江西省赣州市赣县区第三中学2021届高三数学上学期强化训练试题2

江西省赣州市赣县区第三中学2021届高三数学上学期强化训练试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．已知集合，，，则的子集共有
A．个 B．个 C．个 D．个
2．是虚数单位，复平面内表示的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．学校有3个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，他们参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率为
A． B． C． D．
4．数列中，，，，，则
A． B． C． D．
5．执行右面的程序框图，如果输出的的值是，
则输入的的值是
A． B． C．或 D．以上都不是
6．直角坐标系中，点在直线上，则
A． B． C． D．
7．已知，、，则
A． B． C． D．
8．是正三棱柱，若，，则
A． B． C． D．
9．经过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线与抛物线相交于、两点，若，则
A． B． C． D．
10．给出下列结论：⑴某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053，098，则样本中最大的编号为862．
⑵甲组5个数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲．
⑶若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1．
⑷对A 、B 、C 三种个体按3∶1∶2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A 种个体有15个，则样本容量为30．
其中，正确结论的个数是
A ．
B ．
C ．
D ． 11．直角坐标系
中，双曲线的左焦点为，
，是右支上的动点，
则
的最小值是
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知函数，若
，且
，则的取值范围是
A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22 ~ 23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．是等比数列，若
，
，则数列
的前项和 ．
14．
是边长为的正方形，、分别是
、
的中点，则
．
15．设，满足 则
的取值范围是 ．（用区间表示）
16．点M ，N 分别是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 面AMN ，则1PA 的长度范围为______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，DE
AC ，AC ⊥平面BCD ，24AC DE ==，2BC =，
1DC =，60BCD ∠=︒.
（1）证明：BD ⊥平面ACDE ；
（2）过点D 作一平行于平面ABE 的截面，画出该截面，不用说明理由，求夹在该截面与平面ABE 之间的几何体的体积.
18．（本小题满分12分）
物业公司为了改善某小区空气质量和居住环境，计划将小区内部的空地种植绿植，平时许多用户将私家车停在空地上，为了了解该小区居民对种植绿植的态度，在该小区中随机抽查了
年龄段[)
15,25[)
25,35[)
34,45[)
45,55[)
55,65[]
65,75
频数 5 15 20 n20 10
赞成人
数
3 12 17 18 16 2
（1）求出表格中n的值，并完成被调查人员年龄的频率分布图．
（2）若从年龄在[)
45,55被调查者中按照是否赞成进行分层抽样，从中抽取5人参与某项调查，然后再从这5人中随机抽取2人参加座谈会，求选出的2人中至少有1人赞成“种植绿植”的概率．
19.（本小题满分12分）
△的角、、的对边为、、，已知、、成等差数列，．
（1）若，求；
（2）若△的周长为，求△的面积．
20．（本小题满分12分）
直角坐标系中，椭圆（）的短轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为且经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆上任意一点，若（，），证明：为定值．
21．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求证：．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求与交点的直角坐标．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，是非零常数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，求证：．
参考答案
一、选择题 ABBC CADB DCBC 二、填空题 13. （直接代公式，没有化简也可）； 14. ；
15.（端点值各1分，区间符号各1分，其他1分）； 16. 32[
，5
] 16.【解析】：取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连结1A E ，1A F ，EF ，取EF 中点O ，连
结1A O ，
点M ，N 分别是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点， 1//AM A E ∴，//MN EF ， AM
M N M =，1A E
EF E =，
∴平面//AMN 平面1A EF ，
动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 面AMN ，
∴点P 的轨迹是线段EF
，
2211151()2A E A F ==+=，2212
1122
EF =+， 1
AO EF ∴⊥， ∴当P 与O 重合时，1PA 的长度取最小值：2215232
(
)()24A O =+=， 当P 与E （或)F 重合时，1PA 的长度取最大值：115
A E A F == 1PA ∴的长度范围为32[
，5
]． 三、解答题
17.解：：（1）证明：在BCD ∆中，2221212cos603BD =+-⨯⨯=. 所以222BC BD DC =+，所以BCD ∆为直角三角形，BD CD ⊥. 又因为AC ⊥平面BCD ，所以AC BD ⊥.
