFD AEG n ⎛⎫
⎪⎝∠⎭
+-∠︒＝， ∴115080n ⎛⎫
⎪⨯⎭
︒︒⎝+＝， 解得53
n = ． 经检验，符合题意， 故答案为：5
3
．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
2．（1）42°；（2）见解析；（3）∠1=∠2，理由见解析 【分析】
（1）由平角定义求出∠3=42°，再由平行线的性质即可得出答案； （2）过点B 作BD ∥a ．由平行线的性质得∠2+∠ABD=180°
解析：（1）42°；（2）见解析；（3）∠1=∠2，理由见解析 【分析】
（1）由平角定义求出∠3=42°，再由平行线的性质即可得出答案；
（2）过点B 作BD ∥a ．由平行线的性质得∠2+∠ABD =180°，∠1=∠DBC ，则∠ABD =∠ABC -∠DBC =60°-∠1，进而得出结论；
（3）过点C 作CP ∥a ，由角平分线定义得∠CAM =∠BAC =30°，∠BAM =2∠BAC =60°，由平行线的性质得∠1=∠BAM =60°，∠PCA =∠CAM =30°，∠2=∠BCP =60°，即可得出结论． 【详解】
解：（1）∵∠1=48°，∠BCA =90°，
∴∠3=180°-∠BCA-∠1=180°-90°-48°=42°，∵a∥b，
∴∠2=∠3=42°；
（2）理由如下：
过点B作BD∥a．如图2所示：
则∠2+∠ABD=180°，
∵a∥b，
∴b∥BD，
∴∠1=∠DBC，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，
∴∠2+60°-∠1=180°，
∴∠2-∠1=120°；
（3）∠1=∠2，理由如下：
过点C作CP∥a，如图3所示：
∵AC平分∠BAM
∴∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，又∵a∥b，
∴CP∥b，∠1=∠BAM=60°，
∴∠PCA=∠CAM=30°，
∴∠BCP=∠BCA-∠PCA=90°-30°=60°，
又∵CP∥a，
∴∠2=∠BCP=60°，
∴∠1=∠2．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质是解题的关键．
3．（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线
解析：（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线的性质即可证明；
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，想办法构建方程即可解决问题；
【详解】
（1）如图1中，
∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB//CD．
（2）结论：如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
理由：作EH//AB．
∵AB//CD，EH//AB，
∴EH//CD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4，
∴∠PEQ＝∠1+∠4，
同法可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD，
∵∠BPE＝2∠BPF，∠EQD＝2∠FQD，∠1+∠BPE＝180°，∠4+∠EQD＝180°，
∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE＝2×180°，
即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°，
∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，
∵EQ//PH，
∴∠EQC＝∠PHQ＝x，
∴x+10y＝180°，
∵AB//CD，
∴∠BPH＝∠PHQ＝x，
∵PF平分∠BPE，
∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH，
∴∠FPH＝y+z﹣x，
∵PQ平分∠EPH，
∴Z＝y+y+z﹣x，
∴x＝2y，
∴12y＝180°，
∴y＝15°，
∴x＝30°，
∴∠PHQ＝30°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识．（2）中能正确作出辅助线是解题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键．4．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．
【分析】
（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；
（2）
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．
【分析】
（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝
∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；
（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；
（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．
【详解】
解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，
∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，∵CD∥AB，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∵∠ECM+∠ECN＝180°，
∵∠ECN＝∠CAB
∴∠ECM＝∠ACD，
即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠MCA＝∠DCE；
（3）∵AF∥CG，
∴∠GCA+∠FAC＝180°，
∵∠CAB＝60°
即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，
∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，
