2018届中考数学考点直角三角形与勾股定理

2018届中考数学考点直角三角形与勾股定理
课标呈现指引方向
1．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。

2．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

考点梳理夯实基础
1．直角三角形的性质：
（1）直角三角形的两个锐角；
【答案】互余
（2）勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么；
【答案】a2＋b2＝c2
（3）直角三角形斜边上的中线等于；
【答案】斜边的一半
（4）直角三角形中，30°角所对的直角边等于．
【答案】斜边的一半
2．直角三角形的判定：
（1）勾股定理逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；
（2）如果三角形一边上的中线等于这边的，那么这个三角形是直角三角形．
【答案】一半
3．勾股数：可以构成直角三角形三边的一组正整数．常见的勾股数有：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）…以及（3n，4n，5n）、（5n，12n，13n）、（7n，24n，25n）、（8n，15n，17n）…（n为正整数）
考点精析专项突破
考点一勾股定理和勾股定理的逆定理
【例1】（1）（2016临沂）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB＝4，BC＝8，则△ABF的面积为_____________．
【答案】6
解题点拨：本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，根据勾股定理列出方程是解题的关键．①先利用矩形的性质和折叠的性质得出∠B＝90°，AF＝FC；②然后利用勾股定理列方程求出BF的长；③再用三角形面积公式求出三角形的面积．
（2）（2016武汉）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝10，DA ＝，则BD 的长为___________
【答案】
解题点拨：连接AC ，过点D 作BC 边上的高，交BC 延长线于点H ．在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∴AC ＝5，又CD ＝10，DA ＝
5
，可知△
ACD 为直角三角形，且∠ACD ＝90°，易证△ABC ∽△CHD ．则CH ＝6，DH ＝8，从而在Rt △BHD 中易求BD ．
考点二 性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的运用
【例3】如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ．连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点．∠ACD ＝2∠ACB ．若DG ＝3，EC ＝1．求DE 的长．
解题点拨：综合考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD ＝DG ＝3．
555
鼹：∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，∠CAD＝∠ACB
∵点G为AF的中点，
∴DG＝AG，∴∠GAD＝∠GDA，∴∠CGD＝2∠CAD，
∵∠ACD＝2∠ACB，
∴∠ACD＝∠CGD，
∴CD＝DG＝3，
在Rt△CED中，DE
＝
．
考点三性质“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的运用
【例4】(2016西宁)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝．
【答案】2
解题点拨：作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD．根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
课堂训练
当堂检测
1．(2016南京)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是
( )
A ．3，4，4
B ．3，4，5
C ．3，4，6
D ．3，4，7
【答案】B
2．(2015滨州)如图，在直角∠O 的内部有一滑动杆AB ，当端点A 沿直线AO 向下滑动时，端点B 会随之自动地沿直线OB 向左滑动，如果滑动杆从图中AB 处滑动到处，
那么滑动杆的中点C 所经过的路径是 ( )
A ．直线的一部分
B ．圆的一部分
C ．双曲线的一部分
D ．抛物线的一部分
第2题
【答案】B
3．(2016黄冈)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝3a ，将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝ ．
【答案】
A B ⅱ
第3题
4．(2015重庆A )如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，∠BAC ＝60°，点E 是∠BAC 角平分线上一点，过点E 作AE 的垂线，过点A 作AB 的垂线，两垂线交于点D ，连接DB ，点F 是BD 的中点，DH ⊥AC ，垂足为H ，连接EF ，HF ．
(1)如图1，若点H 是AC 的中点，AC ＝
，求
AB ，BD 的长：
(2)
如图1，求证：HF ＝EF ；
(3)如图2，连接CF
，CE ，猜想：△CEF 是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由，
图1 图2
第4题
【答案】
