线性函数转换
拉普拉斯变换微分方程
拉普拉斯变换微分方程拉普拉斯变换是数学中广泛使用的一种算法，用于研究各类微分方程，特别是线性时不变系统的稳定性和动态行为。
在本文中，我们将了解到拉普拉斯变换微分方程的基本原理和应用。
一、拉普拉斯变换的定义和性质拉普拉斯变换是一种复杂的算法，可以将给定的函数f(t)转换为一个复函数F(s)，其中s是复变量。
拉普拉斯变换的定义如下：L{f(t)} = F(s) = ∫_0^∞ e^(-st)f(t)dt其中，s是复变量，e^(-st)是指数函数，t是实变量。
f(t)是一个连续函数，可以是实函数或复函数。
拉普拉斯变换有一些基本性质，如下所示：1. 线性性：L{a f(t) + b g(t)} = a F(s) + bG(s)，其中，a和b是任意常数，f(t)和g(t)是任意函数。
2. 位移性：L{f(t-a)} = e^(-as) F(s)，其中，a是任意常数。
3. 拉普拉斯变换与导数的关系：L{f'(t)} = sF(s) - f(0)，其中，f'(t)表示f(t)的导数，f(0)表示f(t)在t=0时的值。
二、拉普拉斯变换微分方程的基本原理拉普拉斯变换可用于求解线性常系数微分方程，例如：a_n y^(n) + a_(n-1) y^(n-1) + ... + a_0 y =f(t)其中，a_n、a_(n-1)、...、a_0是常数，f(t)是给定的函数，y表示未知函数。
将上式两边同时取拉普拉斯变换，得到：L{a_n y^(n) + a_(n-1) y^(n-1) + ... + a_0 y} = L{f(t)}根据拉普拉斯变换和导数的关系，上式等价于：a_n s^n Y(s) - a_(n-1) s^(n-1) y(0) - ... - a_0 y(0) = F(s)其中，Y(s)表示y(t)的拉普拉斯变换。
将y(0)、y'(0)、...、y^(n-1)(0)带入上式，可得到Y(s)的表达式，从而求解y(t)。
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种在信号和系统分析中广泛应用的数学工具。
它将一个函数从时域转换到频率域，可以用于解决微分方程、计算系统的冲激响应和频率响应等问题。
拉普拉斯变换公式是拉普拉斯变换的基本公式之一，用于将函数从时域表示转换为频域表示。
F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞]e^(-st)f(t)dt其中，F(s)表示拉普拉斯变换后的函数，s是一个复数，而f(t)是原始函数。
在上述公式中，∫[0,∞]表示对t从0到正无穷之间的所有值进行积分。
e^(-st)是指数函数，s是一个复数参数，t是自变量。
f(t)是原始函数，也被称为拉普拉斯变换的原函数。
通过拉普拉斯变换公式，我们可以将一个函数从时域转换到频域。
这意味着我们将原始函数用复指数函数（e^(-st)）的积分来表示。
在复平面上，s可以表示为s = a + jb，其中a和b都是实数，a是实部，b是虚部。
拉普拉斯变换公式可以用于解决许多信号和系统分析的问题。
例如，我们可以使用拉普拉斯变换来解决线性微分方程。
通过将微分方程转换为拉普拉斯域，我们可以将微分方程转换为代数方程，从而更容易地解决。
此外，利用拉普拉斯变换可以方便地计算系统的冲激响应和频率响应。
在应用拉普拉斯变换时，有几点需要注意。
首先，原始函数f(t)必须满足一定的条件，如函数在一个有界的时间段内存在或函数在正向无穷大时的极限存在。
其次，拉普拉斯变换是线性的，即对于给定的常数a和b，拉普拉斯变换遵循以下性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)。
此外，拉普拉斯变换公式还有许多相关的性质和定理，如初始值定理、最终值定理、微分定理和频移定理等。
这些性质和定理为我们在实际应用中提供了方便和灵活性。
总结起来，拉普拉斯变换公式是将一个函数从时域表示转换到频域表示的基本公式之一、它在信号和系统分析中广泛应用，用于解决微分方程、计算系统的冲激响应和频率响应等问题。
《高等代数》线性变换PPT课件
x 1
A
x2
.
x n
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基
{1,2, ,的n 矩}阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1,x2, ,xn，) 而σ(ξ)的坐标是 (y1,y2, ,yn)，
例1 对于 R 2 的每一向量x1,x2定义
x 1 ,x 1 x 2 ,x 1 x 2 R 3
σ是 R 2到 R 3的一个映射，我们证明，σ是一个线
性映射.