由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，
∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，
∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，
又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，
∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，
∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，
∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA
＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF
＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF
＝120°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．
5．（1）见解析；（2）①2∠MEN＋∠MHN＝360°；②20°
【分析】
（1）过点E作EP∥AB交MH于点Q，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等即
解析：（1）见解析；（2）①2∠MEN＋∠MHN＝360°；②20°
【分析】
（1）过点E作EP∥AB交MH于点Q，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证．
（2）①过点H作GI∥AB，利用（1）中结论2∠MEN﹣∠MHN＝180°，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等得出∠AMH＋∠HNC＝360°﹣（∠BMH＋∠HND），进而用等量代换得出2∠MEN＋∠MHN＝360°．
②过点H作HT∥MP，由①的结论得2∠MEN＋∠MHN＝360°，∠H＝140°，∠MEN＝110°．利用平行线性质得∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°，由角平分线性质及邻补角可得∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣1
2
（180°﹣∠BMH）＝180°．继续使用等量代换可得∠ENQ度数．【详解】
解：（1）证明：过点E作EP∥AB交MH于点Q．如答图1
∵EP∥AB且ME平分∠BMH，
∴∠MEQ＝∠BME＝1
2
∠BMH．
∵EP∥AB，AB∥CD，
∴EP∥CD，又NE平分∠GND，
∴∠QEN＝∠DNE＝1
2
∠GND．（两直线平行，内错角相等）
∴∠MEN＝∠MEQ＋∠QEN＝1
2∠BMH＋1
2
∠GND＝1
2
（∠BMH＋∠GND）．
∴2∠MEN＝∠BMH＋∠GND．
∵∠GND＋∠DNH＝180°，∠DNH＋∠MHN＝∠MON＝∠BMH．∴∠DHN＝∠BMH﹣∠MHN．
∴∠GND＋∠BMH﹣∠MHN＝180°，
即2∠MEN﹣∠MHN＝180°．
（2）①：过点H作GI∥AB．如答图2
由（1）可得∠MEN＝1
2
（∠BMH＋∠HND），
由图可知∠MHN＝∠MHI＋∠NHI，
∵GI∥AB，
∴∠AMH＝∠MHI＝180°﹣∠BMH，
∵GI∥AB，AB∥CD，
∴GI∥CD．
∴∠HNC＝∠NHI＝180°﹣∠HND．
∴∠AMH＋∠HNC＝180°﹣∠BMH＋180°﹣∠HND＝360°﹣（∠BMH＋∠HND）．又∵∠AMH＋∠HNC＝∠MHI＋∠NHI＝∠MHN，
∴∠BMH＋∠HND＝360°﹣∠MHN．
即2∠MEN＋∠MHN＝360°．
故答案为：2∠MEN＋∠MHN＝360°．
②：由①的结论得2∠MEN＋∠MHN＝360°，
∵∠H＝∠MHN＝140°，
∴2∠MEN＝360°﹣140°＝220°．
∴∠MEN＝110°．
过点H作HT∥MP．如答图2
∵MP∥NQ，
∴HT∥NQ．
∴∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵MP平分∠AMH，
∴∠PMH＝1
2∠AMH＝1
2
（180°﹣∠BMH）．
∵∠NHT＝∠MHN﹣∠MHT＝140°﹣∠PMH．
∴∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣1
2
（180°﹣∠BMH）＝180°．
∵∠ENH＝1
2
∠HND．
∴∠ENQ＋1
2∠HND＋140°﹣90°＋1
2
∠BMH＝180°．
∴∠ENQ＋1
2
（HND＋∠BMH）＝130°．
∴∠ENQ＋1
2
∠MEN＝130°．
∴∠ENQ＝130°﹣110°＝20°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，邻补角，等量代换，角之间的数量关系运算，辅助线的作法，正确作出辅助线是解题的关键，本题综合性较强．
二、解答题
6．（1），；（2）1；（3）不变，值为2
【分析】
（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a ，b 的值，再利用中点坐标公式即可得出答案；
（2）先得出CP=t ，OP=2-t ，OQ=2t ，AQ=4-
解析：（1）()2,0C ，()0,4A ；（2）1；（3）不变，值为2
【分析】
（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a ，b 的值，再利用中点坐标公式即可得出答案；
（2）先得出CP =t ，OP =2-t ，OQ =2t ，AQ =4-2t ，再根据S △ODP =S △ODQ ，列出关于t 的方程，求得t 的值即可；
（3）过H 点作AC 的平行线，交x 轴于P ，先判定OG ∥AC ，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出∠PHO =∠GOF =∠1+∠2，
∠OHC =∠OHP +∠PHC =∠GOF +∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入OHC ACE OEC
∠+∠∠进行计算即可． 【详解】
