最新2019高考数学二轮复习专题四解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线学案(考试必用)

x2 y2 可得双曲线的方程为 － ＝ 1.
9 16 (2)(2018 ·宁波模拟 ) 已知双曲线 C 的渐近线方程是 y＝±２ 2x，右焦点 F(3,0) ，则双曲线
C的方程为 ________，又若点 N(0,6) ，M是双曲线 C的左支上一点， 则△ FMN周长的最小值为
________ ．
答案
即有 | BM| － | AB| ＝ | BF| －| AB| ≤｜AF| ＝ 1，
当且仅当 A， B， F( A在 B， F 之间 ) 三点共线时，可得最大值为 1.
思维升华 (1) 准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，
注意当焦点在不同坐
标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．
32
(2) 已知以圆 C： ( x－ 1) 2＋ y2＝4 的圆心为焦点的抛物线
C1 与圆 C在第一象限交于 A 点， B 点
是抛物线 C2： x2＝ 8y 上任意一点， BM与直线 y＝－ 2 垂直，垂足为 M，则 | BM| －| AB| 的最大
值为 ( )
A． 1 B ． 2 C ．－ 1 D ． 8
焦点 ( c, 0) 到直线 l 的距离
5
ac－
2a2 3
ac－
2a2 3
d＝ a2＋ b2 ＝
c
，
则弦长为 2 c2－d2＝ 2
c2－
ac－ 23a2 c2
2
42 ＝ 3 c，
整理可得 c4－ 9a2c2＋12a3c－ 4a4＝0，
即 e4－9e2＋ 12e－ 4＝ 0，
分解因式得 ( e－1) ( e－ 2) ( e2＋ 3e－ 2) ＝ 0.
第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线
[ 考情考向分析 ] 1. 以选择题、 填空题形式考查圆锥曲线的方程、 几何性质 ( 特别是离心率 ).
2. 以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系
( 弦长、中点等 ) ．
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1. 圆锥曲线的定义
(1) 椭圆： | PF1| ＋ | PF2| ＝ 2a(2 a>| F1F2|) ．
42
| MN| ＝ 3 c，则双曲线 C的渐近线方程为 (
)
A． y＝± 2x
B． y＝± 3x
C． y＝±２x
D． y＝±４x
答案 B
解析 方法一 由题意可设渐近线方程为
a 则直线 l 的斜率 kl ＝－ b，
a2
直线
l 的方程为
y＝－
b
x－ a 3
，
整理可得 ax＋ by－ 23a2＝ 0.
b y＝ax，
判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法
(1) 代数法： 联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于
x，y 的方程组， 消去 y( 或 x) 得一元二
次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
(2) 几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
例 3 (2018 ·浙江教育绿色评价联盟适应性考试 ) 如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 E：
)
2＋ 7 A. 1， 3
2＋ 7 B. 1， 3
C． (1,2)
D. ( 1， 2]
答案 A
sin ∠ PF1F2 | PF2| 解析 根据正弦定理可知 sin ∠ PF2F1＝| PF1| ，
| PF2| a
a
所以
|
PF1|
＝ 3c，即
|
PF2|
＝
| 3c
PF1|
，
| PF1| － | PF2| ＝ 2a，
c 又双曲线的离心率 e>1，则 e＝ a＝2，
b 所以 a＝
c2－ a2 a2 ＝
c a
2－ 1 ＝
3，
所以双曲线 C的渐近线方程为 y＝± 3x.
方法二 圆心到直线 l 的距离为
c 2－
22 3c
2＝
c 3，
ac－2a2
∴
3 c
＝
c 3，∴
c
2
－
3ac＋
2a2＝
0，
∴ c＝ 2a， b＝ 3a，∴渐近线方程为 y＝± 3x. 热点三 直线与圆锥曲线
答案 A 解析 因为圆 C： ( x－ 1) 2＋ y2＝ 4 的圆心为 C(1,0) ， 所以可得以 C(1,0) 为焦点的抛物线方程为 y2＝ 4x，
y2＝ 4x， 由 x－1 2＋y2＝ 4，
解得 A(1,2) ．
抛物线 C2： x2＝ 8y 的焦点为 F(0,2) ，
准线方程为 y＝－ 2，
△ FMN的周长的最小值为 6 5 ＋2.
热点二 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中 a， b， c 之间的关系
(1) 在椭圆中： a2＝ b2＋ c2，离心率为
c e＝ ＝
a
1－
b a
2.