例2 令H是V 3 中经过原点的一个平面.对于 V 3 的每一
向量ξ，令 表示 向量ξ在平面H上的正射影.根据射 影的性质， : 是到V 3 的V一3 个线性映射.
x1
( 1,
2
,
,
n
)
x2
.
xn
因为σ是线性变换，所以
() x1(1)x2(2)xn(n)
（2）
x1
((1),(2),,(n))
x2
.
xn
将（1）代入（2）得
x1
(
)
(1,2
,,
n
)
A
x2
.
xn
最后，等式表明，( )关 ( 1 , 于 2 , n )的坐标所组成
定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线性
射，那么
:VW
(i) σ是满射 Im)(W
(ii) σ是单射 K(e )r{0}
线性定常系统的线性变换
线性定常系统的线性 变换
https://
REPORTING
2023
目录
• 线性定常系统概述 • 线性变换的基本概念 • 线性定常系统的线性变换 • 线性变换的应用 • 线性变换的挑战与解决方案 • 线性变换的案例研究
2023
PART 01
线性定常系统概述
REPORTING
定义
线性变换是一种将系统从一种形式转换为另一种形式的方法，常 用的线性变换包括拉普拉斯变换和傅里叶变换。
应用
线性变换在控制系统分析和设计中具有广泛应用，如系统函数、传 递函数、频率响应等。
实现
通过数学运算和变换，将系统的形式进行转换，以便于分析和设计。
2023
PART 04
线性变换的应用
REPORTING
解决方案
为了提高计算效率，可以采用一些优化技术，如矩阵分块、稀疏矩阵、并行计算等，来降 低计算复杂度和提高计算速度。同时，也可以采用一些数值计算方法，如近似计算、数值 积分等，来减少计算量。
2023
PART 06
线性变换的案例研究
REPORTING
案例一：控制系统中的状态反馈线性变换
状态反馈线性变换的概念
线性变换的挑战与解决方 案
REPORTING
线性变换的稳定性问题
定义
线性变换的稳定性问题主要关注变换后的系统是否能够保 持稳定，即系统的状态是否能够逐渐收敛到某一平衡点或 周期性振荡。
挑战
在实际应用中，由于系统参数、初始条件、外部干扰等因 素的影响，线性变换后的系统可能会出现不稳定的情况。
解决方案
2023
PART 02
线性变换的基本概念
ห้องสมุดไป่ตู้
拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换表第一篇：拉普拉斯变换基础拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，在工程、物理、经济等领域都有重要的应用。
拉普拉斯变换可以将一个复杂的函数转换成另一个更易于处理的函数，从而为解决实际问题提供了便利。
1. 拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换是一种线性运算，它将一个函数f(t)转换成另一个函数F(s)，数学上可以表示成：F(s)=∫0 ^∞e^(-st)f(t)dt其中，s是一个复数，称为变换参数。
实际上，s的实部和虚部分别对应于指数函数e^(-st)中的衰减因子和频率。
2. 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换有很多重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和使用拉普拉斯变换。
(1) 线性性质拉普拉斯变换是一种线性运算，即对于任意常数a和b，有：L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)(2) 平移性质拉普拉斯变换具有平移性质，即：L{f(t-a)}=e^(-as)F(s)(3) 尺度变换性质拉普拉斯变换还具有尺度变换性质，即：L{f(at)}=1/aF(s/a)(4) 求导性质拉普拉斯变换对时间的一阶和二阶导数的变换分别为：L{f'(t)}=sF(s)-f(0)L{f''(t)}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)(5) 初值定理和终值定理拉普拉斯变换有两个重要的极限定理，分别是初值定理和终值定理。
初值定理描述了原函数在t=0时的值与拉普拉斯变换之间的关系，可以表示为：lim_(s→+∞)sF(s)=f(0)终值定理则描述了原函数在t趋近于无穷时的极限值与拉普拉斯变换之间的关系，可以表示为：lim_(s→0) sF(s)=lim_(t→∞) f(t)3. 常见函数的拉普拉斯变换下面是几种常见函数的拉普拉斯变换：(1) 矩形波函数rect(t)L{rect(t)}=1/s(2) 单位阶跃函数u(t)L{u(t)}=1/s(3) 指数衰减函数e^(-at)L{e^(-at)}=1/(s+a)(4) 三角函数sin(at)L{sin(at)}=a/(s^2+a^2)(5) 三角函数cos(at)L{cos(at)}=s/(s^2+a^2)第二篇：拉普拉斯变换表1下面是一份拉普拉斯变换表，其中包含了一些常见函数的拉普拉斯变换。