解：（1）∵2a b -+|b -2|=0， ∴a -2b =0，b -2=0， 解得a =4，b =2，
∴A （0，4），C （2，0）．
（2）存在， 理由：如图1中，D （1，2），
由条件可知：P 点从C 点运动到O 点时间为2秒，Q 点从O 点运动到A 点时间为2秒， ∴0＜t ≤2时，点Q 在线段AO 上， 即 CP =t ，OP =2-t ，OQ =2t ，AQ =4-2t ，
∴S △DOP =12•OP •y D =12（2-t ）×2=2-t ，S △DOQ =12•OQ •x D =1
2×2t ×1=t ，
∵S △ODP =S △ODQ ，
∴2-t =t ，
∴t =1．
（3）结论：OHC ACE OEC
∠+∠∠的值不变，其值为2．理由如下：如图2中，
∵∠2+∠3=90°， 又∵∠1=∠2，∠3=∠FCO ，
∴∠GOC +∠ACO =180°，
∴OG ∥AC ，
∴∠1=∠CAO ，
∴∠OEC =∠CAO +∠4=∠1+∠4，
如图，过H 点作AC 的平行线，交x 轴于P ，则∠4=∠PHC ，PH ∥OG ，
∴∠PHO =∠GOF =∠1+∠2，
∴∠OHC =∠OHP +∠PHC =∠GOF +∠4=∠1+∠2+∠4，
∴124414
OHC ACE OEC ∠+∠∠+∠+∠+∠=∠∠+∠=2． 【点睛】
本题主要考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
7．（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析
【分析】
（1）作CP//a ，则CP//a//b ，根据平行线的性质求解．
（2）作CP//a ，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠N
解析：（1）146°；（2）∠AOG +∠NEF =90°；（3）见解析
【分析】
（1）作CP //a ，则CP //a //b ，根据平行线的性质求解．
（2）作CP //a ，由平行线的性质及等量代换得∠AOG +∠NEF =∠ACP +∠PCB =90°．
（3）分类讨论点P 在线段GF 上或线段GF 延长线上两种情况，过点P 作a ，b 的平行线求解．
【详解】
解：（1）如图，作CP //a ，
∵a//b，CP//a，
∴CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，
∴∠BCP=180°-∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，
∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．
（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：
如图，作CP//a，则CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，
∵∠NEF+∠CEF=180°，
∴∠BCP=∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+∠NEF=90°．
（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,
∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，
∴∠GOP=135°-∠POQ，
∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．
如图，当点P 在GF 延长线上时，作PN //a ，连接PQ ，OP ,则PN //a //b ，
∴∠GOP =∠OPN ，∠PQF =∠NPQ ，
∵∠OPN =∠OPQ +∠QPN ，
∴∠GOP =∠OPQ +∠PQF ，
∴135°-∠POQ =∠OPQ +∠PQF ．
【点睛】
本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．
8．(1) ；(2) ；(3)不发生变化，理由见解析
【分析】
(1)如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据平行线的性质推出；
(2)如图2，过点E 作ES ∥AB ，过点H 作HT ∥AB ，根据AB ∥CD ，AB ∥E 解析：(1) +180ACB BED ∠∠=︒；(2) 100︒；(3)不发生变化，理由见解析
【分析】
(1)如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据平行线的性质推出+180ACB BED ∠∠=︒；
(2)如图2，过点E 作ES ∥AB ，过点H 作HT ∥AB ，根据AB ∥CD ，AB ∥ES 推出
BED ABE CDE ∠=∠+∠，再根据AB ∥TH ，AB ∥CD 推出GHD THD THB ∠=∠-∠，最后根据BED ∠比BHD ∠大60︒得出BED ∠的度数；
(3)如图3，过点E 作EQ ∥DN ，根据DEB CDE ABE ∠=∠+∠得出βα-的度数，根据条件再逐步求出PBM ∠的度数．
【详解】
(1)如答图1所示，延长DE 交AB 于点F ．
AB ∥CD ，所以D EFB ∠=∠，
又因为A D ∠=∠，所以A EFB ∠=∠，所以AC ∥DF ，所以ACB CED ∠=∠．
因为+180CED BED ∠∠=︒，所以+180ACB BED ∠∠=︒．
(2)如答图2所示，过点E 作ES ∥AB ，过点H 作HT ∥AB ．
设ABG EBG α∠=∠=，FDH EDH β∠=∠=，
因为AB ∥CD ，AB ∥ES ，所以ABE BES ∠=∠，SED CED ∠=∠，
所以21802BED BES SED ABE CDE αβ∠=∠+∠=∠+∠=+︒-，
因为AB ∥TH ，AB ∥CD ，所以ABG THB ∠=∠，FDH DHT ∠=∠，所以
GHD THD THB βα∠=∠-∠=-，
因为BED ∠比BHD ∠大60︒，所以2+1802()60αββα︒---=︒，所以40βα-=︒，所以
40BHD ∠=︒，所以100BED ∠=︒
(3)不发生变化
如答图3所示，过点E 作EQ ∥DN ．
设CDN EDN α∠=∠=，EBM KBM β∠=∠=，