解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝ ∴AB ＝＝．
cos AC
BAC Ð2
∵AD ⊥AB ．∴∠DAH ＝30°．
∵点H 是AC 的中点，∴AH ＝AC
．
∴在△ADH 中．AD ＝
＝2．
∴在△ADB
中，根据勾股定理，得
BD
．
(2)如答图1，连接AF ，
易证：△DAE ≌△ADH (AAS )，∴DH ＝AE ．
∵∠FDH ＝∠FDA －∠HDA ＝∠FDA －60°＝(90°－∠FBA )－60°＝30°－∠FBA ，
∴∠EAF ＝∠FDH ．
又∵点F 是BD 的中点，即AF 是Rt △ABD 斜边上的中线，∴AF ＝DF ． ∴△DHF ≌△AEF (SAS )．∴HF ＝EF ．
(3)△CEF 为等边三角形，证明如下：
如答图2，取AB 的中点M ，连接CM 、FM ，
在Rt △ADE 中，AD ＝2AE ，
∵FM 是△ABD 的中位线．
∴AD ＝2FM ．∴FM ＝AE ．
易证△ACM 为等边三角形，
∴AC ＝CM ，∠ACM ＝60°．
∵∠CAE ＝∠CAB ＝30°， ∠CMF ＝∠AMF －∠AMC ＝30°，
∴∠CAE ＝∠CMF ．
12cos AH
CAH Ð12
∴△ACE≌△MCF(SAS)．∴CE＝CF，∠ACE＝∠MCF．
∴∠ECF＝∠ECM＋∠MCF＝∠ECM＋∠ACE＝60°．
∴△CEF为等边三角形．
图1 图2
第4题答案图
中考达标
模拟自测
A组基础训练
一、选择题
1．(2016连云港)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1＝16，S2＝45 ，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝ ( ) A．8 B．64 C．54 D．48
图1 图2
第1题
【答案】C
2．(2016海南)如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿着直线AD 对折，点C 落在点E 的位置．如果BC ＝6，那么线段BE 的长度为 ( )
A ．6
B ．
C ．
．
第2题
【答案】D
3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线，若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC ＋PQ 的最小值是
( )
A ．
B ．4
C ．
D ．5 125245
第3题
【答案】C
4．(2015泰安)如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ．延长BG 交CD 于点F ．若AB ＝6，BC ＝
，
则FD 的长为
( ) A
．2 B ．
4 C ．BD ．
第4题
【答案】B
二、填空题
5．(2016随州)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使CD ＝BD ，连接DM 、DN 、MN ．若AB ＝6，则DN ＝ ．
13
第5题 【答案】3
6．(2016温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板(如图1所示)中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图2所示)，则该凸六边形的周长是cm ．
图1 图2
第6题 【答案】
＋
16)
7．(2016连云港)如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF ．如图2，展开后再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为
GH ，点B 的对应点为点M ．EM 交AB 于N ．若AD ＝2．
则MN ＝
图1 图2 第7题
【答案】
三、解答题
8．已知，如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 中点，连接
CD ．点E 为边AC 上一点，过点E 作EF ∥AB ，交CD 于点F ，连接EB ，
取EB 的中点G ，连接DG 、FG ．． (1)求证：EF ＝CF ； (2)求证：FG ⊥DG ．
第8题
【答案】证明：(1)∵在R △ACB 中，D 为AB 中点 ∴DA ＝DC ＝DB ∴∠A ＝∠1 ∵EF ∥AB ∴∠2＝∠A ∴∠1＝∠2 ∴CF ＝ EF ．
(2)延长FG ，交AB 于点H ∵EF ∥AB ∴∠FEG ＝∠GBH ∵G 为EB 中点
1
3
∴EG＝GB
又∵∠FGE＝∠HGB
∴△EFG≌△BHG
∴FG＝GH，EF＝HB＝CF
∴DC－CF＝DB－HB
即DF＝DH
∴DG⊥FG．
第8题答案图
9．(2016黄石)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝ 90°．
(1)如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：DE2＝BD2＋CE2：
(2)如图2，点E在BC的延长线上，则等式DE2＝BD2＋CE2还能成立吗？请说明理由．
图1 图2
第9题
【答案】解：(1)∵点D关于直线AE的对称点为F，
∴EF＝DE，AF＝AD，
∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＝90°－∠CAD ，
∠CAF ＝∠DAE ＋∠EAF －∠CAD ＝45°＋45°－∠CAD ＝90°－∠CAD ， ∴∠BAD ＝∠CAF ， 在△ABD 和△ACF
中，
∴△ABD ≌△ACF (SAS )， ∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠B ， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B ＝∠ACB ＝45°，