线性变换的定义和性质
汇报人：XX
• 线性变换的基本概念 • 线性变换的基本性质 • 线性变换的矩阵表示 • 线性变换的应用举例 • 线性变换与空间结构的关系
01
线性变换的基本概念
定义与性质
线性变换定义
保持原点不动
保持向量共线性
保持向量比例不变
线性变换是一种特殊的映射， 它保持向量空间中的加法和数 乘运算的封闭性。即对于向量 空间V中的任意两个向量u和v 以及任意标量k，都有 T(u+v)=T(u)+T(v)和 T(kv)=kT(v)。
矩阵性质
线性变换的矩阵表示具有一些特殊的性质。例如，两个线性变换的复合对应于它们矩阵的乘积；线性变换的可逆 性对应于矩阵的可逆性；线性变换的特征值和特征向量对应于矩阵的特征值和特征向量等。
02
线性变换的基本性质
线性变换的保线性组合性
线性组合保持性
对于任意标量$a$和$b$，以及向量 $mathbf{u}$和$mathbf{v}$，线性 变换$T$满足$T(amathbf{u} + bmathbf{v}) = aT(mathbf{u}) + bT(mathbf{v})$。
通过引入复数和极坐标等 概念，可以将某些函数图 像进行旋转。
微分方程中的线性变换
变量代换
通过适当的变量代换，可以将某些非线性微分方 程转化为线性微分方程，从而简化求解过程。
拉普拉斯变换
将时间域内的微分方程通过拉普拉斯变换转换到 频域内，从而方便求解和分析。
傅里叶变换
将时间域内的函数通过傅里叶变换转换到频域内 ，可以分析函数的频率特性和进行滤波等操作。
数乘保持性
对于任意标量$k$和向量$mathbf{v}$，线性变换$T$满足$T(kmathbf{v}) = kT(mathbf{v})$。
灰度线性变换
灰度线性变换
灰度线性变换（Gray-Level Linear Transformation, GLT)是一种常用的图像处理技术，可以通过线性变换来改变图像的亮度和对比度。
一般来说，每个像素的灰度都是由一个介于0到255之间的整数确定的，分别对应黑色和白色。
灰度线性变换就是通过改变灰度值的映射关系，来调整图像的亮度和对比度。
灰度线性变换的原理可以用以下直观的公式来描述：
g(x,y)=T(f(x,y)) 其中，T(x1)是为每个亮度值x1所设置的新的亮度值；
f(x,y)表示原图像的每个像素点；
一般来说，变换函数T(x1)可以用一次函数来描述，即 T(x1)=ax1+b （其中，a，b 为实数常量），由此可知，a的取值范围在0-1之间，表示图像亮度的比例； b的取值范围为0-255，表示图像的偏移量。
正如我们所知，灰度线性变换的优点是可以简单、快速地调整图像的亮度和对比度。
缺点是它不能改变图像的分布特征，只能做一些简单的变换，而不能实现图像的特定效果处理，比如拉伸度和畸变处理等。
因此，灰度线性变换通常只用于处理图像的简单变换，比如调整图像的亮度和对比度的需求，或者在彩色图像转换为灰度图像的过程中。
一般来说，使用灰度线性变换容易实现，而且对于一些常用的算法有很好的效果，所以经常被用来处理图像。
liouville变换 sturm-liouville方程
Liouville变换和Sturm-Liouville方程都是数学上的概念，涉及到泛函分析和偏微分方程。
Liouville变换是一种将实函数转换为复函数的线性变换，它的定义域为整个实数轴，值域为复数域。
该变换是由法国数学家Louis Antoine Liouville于1837年提出的。
Liouville变换在数学上有广泛的应用，特别是在偏微分方程的解法中，如Sturm-Liouville方程。
Sturm-Liouville方程是一个二阶偏微分方程，形式为：
其中，和都是连续可微函数。
该方程的解可以看作是一个函数在某个区间上的极值点的分布情况，因此它与函数的极值理论密切相关。
Sturm-Liouville方程的解法是通过对和进行一定的假设，然后利用函数的极值理论
来求解。
其中一种常用的假设是和满足某些特定的条件，如是一个正定函数，是一个负定函数等。
这种假设被称为Sturm-Liouville假设。
在Sturm-Liouville方程的解法中，Liouville变换起到了重要的作用，因为它可以将实函数转换为复函数，从而使得求解方程变得更加容易。
拉普拉斯变换
定义
定义
一个定义在区间的函数,它的拉普拉斯变换式定义为称为的象函数，称为的原函数。 通常用表示对方括号里的时域函数作拉氏变换，记作
定义式
ห้องสมุดไป่ตู้
定义式
式中，是复变量的函数，是把一个时间域的函数变换到复频域内的复变函数。 为收敛因子。 为一个复数形式的频率，简称复频率，其中实部恒为正，虚部可为正、负、零。
拉普拉斯变换
工程数学中常用的一种积分变换
01 定义