由(2)易知DEB CDE ABE ∠=∠+∠，所以2+1802100αβ︒-=︒，所以40βα-=︒， 所以180()180DEB CDE EDN EBM PBM PBM αβ∠=∠+∠+︒-∠+∠=+︒--∠， 所以80()40PBM βα∠=︒--=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，求角的度数，正确作出相关的辅助线，根据条件逐步求出角度的度数是解题的关键．
9．；2．平行于同一条直线的两条直线平行；3．（1）；（2）．
【分析】
1、根据角度和计算得到答案；
2、根据平行线的推论解答；
3、（1）根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；
（2）根据B
解析：1.72；2．平行于同一条直线的两条直线平行；3．（1）1122
αβ+；（2）1118022
αβ-+． 【分析】
1、根据角度和计算得到答案；
2、根据平行线的推论解答；
3、（1）根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；
（2）根据BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠求出11,22
ABE CDE αβ∠=∠=，过点E 作EF ∥AB ，根据平行线的性质求出∠BEF =12α，11801802
DEF CDE β∠=︒-∠=︒-，再利用周角求出答案．
【详解】
1、过点E 作//,EF AB
则有,BEF B ∠=∠
因为//,AB CD
所以//.EF CD ①
所以,FED D ∠=∠
所以,BEF FED B D ∠+∠=∠+∠
即BED ∠=72；
故答案为：72；
2、过点E 作//,EF AB
则有,BEF B ∠=∠
因为//,AB CD
所以EF ∥CD （平行于同一条直线的两条直线平行），
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；
3、（1）∵BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠ ∴1111,2222
ABE ABC CDE ADC αβ∠=∠=∠=∠=， 过点E 作EF ∥AB ，由1可得∠BED =BEF FED ABE CDE ∠+∠=∠+∠，
∴∠BED =1122
αβ+， 故答案为：1122
αβ+；
（2）∵BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠
∴1111,2222
ABE ABC CDE ADC αβ∠=∠=∠=∠=， 过点E 作EF ∥AB ，则∠ABE =∠BEF =12
α， ∵//,AB CD ∴EF ∥CD ，
∴180CDE DEF ∠+∠=︒，
∴11801802
DEF CDE β∠=︒-∠=︒-， ∴11360360(180)22BED DEF BEF βα∠=︒-∠-∠=︒-︒--=1118022
αβ-+．
【点睛】
此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，平行线的推论，正确引出辅助线是解题的关键．
10．（1）①见解析；②垂；（2）见解析
【分析】
（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线；
②步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．
（2）先根据
解析：（1）①见解析；②垂；（2）见解析
【分析】
（1）①过P 点折纸，使痕迹垂直直线a ，然后过P 点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线b ；
②步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点P 的直线a 的垂线．
（2）先根据平行线的性质得到ABC BCD ∠=∠，再利用角平分线的定义得到23∠∠=，然后根据平行线的判定得到结论．
【详解】
（1）解：①如图2所示：
②在（1）中的步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点P 的直线a 的垂线． 故答案为垂；
（2）证明：BE 平分ABC ∠，CF 平分BCD ∠（已知），
12∠∠∴=，33∠=∠（角平分线的定义），
//AB CD （已知），
ABC BCD ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等），
2223∴∠=∠（等量代换），
23
∴∠=∠（等式性质），
∴（内错角相等，两直线平行）．
BE CF
//
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定．
三、解答题
11．（1）120°；（2）∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，证明见详解．
【分析】
（1）根据题意，当点与点、在一直线上时，作出图形，由AB∥CD，
∠FHP=60°，可以推出
解析：（1）120°；（2）∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，证明见详解．
【分析】
（1）根据题意，当点P与点E、F在一直线上时，作出图形，由AB∥CD，∠FHP=60°，可∠=∠=60°，计算∠PFD即可；
以推出GEP EGP
（2）根据点P是动点，分三种情况讨论：①当点P在AB与CD之间时；②当点P在AB 上方时；③当点P在CD下方时，分别求出∠AEP、∠EPF、∠CFP之间的关系即可．
【详解】
（1）当点P与点E、F在一直线上时，作图如下，
∠=∠，
∵AB∥CD，∠FHP=60°，GEP EGP
∠=∠=∠FHP=60°，
∴GEP EGP
∴∠EFD=180°-∠GEP=180°-60°=120°，
∴∠PFD=120°，
故答案为：120°；
（2）满足关系式为∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP．
证明：根据点P是动点，分三种情况讨论：
①当点P在AB与CD之间时，
过点P作PQ∥AB，如下图，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP=∠EPQ，∠CFP=∠FPQ，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠AEP+∠CFP，
