2018年中考数学《锐角三角函数》专题练习含答案

2018中考数学专题练习《锐角三角函数》
(时间:100分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.下列各数是有理数的是( )
A. B. 4π
C. sin 45︒
D.
1cos60︒ 2一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除并改造成供轮椅行走的斜坡，数据如图1所示，则下列关系或说法正确的是( )
A.斜坡AB 的坡度是10º
B.斜坡AB 的坡度是tan10︒
C. 1.2tan10AC =︒米
D. 1.2cos10AB =︒
米
3.在ABC ∆中，A ∠，B ∠都是锐角，且1sin 2
A =，cos 2
B =，则AB
C ∆三个角的大小关系是( )
A. C A B ∠>∠>∠
B. B C A ∠>∠>∠
C. A B C ∠>∠>∠
D. C B A ∠>∠>∠
4.如图2，在R t A B C ∆中，90A ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，:3:2BD CD =，则t a n B 的值是( )
A. 32
B. 23
C. D. 5.如图3，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点E ，30A ∠=︒，则s sin E 的值为( )
A. 12
B. 2
C.
D.
6.数学社团的同学们对某塔的高度进行了测量，如图4，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30º，再往楼的方向前进60 m 至B 处，测得仰角为60º，若学生的身高忽略不计，
1.7≈，结果精确到1m ，则该楼的高度CD 为( )
A.47 m
B.51 m
C.53 m
D.54 m
7.如图5，点O 是摩天轮的圆心，长为110米的AB 是其垂直地面的直径，小莹在地面C 点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A 的仰角为33º，测得圆心O 的仰角为21º，则小莹所在C 点到直径AB 所在直线的距离约为(参考数据:tan330.65︒≈，tan 210.38︒≈)( )
图 5
A.169米
B.204米
C.240米
D.407米
8.如图6，在ABC ∆中，已知90ABC ∠=︒，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B ， C 不重合)，作BE AD ⊥于E ，CF AD ⊥交AD 的延长线于F ，则BE CF +的值( )
A.不变
B.增大
C.减小
D.先变大，再变小
9.如图7，轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30º方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75º的方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60º的方向上，则C 处与灯塔A 的距离是( )
A. B.
C. 50海里
D. 25海里
10.某数学兴趣小组的同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图8，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36º，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处，然后沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度(或坡比)1:2.4i =，那么大树CD 的高度约为(参考数据:sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73︒≈)( )
A.8.1米
B.17.2米
C.19.7米
D.25.5米
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.若θ为三角形的一个锐角，且2sin 0θ=，则tan θ= .
12.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4tan 3
A =
，8BC =，则ABC ∆的面积为 . 13.在平面直角坐标系中，已知点P 在第一象限内，点P 与原点O 的距离2OP =，点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为60º，则点P 的坐标是 .
14.如图9，某景区从游客中心A 处修建通往百米观景长廊BC 的两条栈道AB ，AC .若56B ∠=︒，45C ∠=︒，则游客中心A 到观景长廊BC 的距离AD 的长度约为 米.(参考数据:sin560.8︒≈，tan56 1.5︒≈ )
15.如图10，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.已知菱的一个角(O ∠)为60º，A ，B ，C 都在格点上，则tan ABC ∠的值是 .
16.如图11，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30º方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55º方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为 海里.(结果取整数，参考数据:sin550.8︒≈，cos550.6︒≈，tan55 1.4︒≈)
17.如图12，以边长为20 cm 的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4 cm 长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形，把它们沿图中的虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为 cm 3.
18.图13是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD 的面积是小正方形EFGH 面积的13倍，那么tan ADE ∠的值为 .
三、解答题(本大题共6小题，共66分)
19. ( 8分)计算2145cos 302sin 602tan 60︒+︒-+︒︒
.
20.(10分)在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A B ∠-∠=︒，2a b -=，试解该直角三角形.
21. (10分)如图14，物理实验室有一个单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C 处测得E ，F 两点的俯角分别为60ACE ∠=︒，45BCF ∠=︒，这时点F 相对
于点E 升高了3cm ，求该摆绳CD 的长度.(参考数据 1.7≈ 1.4≈)
22. (12分)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点。

已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，图15是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300 cm，AB的倾斜角为30º，50
BE AC
==cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FE AB
⊥于点E，两个底座地基的高度相同(即点D，F到地面的垂直距离相同)，均为30 cm，点A到地面的垂直距离为50 cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少.(结果保留根号)
23. (12分)如图16，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处D(点D
与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i=DB前进30米到达点B.在点B处测得楼顶A的仰角为53º，求楼房AC的高度.(参考数据:sin530.8
︒≈，
cos530.6
︒≈，
4
tan53
3
︒≈，计算结果用根号表示)
24. (14分)如图17，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处按到指挥部通知，在他们的东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75º方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.
参考答案
1. D
2. B
3. D
4. D
5. A
6. B
7. B
8. C
9. D 10. A
11. 12. 24
13.
14. 60
15. 16. 11
17. 144 18. 23
19.
原式2(24222=++⨯
1344=+
1=+
20. 在Rt ABC ∆中，
∵9030A B A B ∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩
， ∴6030A B ∠=︒⎧⎨∠=︒
⎩.
∴tan tan 60a b A b =∠=︒=.
由2
a a
b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，
解得31
a b ⎧=+⎪⎨=⎪⎩又∵30B ∠=︒，
∴22c b ==.
21.分别过E ，F 作EG CD ⊥于G ，FH CD ⊥与H ，
则3HG =cm.
∵CD AB ⊥，60ECA ∠=︒，45FCB ∠=︒，
∴30ECD ∠=︒，45FCH ∠=︒.
设CE FC CD x ===，
则，cos 452
CH x x =︒=g .
∴32
CG CH x x -=-=，
即6x =，
解得20x ≈cm.
∴该摆绳CD 的长度为20cm.
22.如图8，过A 作AG CD ⊥于G ，
则30CAG ∠=︒.
在Rt ACG ∆中，1sin 3050252
CG AC =︒=⨯=(cm). ∵503020CG =-=(cm).
∴252045CD CG GD =+=+=(cm).
连接FD 并延长与BA 的延长线交于H ，则30H ∠=︒.
在Rt CDH ∆中，290sin 30CD CH CD ===︒
(cm). ∴300505090290EH EC CH AB BE AC CH =+=--+=--+=(cm).
在Rt EFH ∆中，tan 30290EF EH =︒==g (cm).
∴支撑角钢CD 和EF 的长度分别是45cm 23.如图9，作BN CD ⊥于N ，BM AC ⊥于M .
在Rt BDN ∆中，30BD =米，:BN ND =
∴15BN =米，DN =.
∵90C CMB CNB ∠=∠=∠=︒，
∴四边形CMBN 是矩形.
∴15CM BN ==(米)，BM CN ===(米).
在Rt ABM ∆中，4tan 3
AM ABM BM ∠=
≈，
∴AM =.
∴(15AC AM CM =+=+米.
24.设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x 小时，如图10.
由题意，得4575120ABC ∠=︒+︒=︒，12AB =海里，10BC x =，14AC x =. 过点A 作AD CB ⊥的延长线于点D .
在Rt ABD ∆中，12AB =海里，60ABD ∠=︒，
∴1cos6062
BD AB AB =︒==g 海里，sin 60AD AB =︒=. ∴(106)CD x =+海里.
在Rt ACD ∆中，由勾股定理，得222(14)(106)x x =++. 解得1232,4x x ==-
(舍去). ∴巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时.。