03 存在条件 05 实例
目录
02 定义式 04 公式概念 06 基本性质
07 发展历史
09 应用定理
目录
08 联系
基本信息
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。 拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参 数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着 广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着 重要作用。
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上， 拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化 上都有广泛的应用。
谢谢观看
存在条件
存在条件
表达式中，右边的积分为有限值。
公式概念
公式概念
拉普拉斯变换应用过程中，需要从实际出发，首先以研究对象为基础，将其规划为一个时域数学模型，然后 再借助于拉普拉斯变换数学工具转变为复域数学模型，最后如果想要结果表现的更直观，可以使用图形来表示， 而图形的表示方法是以传递函数(复域数学模型)为基础，所以拉氏变换是古典控制理论中的数学基础。利用拉氏 变换变换求解数学模型时，可以当作求解一个线性方程，换而言之拉氏变换不仅可用来将简单的时域信号转换为 复数域信号，还可以用来求解控制系统微分方程。拉氏变换是将时域信号变为复数域信号，反之，拉氏反变换是 将复数域信号变为时域信号。
线性代数课件7-3正交变换
05
正交变换在信号处理中的 应用
信号分解与合成原理介绍
信号分解
将复杂信号分解为一系列简单信 号的过程，这些简单信号通常是 正交基函数的线性组合。
信号合成
将分解得到的简单信号按照一定 规则重新组合，以恢复或逼近原 始信号的过程。
正交基函数
一组满足正交性条件的函数，用 于表示信号空间中的任意信号。 常见的正交基函数包括正弦函数、 余弦函数、小波基函数等。
曲线和曲面形状描述及性质分析
曲线形状描述
通过正交变换可以对曲线进行形 状描述，如曲线的弯曲程度、拐 点等性质可以通过正交变换进行
分析。
曲面形状描述
正交变换也可以用于曲面的形状描 述，如曲面的弯曲程度、法线方向 等性质可以通过正交变换进行分析。
性质分析
通过正交变换可以分析曲线和曲面 的性质，如曲线的长度、曲面的面 积等性质可以通过正交变换进行计 算和分析。
小波变换原理及实现方法
小波变换原理
小波变换是一种时频分析方法，通过伸缩和 平移小波基函数来匹配信号的局部特性。与 傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频 分辨率和局部化特性，适用于非平稳信号的 分析和处理。
实现方法
小波变换的实现包括连续小波变换（CWT） 和离散小波变换（DWT）两种方法。CWT 通过连续变化的小波基函数对信号进行匹配， 可以得到信号的时频分布；DWT则通过离 散化的小波基函数对信号进行分解和重构， 可以实现信号的压缩和去噪等应用。
通过正交变换得到的标准型具有唯一性，即不依赖于正交矩阵的选择。
02
正交变换的求解方法
施密特正交化过程
01 选择一组线性无关的向量作为起始向量组。
02
对起始向量组进行施密特正交化，得到一组 正交向量组。
3线性变换及其矩阵表示
此公式在工程和物理中被称为 叠加原理。如果 u1 , u2 ,u p 分别是某个 系统或过程的输入信号向量，则 T (u1 ), T (u2 ),T (up ) 可 分别 视为 该系 统 或过程的输出信号向量。
判断一个系统是否为线性系统的判据 如果系统的输入为线性表达式
y k1u1 k 2 u2 k p u p ，则当系统的输
T (k1α k2 β) k1T (α) k2T ( β)
n u , u , u V 更一般地，若 1 2 ，反 p
复使用上面公式可得
T (k1u1 k2 u2 k p u p ) k1T (u1 ) k2T (u2 ) k pT (u p )
使 T1 1 , T 2 2 ,
则有 1 , 2 Vn ,
从而 1 2 T1 T 2 T 1 2 T Vn ,
因1 2 Vn ; k1 kT1 T k1 T Vn , 因k1 Vn ,
§3
线性变换及其矩阵表示
一、线性变换的引入
在技术科学、社会科学和数学的一些分支中，不
同向量空间之间的线性变换起着重要的作用。因此， 为了研究两个向量空间之间的关系，有必要考虑能够
从一个向量空间到另一个向量空间的转换关系的函数。 事实上，在我们的日常生活中，也经常遇到这种 转换。当我们欲将一幅图像变换为另一幅图像时，通 常会移动它的位置，或者旋转它。例如，函数就能够 将图像的坐பைடு நூலகம்和坐标改变尺度。根据和大于1还是小 于1，图像就能够被放大或者缩小。