即∠EPF =∠AEP+∠CFP；
②当点P在AB上方时，如下图所示，
∵∠AEP=∠EPF+∠EQP，
∵AB∥CD，
∴∠CFP=∠EQP，
∴∠AEP=∠EPF+∠CFP；
③当点P在CD下方时，
∵AB∥CD，
∴∠AEP=∠EQF，
∴∠EQF=∠EPF+∠CFP，
∴∠AEP=∠EPF+∠CFP，
综上所述，∠AEP、∠EPF、∠CFP之间满足的关系式为：∠EPF =∠AEP+∠CFP或
∠AEP=∠EPF+∠CFP，
故答案为：∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，外角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，注意分情况讨论问题．
12．（1）36°或18°；（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”，证明详见解析；
（3）∠B＝36°或∠B＝．
【分析】
（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，解析：（1）36°或18°；（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”，证明详见解析；（3）
∠B＝36°或∠B＝540
7
（）．
【分析】
（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1＋3）＝18°，由此比较得出答案即可；
（2）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO、∠OAC的度数，根据“梦想三角形”的定义判断即可；
（3）根据同角的补角相等得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝
∠BCD，根据“梦想三角形”的定义求解即可．
【详解】
解：当108°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，
当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为72°÷（1＋3）＝18°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°．
故答案为：18°或36°．
（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”
证明：∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“梦想三角形”，
∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC＋∠MON，
∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，
∴∠AOB＝3∠OAC，
∴△AOC是“梦想三角形”．
（3）解：∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE ＝∠BCD ，
∵AE 平分∠ADC ，
∴∠ADE ＝∠CDE ，
∴∠B ＝∠BCD ，
∵△BCD 是“梦想三角形”，
∴∠BDC ＝3∠B ，或∠B ＝3∠BDC ，
∵∠BDC ＋∠BCD ＋∠B ＝180°，
∴∠B ＝36°或∠B ＝5407
︒（）． 【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理、“梦想三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
13．（1）①115°，110°；②，证明见解析；（2），证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据角平分线的定义求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行线的性质可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=
解析：（1）①115°，110°；②1902
AFD B ︒∠=+∠，证明见解析；（2）1902
AFD B ︒∠=-∠，证明见解析. 【解析】
【分析】
（1）①根据角平分线的定义求得∠CAG=12
∠BAC=50°；再由平行线的性质可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；由三角形的内角和定理求得∠AFD 的度数即可；已知
AG 平分∠BAC ，DF 平分∠EDB ，根据角平分线的定义可得∠CAG=12
∠BAC ，∠FDM=12
∠EDG ；由DE//AC ，根据平行线的性质可得∠EDG=∠C ，∠FMD=∠GAC ；即可得∠FDM +∠FMD=12∠EDG +∠GAC=12∠C+12∠BAC=12（∠BAC+∠C ）=12
×140°=70°；再由三角形的内角和定理可求得∠AFD=110°；
②∠AFD=90°+12
∠B ，已知AG 平分∠BAC ，DF 平分∠EDB ，根据角平分线的定义可得∠CAG=12∠BAC ，∠FDM=12
∠EDG ；由DE//AC ，根据平行线的性质可得∠EDG=∠C ，∠FMD=∠GAC ；由此可得∠FDM +∠FMD=12∠EDG +∠GAC=12∠C+12∠BAC=12
（∠BAC+∠C ）=12×（180°-∠B ）=90°-12
∠B ；再由三角形的内角和定理可得
∠AFD=90°+1
2
∠B；
（2）∠AFD=90°-1
2
∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得
∠CAG=1
2∠BAC，∠NDE=1
2
∠EDB，即可得∠FDM=∠NDE=1
2
∠EDB；由DE//AC，根据平行
线的性质可得∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得到∠FDM=∠NDE=1
2
∠C，所以∠FDM
+∠FMD =1
2
∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=
1
2
×（180°-∠B）=90°-
1
2
∠B；再由三角形外角
的性质可得∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-1
2
∠B.