(2) 在双曲线中：
c2＝ a2＋ b2 ，离心率为
c e＝ a＝
x2 y2 2．双曲线 a2－ b2＝1( a>0， b>0) 的渐近线方程为
(2) 双曲线： || PF1| － | PF2|| ＝ 2a(2 a<| F1F2|) ．
(3) 抛物线： | PF| ＝ | PM| ，点 F 不在直线 l 上， PM⊥l 于点 M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系
x2 y2
1
a2＋ b2＝ 1( a>b>0) 的离心率为 2，其右顶点 A到上顶点的距离为
7，过点 A 的直线 l ：y＝ k( x
－ a)( k<0) 与椭圆 E 交于另一点 B，点 C为 y 轴上一点．
(1) 求椭圆 E 的标准方程； (2) 若△ ABC是等边三角形，求直线 l 的方程．
6
c1
1＋
b a
2.
b y＝± ax. 注意离心率
e 与渐近线的斜率的关
系．
x2 y2 例 2 (1) 设 F1， F2 分别是椭圆 E： a2＋ b2＝ 1( a>b>0) 的左、右焦点，过点
F1 的直线交椭圆 E
3
于 A，B两点，若△ AF1F2 的面积是△
BF1F2
面积的三倍，
cos∠
AF2B＝
，则椭圆 5
(2) 求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定． x2 y2
跟踪演练 1 (1) 已知双曲线 a2－ b2＝ 1( a>0， b>0) 的左、右焦点分别为
F1， F2，以 | F1F2| 为直
径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 ( 3， 4) ，则双曲线的方程为 ( )
x2 y2 A. 16－ 9 ＝ 1
y＝ k x－ 2 ， 联立 x2 y2
4 ＋ 3 ＝1，
可得 (4 k2＋ 3) x2－ 16k2x＋ 16k2－ 12＝ 0.
16k
2
－
12
设 B( x1， y1) ，则 2x1＝ 4k2＋ 3 ，
8k2－ 6
x1＋ 2 8k2
所以 x1＝ 4k2＋ 3， x0＝ 2 ＝ 4k2＋3，
6k 将 x0 代入 y＝ k( x－ 2) ，得 y0＝－ 4k2＋ 3，
所以
a 1－ 3c
|
PF1|
＝ 2a，解得
|
PF1|
6ac ＝3c－ a，
而|
PF1|
>a＋c，即
6ac 3c－ a>a＋ c，
整理得 3e2－ 4e－1<0，解得 2－
7 2＋ <e<
7 .
3
3
2＋ 7 又因为离心率 e>1，所以 1<e< 3 ，故选 A.
4
思维升华 (1) 明确圆锥曲线中 a， b， c，e 各量之间的关系是求解问题的关键．
x
2－
y2 8＝
1
Байду номын сангаас
，设双曲线的左焦点为
F′，
则△ FMN的周长为 | NF| ＋ | MN| ＋ | MF| ＝ | NF| ＋ | MN| ＋ 2a＋ | MF′| ≥｜NF| ＋ 2a ＋ | NF′| ＝
2| NF| ＋ 2a＝ 6 5＋ 2，当且仅当点 M为直线 NF′与双曲线的左支的交点时，等号成立，所以
数法求出方程中的 a2， b2， p 的值． x2 y2
例 1 (1) 已知椭圆 C： a2＋ b2＝ 1( a>b>0) 的左、右焦点为
F1 ， F2 ，左、右顶点为
M， N，过 F2
的直线 l 交 C 于 A， B 两点 ( 异于 M， N) ，△ AF1B 的周长为 4 3，且直线 AM与 AN的斜率之积
x
2－
y
2
＝
1
6
5＋ 2
8
解析 因为点 F(3,0) 为双曲线的右焦点，则不妨设双曲线的方程为
x2 y2 a2－ b2＝1( a>0， b>0) ，
b 所以双曲线的渐近线方程为 y＝± ax＝±２ 2x，
b 即 a＝ 2 2，①
又因为 a2＋ b2＝ 32，②
联立①②，解得 a＝ 1，b＝2 2，所以双曲线的方程为
(2) 在求解有关离心率的问题时， 一般并不是直接求出 c 和 a 的值，而是根据题目给出的椭圆
或双曲线的几何特点，建立关于参数 c， a，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离
心率的值或取值范围．
x2 y2 跟踪演练 2 (1)(2018 ·诸暨市适应性考试 ) 已知双曲线 a2－ b2＝ 1( a>0，b>0) 的一条渐近线截
解
(1) 由题意可知，椭圆
E 的离心率
e＝a＝
， 2
a2 ＋b2＝ 7， a2＝ b2＋ c2，
a2＝ 4， 所以 b2＝ 3，
x2 y2 所以椭圆 E 的标准方程为 4 ＋ 3 ＝ 1.