在 Vn 中取定一个基 1 , 2 ,, n ，如果这个基 在变换T下的象为
定义 设T是线性空间 Vn 中的线性变换，
函数零点的几种转化方法
函数零点的几种转化方法函数零点转换：从简单变换到复杂技巧。
函数零点是研究函数特性的重要部分，也是学习微积分和其他科学研究的基础内容。
它是指一个函数f（x）在某一特定x处值正好为零，即：f（x_0）=0。
这样的解决方案叫做函数f（x）的零点。
在实际应用中，我们常常需要求出函数的零点，并从中发现物体的抛物运行，通过加速度（函数求导）来找到點和紅綠燈的相关性等等。
在给定一个函数时，无论其有多少个零点，它们都可以用几种转化方法求出。
以下是函数零点的常用转化方法：1、图形转化图形转化法是通过图形分析求出函数零点，并将函数表示为折线图，从而推出函数具有哪些零点。
这种方法可以帮助我们快速分析函数的特征，发现函数的零点，能够快速求出判定的结果，也方便解题。
2、导数相等法这种方法可以使我们在不需要绘制函数图像的情况下就可以求出函数的零点。
该方法的前提条件是要求函数的导数，并将函数和其导数的值代入零点的等式中，利用公式解方程，以求出满足条件的零点。
3、减法规则实际上，对函数在上一步求出结果之后，可以用减法规则，令函数的另一侧变成零来求出另一个零点。
如果一个函数f（x）有一个零点，那么它的反函数g（x）必定有一个零点，只需要求出f（x）的零点，剩下的事情就是在f（x）的另一侧相等地将其变为零，就可以求出g （x）的零点。
4、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种实现函数零点的常用方法，该方法可以有效地求解非线性方程组的求解结果。
牛顿迭代法基本原理是：将一个非线性函数f（x）用最邻近线性函数f（x）的多项式来近似来替代；然后，利用牛顿迭代法迭代求得特定函数的零点的迭代值。
牛顿迭代法的实施要求用一个初始值作为x的初值，然后不断迭代并求解函数，最后在用f（x）完成迭代计算时，当某一步值满足给定的精度要求时，就可以有足够的把握得出该步的迭代值即是函数的零点。
5、收缩范围法收缩范围法是在求函数零点的过程中，利用对比法，对所给函数f（x）进行分析，将求零点的区间缩小，并且不断迭代，直到找到函数满足预期要求的函数零点。
几类基于0-线性转换的置换多项式
密码学报 ISSN 2095-7025 C N10-1195/TN Journal of Cryptologic Research, 2021, 8(1): 55-64 ©《密码学报》编辑部版权所有.E-m a i l:j c r@c a c r n e t.o r g.c n h t t p://w w w_j c r.c a c r n e t.o r g.c nT e l/Fax: +86-10-82789618几类基于0-线性转换的置换多项式#谢茜，王丽莎，李念湖北大学数学与统计学学院应用数学湖北省重点实验室，武汉430062通信作者：王關莎，E-m a i l:w a n g t a o l i s h a@163.c o m摘要：有限域上的置换多项式在密码学，编码理论和序列设计等领域中有着广泛的应用.至今，对于置 换多项式的研究已取得一系列的进展，研究者提出利用A G W准则、分段函数等来构造和证明置换，而对 于置换多项式的分类仅有少数几种被提出，因此构造不同类型的置换多项式是一个值得研究的问题.本文 利用迹函数和线性化多项式构造了一类有限域上具有特殊形式的无限类置换多项式.首先，我们对一类线 性化多项式和一类二次齐次多项式进行讨论，当其存在线性转换时，给出其需要满足的条件.进一步地，当这两类多项式存在0-线性转换时，我们利用这两类函数构造出了有限域上具有特殊形式的两类置换多项 式.关键词：线性转换；线性结构；置换多项式；迹函數；有限域中图分类号：T P309.7 文献标识码：A DOI: 10.13868/j.c n k i.j c r.000419中文引用格式：谢茜，王丽莎，李念.几类基于0-线性转换的置换多项式问.密码学报，2021，8(1): 55-64.丨DOI: 10.13868/j.c n k i.j c r.000419]英文引用格式：XIE X,W A N G L S,L I N.S e v e r a l c l a s s e s o f p e r m u t a t i o i i p o l y n o m i a l s f r o m 0-l i n e a r t r a n s l a-t o r s[J].J o u r n a l o f C r y p t o l o g i c R e s e a r c h, 2021, 8(1): 55-64. [DOI: 10.13868/j.c n k i.j c r.000419]S ev eral C la sses o f P e r m u ta tio n P o ly n o m ia