【详解】
（1）①∵AG平分∠BAC，∠BAC=100°，
∴∠CAG=1
2
∠BAC=50°；
∵//
DE AC，∠C=30°，
∴∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；
∵DF平分∠EDB，
∴∠FDM=1
2
∠EDG=15°；
∴∠AFD=180°-∠FMD-∠FDM=180°-50°-15°=115°；∵∠B=40°，
∴∠BAC+∠C=180°-∠B=140°；
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠CAG=1
2∠BAC，∠FDM=1
2
∠EDG，
∵DE//AC，
∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；
∴∠FDM +∠FMD=1
2∠EDG +∠GAC=1
2
∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=
1
2
×140°=70°；
∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-70°=110°；故答案为115°，110°；
②∠AFD=90°+1
2
∠B，理由如下：
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠CAG=1
2∠BAC，∠FDM=1
2
∠EDG，
∵DE//AC，
∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；
∴∠FDM +∠FMD=1
2∠EDG +∠GAC=1
2
∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=
1
2
×（180°-∠B）
=90°-1
2
∠B；
∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-（90°-1
2∠B）=90°+1
2
∠B；
（2）∠AFD=90°-1
2
∠B，理由如下：
如图，射线ED交AG于点M，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠CAG=1
2∠BAC，∠NDE=1
2
∠EDB，
∴∠FDM=∠NDE=1
2
∠EDB，
∵DE//AC，
∴∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；
∴∠FDM=∠NDE=1
2
∠C，
∴∠FDM +∠FMD =1
2∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=
1
2
×（180°-∠B）=90°-
1
2
∠B；
∴∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-1
2
∠B.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质，根据角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质确定各角之间的关系是解决问题的关键.
14．（1），理由见解析；
（2）当点P在B、O两点之间时，；
当点P在射线AM上时，.
【分析】
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出
∠α=∠DPE，∠β=∠C
∠=∠+∠，理由见解析；
解析：（1）CPDαβ
∠=∠-∠；
（2）当点P在B、O两点之间时，CPDαβ
∠=∠-∠.
当点P在射线AM上时，CPDβα
【分析】
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出结论．
【详解】
解：(1)∠CPD＝∠α＋∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E.
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝∠α＋∠β.
(2)当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β－∠α.
理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E.
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE－∠DPE＝∠β－∠α；
当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α－∠β.
理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E.
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE－∠CPE＝∠α－∠β.
【点睛】
本题考查了平行线的性质的运用，主要考核了学生的推理能力，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用平行线的性质进行推导．解题时注意：问题（2）也可以运用三角形外角性质来解决．
15．（1）互相平行；（2）35，20；（3）见解析；（4）不变，
【分析】
（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义和平行
解析：（1）互相平行；（2）35，20；（3）见解析；（4）不变，1
2
【分析】
（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；
（4）根据角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）直线l2⊥l1，l3⊥l1，
∴l2∥l3，
即l2与l3的位置关系是互相平行，
故答案为：互相平行；
（2）∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE＝1
BCD，
2
∵∠BCD＝70°，
∴∠DCE＝35°，
∵l2∥l3，
∴∠CED＝∠DCE＝35°，
∵l2⊥l1，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣70°＝20°；
故答案为：35，20；
（3）∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF，
∵l2⊥l1，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BCF+∠AGC＝90°，
∵CD⊥BD，
∴∠DCF+∠CFD＝90°，
∴∠AGC＝∠CFD，
∵∠AGC＝∠DGF，
∴∠DGF＝∠DFG；
；理由如下：
（4）∠N:∠BCD的值不会变化，等于1
2
∵l2∥l3，
∴∠BED＝∠EBH，
∵∠DBE＝∠DEB，
∴∠DBE＝∠EBH，
∴∠DBH＝2∠DBE，
∵∠BCD+∠BDC＝∠DBH，
∴∠BCD+∠BDC＝2∠DBE，
∵∠N+∠BDN＝∠DBE，
∴∠BCD+∠BDC＝2∠N+2∠BDN，
∵DN平分∠BDC，
∴∠BDC＝2∠BDN，
∴∠BCD＝2∠N，
∴∠N:∠BCD＝1
．
2
【点睛】
本题考查了三角形的综合题，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形进行推理是解题的关键．。