而AC CD C ⋂=，所以BD ⊥平面ACDE .
（2）取AC 的中点F ，BC 的中点M ，连接,,DF DM MF ，平面DFM 即为所求. 由（1）可知，BD ⊥平面ACDE ，FC ⊥平面CDM . 因为()24113332B ACDE V -+⨯=
⨯= 1113sin60232F CDM
V -⨯⎛⎫
=⨯⨯=
⎪⎝⎭
， 所以，所求几何体的体积353
3V =
=
18.（1）由题知被调查者一共100人，
所以有515202010100n +++++=， 解得：30n =，
则被调查人员年龄各组的频率为0.05，0.15，0.20，0.30，0.20，0.10， 所以频率分布表如下：
年龄段 [)15,25
[)25,35 [)34,45 [)45,55 [)55,65 []65,75
频数 5 15 20 30 20 10 频率 0.05 0.15 0.20 0.30 0.20 0.10 频率/组距
0.005
0.015
0.020
0.030
0.020
0.010
所以被调查人员年龄的频率分布直方图如下图所示：
（2）由（1）知，年龄在[
)45,55的共有30人，其中赞成的有18人，不赞成的有12人， 由分层抽样赞成者应选3
535
⨯=人，记为1a ，2a ，3a ；不赞成有2人，记为1b ，2b ，
从中选取2人，不同的取法有：{}12,a a ，{}13,a a ，{}1`1,a b ，{}12,a b ，{}23,a a ，
{}21,a b ，{}22,a b ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}12,b b ，共10种，
其中至少有1人赞成的取法有：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}23,a a ， {}21,a b ，{}22,a b ，{}31,a b ，{}32,a b ，共9种，
故选出的2人中至少有1人赞成“种植绿植”的概率为9
10
P =．
19.解：（1）依题意，
…………1分
由余弦定理得，
…………3分
（公式1分、其他1分） 即 …………5分 解得 或，舍去负值得， …………6分 （2）（方法一）依题意，， …………7分 所以， …………8分 由余弦定理得， …………9分
解得 …………10分 由且得，
…………11分 △
的面积
…………12分 （方法二）由条件可得，△
的三边长之比为 …………8分
由
得
，
…………10分
由且得，…………11分
△的面积…………12分
20.解：（1）依题意，，…………2分
解得，，椭圆的方程为…………4分
（、任何一个正确1分、其他1分）
（2），直线的方程为…………5分
由得，…………6分
设、、，则，………7分
由得，…………8分因为、、都在椭圆上，所以，，，
…………9分
…………10分
…………11分
，
所以，，是定值…………12分
（若只取特殊点如得到，给1分）
21.解：（1），…………1分
，…………2分
所求切线方程为，即…………3分（点斜式、斜截式、一般式均给分）
（2）（方法一）作函数…………4分
（其他适宜函数如、也相应给分）
…………5分
；当时，；当时，…………6分所以，即，等号当且仅当时成立…………7分作函数…………8分
…………9分
；当时，；当时，…………10分所以，即，等号当且仅当时成立…………11分
因为，综上所述，，，即…………12分
（方法二）在定义域区间单调递减…………4分
，所以，有唯一零点，且是极大值点
…………7分
，由得，，
…………9分代入得，…………10分
因为，所以，…………12分
22.解：（1）由得，…………1分
曲线的直角坐标方程为…………3分
（2）由即得，，
…………5分相乘得，曲线的直角坐标方程为…………6分
由得，…………7分
解得或…………8分
时，，；时，无实数解…………9分
所以，与交点的直角坐标为…………10分
（第8分到第10分综合考虑给分：第8分处只有1个解给0.5分，第9分处讨论1种情况给0.5分，第10分处只得到1个点给0.5分，三处合计分四舍五入计分总分。

如果在
第8分处根据，，排除，则该处共9分）
23.解：（1）时，…………1分
时，，解得…………2分
时，…………3分
时，，解得…………4分不等式的解集为
…………5分（2）…………6分
因为，，，
…………9分（条件1分，公式1分，结果1分）所以，…………10分。