理论力学-点的运动

r r r(t t) r(t) MM r
它表示在△t时间内动点矢径之改变，称为动点在△t时间内的位移。
第一章 点的运动
§1-2 用矢量法表示点的速度和加速度
2. 速 度
比值
MM r r r
v


t t t
M
表示动点在△t时间内的平均速度。 M0
y D
x OA OH AH M⌒H MB
r r sin
C
φ
M
B
OA
H
y AM HB HC BC
x
r r cos
第一章 点的运动
§1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 例题1-3
y
D
E
C
φ
M
B
OA
H
x r r sin y r r cos
第一章 点的运动
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程
1. 自然法
（1）、定义： 以动点的运动轨迹作为一条曲线形式的坐标 轴来确定动点位置的方法称为自然法。
（2）、运动方程：设动点M 沿已知轨迹曲线运动，在轨迹
曲线上任选一定点O作为量取弧长的起点，并规定由原点O向
一方量得的弧长取正值，向另一方量得的弧长取负值。这种
另一方面，有分解式
a axi ay j azk
第一章 点的运动
§1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 加速度
加速度的矢量表达式 加速度的分解式
a dv dvx i dvy j dvz k dt dt dt dt
a axi ay j azk
其中ax，ay，az是加速度a 在固定轴x，y，z上的投影。比较上 列两式，得
当△t→0时，v﹡的极限值称为动点 在瞬间t 之速度
v lim v lim r dr
t0
t0 t dt
r A r0
即点的速度等于它之矢径对时间的一阶导数。
v
M′ v
△r
B r′
O
由矢导数定义知，动点之速度v的方向沿动点的矢端图（即 轨迹曲线）的切线方向，并与此点的运动方向一致。
运动学
点的运动
西北工业大学
第一章 点的运动
运动学
第
§1–1确定点的运动的基本方法点的运动方程
一
章
§1–2用矢量法表示点的速度和加速度
点
§1–3用直角坐标法表示点的速度和加速度
的
运
动
§1–4用自然法表示点的速度和加速度
第一章 点的运动
目录
§1-1 确定点的运动的基本方法· 点的运动方程
自然法 坐标法 矢量法
例1-2 曲柄连杆机构中曲柄OA和连杆AB的长度分别
为r和l。且l>r，角=ωt，其中ω是常量。滑块B可沿轴
Ox作往复运动。试求滑块B的运动方程，速度和加速度。
y
A
l
B
O
x
C
第一章 点的运动
例题1-2
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程 例题1-2
第一章 点的运动
运动演示
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程 例题1-2
ax

dvx dt

d2x dt 2 ,
ay

dvy dt

d2 y dt 2 ,
az

dvz dt

d2z dt 2
即，点的加速度在固定直角坐标系各轴上的投影，分别等于 点的速度的对应投影对时间的一阶导数，或者等于对应坐标 对时间的二阶导数。
第一章 点的运动
§1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 加速度
带有正负值的弧长OM 称为动点的弧坐标，用s表示。点在轨
迹上的位置可由弧坐标s完全确定。 s
（＋）
（－） O
M
第一章 点的运动
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程 自然法
当点M沿已知轨迹运动时，弧坐标s随时间而变，并可表 示为时间t的单值连续函数，即
s f (t)
（－） O
s M
O v
v
a*
（1）平均加速度
在△t时间内，速度改变量为 Δ v ，v 比v值 为在△t 时间内之平均加速度
a v t
第一章 点的运动
称 v
t
§1-2 用矢量法表示点的速度和加速度 加速度
（2）瞬时加速度
当△t→0时， v之极限称为动点在瞬时t 之瞬时加速度。
t
又
v dr dt
y D
C φ M
O
H
x
第一章 点的运动
例题1-3
§1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 例题1-3
解： 1.求M点的运动方程。
在M点的运动平面内取直角坐标系Oxy如图所示：轴 x 沿
直线轨道，并指向轮子滚动的前进方向，轴 y 铅直向上。考
虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，故有 OH=M⌒H 。于是，在图示瞬时动点M 的坐标为



4
cos 2t

滑块B的速度和加速度分别为
y A l
O
C
v dx rsin t sin 2t
dt

2

a

d2x dt 2

r 2 cost cos2t.
B
x
第一章 点的运动
§1-2 用矢量法表示点的 速度和加速度
位移 速度 加速度
v
v
v
第一章 点的运动
§1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度
2. 直角坐标法表示点的加速度
速度v 的矢量表达式
v dr dx i dy j dz k dt dt dt dt
把速度v 的表达式对时间t 求导数，可得加速度的矢量表达式
a dv dvx i dvy j dvz k dt dt dt dt
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程 例题1-1
第一章 点的运动
轨迹演示
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程 例题1-1
思考题
？ M点的轨迹是什么曲线
第一章 点的运动
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程 例题1-1
轨迹演示
第一章 点的运动
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程 例题1-2
第一章 点的运动
§1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 例题1-3
例1-3 半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如 图）。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t 半径MC与轨道的垂线HC组成交角φ=ωt，其中ω是常量。试求 在车轮滚一转的过程中该M点的运动方程，瞬时速度和加速度。
第一章 点的运动
§1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 速 度
Байду номын сангаас
已知动点速度的投影，可求出速度矢量v的大小和方向余弦。
v
vx2

v
2 y
vz2

( dx )2 ( dy )2 ( dz )2 dt dt dt
cos(v, i) vx , cos(v, j) vy , cos(v, k) vz
已知动点加速度的投影，可求出加速度a 的大小和方向余弦
a
ax2

a
2 y

az2
( dvx )2 ( dvy )2 ( dvz )2
dt
dt
dt

(
d2 dt
x
2
)2

(
d2 dt
y
2
)