ls fro m0-L in ea rT ra n s la to rsXIE Xi,W A N G L i-Sha,L I N i a nHubei K e y Laboratory of Applied Mathematics, Faculty of Mathematics and Statistics, Hubei University,W u h a n 430062, ChinaCorresponding author: W A N G Li-Sha, E-mail: ********************Abstract:P e r m u t a t i o n p o l y n o m i a l s o v e r f i n i t e f i e l d s a r e w i d e l y u s e d i n c r y p t o g r a p h y,c o d i n g t h eo r y and s e q u e n c e d e s i g n.The s t u d y o f p e r m u t a t i o n p o l y n o m i a l s h a s made a g r e a t p r o g r e s s.Some c o n s t r u c t i o n methods s u c h a s A G W c r i t e r i o n a n d p i e c e w i s e f u n c t i o n method h a v e b e e n p r o p o s e d. However,o n l y a f e w t y p e s o f p e r m u t a t i o n p o l y n o m i a l s a r e known.Thus,i t i s d e s i r a b l e t o c o n s t r u c t new c l a s s e s o f p e r m u t a t i o n p o l y n o m i a l s.T h i s p a p e r c o n s t r u c t s a c l a s s o f i n f i n i t e p e r m u t a t i o n p o l y n om i a l s w i t h s p e c i a l f o r m o v e r f i n i t e f i e l d s by u s i n g t r a c e f u n c t i o n and l i n e a r i z e d p o l y n o m i a l s.F i r s t o f a l l,a c l a s s o f l i n e a r i z e d p o l y n o m i a l s and a c l a s s o f q u a d r a t i c homogeneous p o l y n o m i a l s a r e d i s c u s s e d,**基金项目：武汉市科学技术局应用基础前沿项目（2020010601012189);国家自然科学基金（61702166, 61761166010, 12001176)Foundation: Application Foundation Frontier Project of W u h a n Science and Technology Bureau (2020010601012189); National Natural Science Foundation of China (61702166, 61761166010, 12001176)收稿日期：2020~01-16 定稿日期：202CMD5-0756Journal of Cryptologic Research 密码学报Vo\.8, N o.l，Feb. 2021and t h e c o n d i t i o n s f o r t h e e x i s t e n c e o f l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n a r e d e r i v e d.Then,t w o c l a s s e s o f permut a t i o n p o l y n o m i a l a r e o b t a i n e d by e m p l o y i n g t h e 0-l i n e a r t r a n s l a t o r o f t h e i n v e s t i g a t e d t w o c l a s s e s o f p o l y n o m i a l s r e s p e c t i v e l y.Key words:l i n e a r t r a n s l a t o r;l i n e a r s t r u c t u r e;p e r m u t a t i o n p o l y n o m i a l;t r a c e f u n c t i o n;f i n i t e f i e l di引言设p是素数，ri为正整数，Fp n表示含有p"个元素的有限域.