∴∠ECF ＝∠ACB ＋∠ACF ＝45°＋45°＝90°， 在Rt △CEF 中，由勾股定理得，EF 2＝CF 2 ＋CE 2， 所以，DE 2＝BD 2＋CE 2； (2) DE 2＝BD 2＋CE 2还能成立．
理由如下：作点D 关于AE 的对称点F ，连接EF 、CF ， 由轴对称的性质得，EF ＝DE ，AF ＝AD ， ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＝90°－∠CAD ，
∠CAF ＝∠DAE ＋∠EAF －∠CAD ＝45°＋45°－∠CAD ＝90°－∠CAD ， ∴∠BAD ＝∠CAF ， 在△ABD 和△ACF
中，
AB AC
BAD CAF
AD AF ì=ïï??íï
=ïî
AB AC BAD CAF
AD AF ì=ï
ï??íï
=ïî
∴△ABD ≌△ACF (SAS )， ∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠B ， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B ＝∠ACB ＝45°，
∴∠ECF ＝∠ACB ＋∠ACF ＝45°＋45°＝90°， 在Rt △CEF 中，由勾股定理得，EF 2＝ CF 2＋CE 2， 所以，DE 2＝BD 2＋CE 2．
第9题答案图
B 组 提高练习
10．(2016东营)在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝
BC
边上的高AD
＝6，
则另一边BC 等于 ( )
A ．10 B
．8 C ．6或10 D ．
8或10
【答案】C (提示：在图①中，由勾股定理，得BD ＝8
；CD ＝2；∴BC ＝BD ＋CD
＝8＋2＝10．在
图②中，由勾股定理，
得BD 8；CD
＝2；∴BC ＝BD －CD ＝8－2＝6．)
图① 图②
11．(2016资阳)如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，CO ⊥AB 于点O ，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且AD ＝ CE ，连结DE 交CO 于点P ，给出以下结论：
①△DOE 是等腰直角三角形：②∠CDE ＝∠COE ;③若AC ＝1，则四边形CEOD 的面积为，其中所有正确结论的序号是．
【答案】①②③(提示：①如图，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CO ⊥AB ，∴AO ＝OB ＝OC ，∠A ＝∠B ＝∠ACO ＝∠BCO ＝45°，∴△ADO ≌△CEO ，∴DO ＝ OE ，∠AOD ＝∠COE ，∴∠AOC ＝ ∠DOE ＝90°，∴△DOE 是等腰直角三角形．故①正确．②∵∠DCE ＋∠DOE ＝180°，∴D 、C 、E 、
O 四点共圆，∴∠CDE ＝∠COE ，故②正确．③∵AC ＝BC ＝1，∴S △ABC
＝×1×1＝，
S 四边形DCEO ＝S △DOC ＋S △CEO ＝ S △CDO ＋S △ADO ＝S △AOC ＝S △ABC ＝，故③正确．)
12．△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点
D
1
4
12
12
12
14
不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF．连接CF．
(1)观察猜想
如图1．当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：．
②BC，CD，CF之间的数量关系为：；(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB＝
，CD＝BC
，请求出
GE的长．
图 1 图 2 图3
第12题
【答案】解：(1)垂直，BC＝CD＋CF．
(2)不成立，BC＝CD－CF．
∵正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，
1
4
∵AD ＝AF ，AB ＝AC ，
∴△DAB ≌△FAC ，∴∠ABD ＝∠ACF ，CF ＝BD ∴∠ACF －∠ACB ＝90°，即CF ⊥BD ; ∵BC ＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF ．
(3)过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EM ⊥BD 于M ，EN ⊥CF 于N ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴BC
AB ＝4，AH ＝BC ＝2，∴CD ＝BC
＝1，CH ＝BC ＝2，∴DH
＝3．
由(2)证得BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5， ∵四边形ADEF 是正方形，
∴AD ＝DE ，∠ADE ＝90°，∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ， ∴四边形CMEN 是矩形，∴NE ＝CM ，EM ＝CN ， ∵∠AHD ＝∠ADE ＝∠EMD ＝90°， ∴∠ADH ＋∠EDM ＝∠EDM ＋∠DEM ＝90°， ∴∠ADH ＝∠DEM ，∴△ADH ≌△DEM ，
∴EM ＝DH ＝3，DM ＝AH ＝2，∴CN ＝EM ＝3，EN ＝CM ＝3， ∵∠ABC ＝ 45°，∴∠BGC ＝45°， ∴△BCG 是等腰直角三角形， ∴CG ＝BC ＝4，∴GN ＝1， ∴EG ．
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12
第12题答案图。