(
d2 dt
z
2
)2
cos(a, i) ax a
cos(a, j) ay , a
cos(a, k) az a
v dr dx i dy j dz k dt dt dt dt
以vx，vy ，vz ，代表速度v 在固定轴x，y，z上的投影，则有
v vxi vy j vzk
与前式比较，得
vx

dx dt
,
vy

dy dt
,
vz

dz dt
即,点的速度在固定直角坐标系各轴上的投影,分别等于动点的 对应坐标对时间的一阶导数。
解: 考虑滑块 B 在任意位置，由几何关系得滑块 B 的坐标
x r cos t l
1

r
2
sin
2

t
l
将φ=ωt 代入上式得
x OC CB r cos l 2 r2 sin2
令λ= r/l，将上式中的根
式展开，有
y A
O
C
1 2 sin2 t 1 1 2 sin2 t 1 4 sin4 t
第一章 点的运动
§1-2 用矢量法表示点的速度和加速度
1. 位 移
M
M′
设有一点M沿曲线AB运动，在任
M0
△r
B
一瞬时t，该点之位置可由如下矢径 A 确定
r
r′
r r(t)
r0
显然，当动点M沿 AB 运动时，r是一变矢量。
O
从瞬时 t 到 t +△t ，动点位置由M改变到M′，其矢径分别 为r和r′。在时间间隔△t内，r 之变化量为
矢径端点在空间描出的曲线称为矢端图，它就是动点的轨迹。 矢量法确定点的位置比直角坐标法简明，理论推导时常用。
第一章 点的运动
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程 矢量法
矢量法实例
第一章 点的运动
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程 例题1-1
y B
A

C x
O
y
x
M
例 1-1 椭 圆 规的曲 柄 OA
可绕定轴O转动，端点A以铰链
连接于规尺BC；规尺上的点B 和C可分别沿互相垂直的滑槽 运动。求规尺上任一点M 的轨
迹方程。
已知: OA AC AB a 2
CM b.
第一章 点的运动
例题1-1
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程 例题1-1
x f1(t), y f2 (t), z f3(t)
x
r
kj iO
y
这一组方程称为点M的直角坐标形式的运动方程。
M
z y
x
若函数f1， f2 ， f3都是已知的，则动点M 对应于任一瞬间 t 的位置即可完全确定。
在运动方程的三个式子中消去t 即得直角坐标形式的轨迹方程。
第一章 点的运动
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程
2
8
l
B
x
第一章 点的运动
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程 例题1-2
略去λ4以及更高阶项，并利用关系
sin2 t 1 cos 2t
则
2
可表示为
x r cos t l
1


r
2
sin 2
t
l
x

l1
2
4

r cos t
z
kj
y
因而有速度的矢量法表达式
x
v dr d (xi yj zk)
iO y
x
dt dt
由于沿固定轴的单位矢i、j、k不随时间而变,它们对时
间的导数都等于零,故得
v dr dx i dy j dz k dt dt dt dt
第一章 点的运动
§1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 速 度
第一章 点的运动
§1-2 用矢量法表示点的速度和加速度
3. 加 速 度
设从某一固定点O画出动点在
M
连续瞬间t0 ，t,t+△t、t2….速度 v0
矢
v0 , v , v, v......
M0
连接各速度矢量之端点，可得一曲线，
称为速度矢端图，此时可视v为一变矢量。
v M′
v
M〞
v
v0
v
△v
第一章 点的运动
运动演示
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程 例题1-1
解: 考虑任意位置， M点的坐标 x，
y可以表示成
y B
x (a b) cos
y bsin
A

C x
O
y
x
M
消去上式中的角φ，即得M点的 轨迹方程:
x2 (a b
)2

y2 b2
1
第一章 点的运动
3.矢量法 由定点O画到动点M的有向线段OM=r
称为动点M的矢径，它的解析式为
r OM xi yj zk
矢径r 唯一的决定了点M的位置。当点
M 运动时，矢径r 是随时间而变的矢量，
一般可表示为时间t的单值连续函数
x
z
r kj iO
y
M
z y
x
r r(t)
这方程称为点M的矢量形式的运动方程。
直角坐标法表示点的速度 直角坐标法表示点的加速度
第一章 点的运动
§1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度
1. 直角坐标法表示点的速度
z
已知动点的直角坐标形式的运动方程
M
x f1(t), y f2 (t), z f3(t)
由坐标原点O画出动点的矢径
r xi yj zk
r
（＋）
这个方程表示了点M沿已知轨迹的运动规律，称为自然 法表示的点M的运动方程。
第一章 点的运动
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程
2.坐标法—— 通常采用直角坐标。
z
动点M对于所选直角坐标系的位置，
可由它的三个坐标x，y，z 决定。当点 M 运动时，这些坐标一般地可以表示 为时间t 的单值连续函数，即
a lim v dv t0 t dt
则
a

dv dt

d2r dt 2
v0
v
△v
a
O v
v
a*
即动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，或等于它 的矢径对时间的二阶导数。其方向沿速度矢端图之切线，并 指向速度矢端运动的方向。
第一章 点的运动
§1-3 用直角坐标法表示点 的速度和加速度