若有限域Fp n上的多项式F(:c)是从 Fp n到自身的一个一一映射，则称F(:c)是Fp™上的置换多项式.平衡性是密码函数一项重要的安全性指 标，而有限域上的置换多项式能够有效地保证平衡性.在密码算法设计中，密码函数常由有限域上具有优 良密码性质（如低差分均匀度、高非线性度、高代数次数等）的置换构成.基于置换多项式在密码学、编 码理论和序列设计等领域的广泛应用，构造新的置换多项式是一个值得深入研究的问题.人们对置换多项式的研宄己有150多年的历史.1863年，HermiteW首先开创了对模素数p的置 换多项式的研究，并提出了有限域Fp上置换多项式的一经典判别方法：Hermite准则.之后，D i c k s o n I2]于1896-1897年将置换多项式的概念推广到任意有限域Fp n上，并对置换多项式作了深入探讨.随后，越来越多的学者对置换多项式进行了研究.目前，已有利用迹函数和线性化多项式13>、分段函数14'51、A G W准则等多种不同方法构造置换多项式.2009年，C o u l t e r,Henderson和Matthews丨31利用迹函 数和线性化多项式构造有限域Fp»上的置换多项式.同年，Charpin和KyureghyanH构造有限域Fp n 上形式为G⑷+7Tr(H(a;))的置换多项式，其中G〇r)e Fp n[a；]，好⑷€F p»[4 7 E I V，Tr(.)表示 Fp n上的绝对迹函数.随后，Marcos在文献[8]中讨论形式为L(a;)+7/i(Tr(：E))的置换多项式，L为定义在Fp n上的Fp-线性置换，/i〇r)e Fp[a：l, 7 e Fp n.基于对以上形如G(a:) +7M/〇e))的置换多项式 的研究，Kyureghyan間提出由线性转换构造形式为L(a;)+L(7)M/〇e))的置换多项式打办其中L为 定义在Fp n上的Fp m-线性置换，/(幻为定义在Fp«到Fp m的函数，为定义在Fp m到Fp m的函 数，7 £ 为/的一个卜线性转换，n为正整数，且饥丨几.同时，Kyureghyan在文献[9]中给出函数 _F〇r)为Fpn上置换的充要条件，即对于某些适当的6 e Fpm，z+Wi㈦为上的置换.继而，Akbary, Ghioca和W a n g161将Kyureghyan的构造推广到Fp n的任意子集上，而不仅限于其子域上.在这些开创性的工作之后，一些具有上述特定形式的置换多项式被提出.对于这类问题的研宄，主要 通过选取合适的函数f t, /和L,使得为上的置换多项式，或者考虑形式为L〇i〇+7(/〇i〇+<5)s 的多项式，通过选取适当的正整数s以及<5e使其为Fp••上的置换多项式.例如，当p = 3时，文 献[10]中给出了三类具有上述形式的置换多项式.本文主要研宄KyU r e g hy a n[9】给出的置换多项式的形 式：F :x-> L(x)+L{^)h{f{x))(1)通过选择适当的函数/〇r)使尸(3：)为Fpn上的置换.根据K yu regh yan间给出的结论，尸(〇〇在F j^上与S :w4u+6/i(u)在上有相同的置换性质，当b= 0时，g :u— u为Fp m上的置换，此时F(x)为Fp n上的置换.因此，通过找到存在〇-线性转换的/即可得到置换多项式R定义在Fp n到其子域 F p m上的函数能表示成如下迹函数的形式f(x) =T C(P(x))其中 P(a：)e Fpn[;r]且其不唯一 t11].2017 年，Cepak，Charpin及 P a s a l i c I11】讨论了 /(a:)为某些特殊 稀疏多项式的情形及其存在线性转换所需条件.本文主要考虑一类线性化多项式和一类二次齐次多项式 /〇r)，给出其存在线性转换所需满足的条件，并进一步探讨其〇-线性转换的存在性，进而利用/得到形式 为（1)的置换多项式.本文的结构如下：第2节给出一些预备知识；第3节主要讨论两类函数线性转换的存在性；第4节则讨 论第3节中两类函数存在0-线性转换的情况，并构造两类形式为（1)的置换多项式；第5节总结全文.谢茜等：几类基于0-线性转换的置换多项式57 2预备知识本节我们首先给出一些基本概念和相关己知结论.定义1设A:，m，n为正整数且满足n= /cm, /为定义在Fpn到Fpm的函数•令7G F卜，对于给定 的6 €Fpm，若对任意的：T€Fpn,W e Fpm均满足f(x H-u^) -f(x) =ub则称7为/的一个卜线性转换.特别地，当爪=1时，若对于任意的$ €IF，均满足/(a;+7)—/〇r) = 6,则称7为/的一个6■线性结构.