3 (2) 设 AB的中点为 M( x0，y0) ，连接 CM，则由△ ABC为等边三角形可知 MC⊥ AB，且 | MC| ＝ 2 | AB|.
∴ AF1⊥AF2，∴△ AF1F2 是等腰直角三角形．
2
c2
∴ c＝ 2 a，椭圆的离心率 e＝ a＝ 2 .
x2 y2 (2) 已知双曲线 M： a2－b2＝ 1( a>0， b>0) 的左、右焦点分别为
F1， F2， | F1F2| ＝ 2c. 若双曲线 M
a
3c
的右支上存在点 P，使 sin ∠ PF1F2＝ sin ∠ PF2F1，则双曲线 M的离心率的取值范围为 (
E的离心率为
(
)
12
3
2
A. 2 B. 3 C. 2 D. 2
答案 D
3
解析 设 | F1B| ＝k( k>0) ，
依题意可得 | AF1| ＝ 3k， | AB| ＝ 4k，
∴｜AF2| ＝ 2a－ 3k， | BF2| ＝2a－ k. 3
∵cos∠ AF2B＝ 5，
在△ ABF2 中，由余弦定理可得
| AB| 2＝| AF2| 2＋ | BF2| 2－ 2| AF2|| BF2|cos ∠ AF2B，
∴(4
k)
2＝
(2
a－3k)
2＋
(2
a－
k)
2－
6 5(2
a－3k)(2
a－k) ，
化简可得 ( a＋ k)( a－ 3k) ＝ 0，
而 a＋k>0，故 a－ 3k＝ 0， a＝ 3k，
∴｜AF2| ＝ | AF1| ＝ 3k， | BF2| ＝ 5k， ∴｜BF2| 2＝| AF2| 2＋ | AB| 2，
2＝
2 3 2， 3
x20 4＋
b ax 0
2＝ 1，
解得
b2 a2＝ 2，则
c2＝ a2＋ b2＝ 3a2，则此双曲线的离心率
c e＝a
＝ 3，故选 B.
x2 y2
2
(2) 已知双曲线 C： a2－ b2＝ 1( a>0， b>0) 的焦距为 2c，直线 l 过点 3a， 0 且与双曲线 C的一
条渐近线垂直， 以双曲线 C的右焦点为圆心， 半焦距为半径的圆与直线 l 交于 M，N两点， 若
设点 A( x0， y0)( x0≠± 3) ，
2 由直线 AM与 AN的斜率之积为－ 3，
y0
y0
2
可得 x 0＋
· 3 x0－
＝－ 3
3，
即
y20＝－
2 (
3
x20－ 3)
，①
1
x
2 0
y
2 0
又 3 ＋ b2＝1，所以
y20＝ b2
x20 1－ 3
，②
由①②解得 b2＝2.
x2 y2 所以 C的方程为 ＋ ＝ 1.
x2 y2 C. 4 － 3 ＝1
x2 y2 B. 3 － 4 ＝ 1
x2 y2 D. 9 － 16＝1
答案 D
解析 ∵点 (3,4) 在以 | F1F2| 为直径的圆上， ∴ c＝ 5，可得 a2＋ b2＝25. ①
b 又∵点 (3,4) 在双曲线的渐近线 y＝ ax 上，
2
b4 ∴ a＝3. ② 由①②联立，解得 a＝ 3， b＝ 4，
2
为－ 3，则 C的方程为 (
)
x2 y2 A. 12＋ 8 ＝ 1
x2 y2 C. ＋ ＝1
32
x2 y2 B. 12＋ 4 ＝1 D. x2＋ y2＝ 1
3
答案 C
解析 由△ AF1B的周长为 4 3，可知 | AF1| ＋| AF2| ＋ | BF1| ＋ | BF2| ＝4a＝ 4 3，
解得 a＝ 3，则 M( － 3， 0) ， N( 3， 0) ．
椭圆
x2 ＋
y 2＝
1
所得弦长为
4
3 ，则此双曲线的离心率等于
(
)
4
3
6 A. 2 B. 3 C. 2 D. 6
答案 B
x2 y2
b
解析 双曲线 a2－ b2＝ 1 的渐近线方程为 y＝± ax，由椭圆的对称性不妨取渐近线为
设渐近线与椭圆的交点为
b
x0， x0 a
，
b y＝ ax，
则有
x20＋
b ax 0