定义2设m, n为正整数，m|n，从有限域F pn到F pm的迹函数定义如下：…2m_(n/m—1)mT C(/3) =/3+/3p+0P+…+俨当m= 1时，称其为Fpr«上的绝对迹函数.定义3设f c，m，n为正整数且满足n =fcm，定义Fp n上的F p m-线性函数为f c-iE_tntaiXp, ai e F p>»i=0当L k)为Fpn上的置换时，则称其为Fpr•上的Fpm-线性置换.关于形式如式（1)的多项式的置换性，己有如下结论.定理1 (文献[9]，定理1)设f c，m，n为正整数且满足n =f c m, 1 <m S n,i为Fp”上的F p»>-线 性置换，/为定义在FP"到的函数，"：• !f>，7 G 1F>，^为1F>上的一个固定元.假设7 为/的一个6■线性转换，则尸(x) =L〇r)+L(7)M/(a〇)为1P>上的置换当且仅当9 :u+Wi(u)为Fp>"上的置换.为讨论函数线性转换的存在性，我们先给出线性函数线性结构的存在性.定理2任一定义在Fp，.到F p的线性函数均存在线性结构.证明：设函数/(a〇为定义在Fpn到Fp的线性函数，则任取7e有}{x+7)-f{x) =f(x+7-x) =f(j)又因/(a:)e Fp,则/(7)为F p上的一个固定元，故而，7为/(a：)的/(7)-线性结构. 口3两类函数线性转换的存在性在本节中，我们主要讨论Fp n上两类函数线性转换的存在性.由定义1可知，存在线性转换的函数定 义在Fp»到Fpm上.令/(I) :F p" Fpm，n =fcm,则/(I)可以表不为T r K P(;r))，其中尸⑷为上的多项式，而且此表示不唯一 lu】.文献[11]讨论了 /〇e)为单项式、二项式以及单项式迹函数 的情形.本节主要考虑/〇e)为一类线性化多项式和一类二次齐次多项式的情形.判断一个函数是否存在线性转换，关键在于判断/(a:+u?) -/〇e)是否与a；无关.设c为一常数，注 意到与/(a〇 _c的线性转换存在性保持一致，因此我们不妨假设/(〇) =〇.首先，我们考虑形式为/(a〇 =I：=〇T C(c^p i t)的线性化多项式.根据迹函数性质可知：当幼三i,(m o d m)时，存在4 =a f_S+<I使得T C(c^p S) =T C«a^)成立，因此/⑷可化为项数不超过m项的有限项迹函数求和：T C(at a:pt).定理3设f c,m，n为正整数且满足n =fcm，则函数/(x) =e存在线性转换当且仅当T C(a t7pt) =(M = 1，2,...，m— 1.此时7为/的T C h o r)-线性转换.58Jemma/ 〇/C rypZ oZ o仍•(： /?esearc/i 密码学报 Vol.8，No.1，Feb.2021证明：当/⑷=J：；^1T〇,a:p‘）时，我们有m— 1 m—l/(x + try) -/(x) =[T C(a t(x + ^7)P~〇^tXp ) =^u p T r:(a t7P)t=o«=〇函数/(:r)存在线性转换当且仅当对给定的6及任意的u G Fp m，有^u p T r^(a t7p) =ubt=o即关于变量t/的方程(Tr二(a〇7) -6)u + T r二(a i7p)np H-------h T r^(a m_i7P)up =0在Fpm上有个不同的解.由于方程次数为pm故方程系数均为0,即Tr^(a〇7)=6且T I^(a o pt) =0,Z= 1,2,... ,m- 1.在讨论/〇r)为二次齐次多项式之前，我们先给出如下定义.对任意的 〇S s<pn-2,称 ={s.pi m m o d(pn —l):〇S i$A:-l}为 s关于pm模0"-1 的 分圆陪集.在后文中，我们所提到的分圆陪集均为关于pm模1的分圆陪集.定义非空集合T为：T C{(i t,j t) :Q<i t,1 <t<n2}(2)且满足条件任取（it，j't)，（K) €IT有Cpi,+pjt n c i;+ 4 =0，即pif +V1和+p^不在同一分圆陪 集. P我们接下来讨论形式为E^jtk T Tr；U a t:rpit+0)的二次齐次多项式/(x).定理4设f c，m,n为正整数且满足n= /c m,若函数f(x) =^Tr^(Qt xp t+p J t),Q#G F*n(itJt)eJ存在线性转换，则方程乙（a，+〇广V“心)=〇在上有解.证明•_若/〇c)存在线性转换，设7为/〇c)的一个卜线性转换，则对任意的$ €Fpn，u e Fpm均有f{x4-U7) -f(x) =^T〇“x+i r y)p f+pJ,) -^T r K〇^p'+’）=(itJt)er(ttJt)eT进而我们有T r T(f(x^u^)-f(x))=T v\n I E T r>“x+u7)pit一) -E T C.(a tx沁伸"))\(i t,j t)€T(i t.j t)e T/=^2T r^(af(x+u^i)v，+pJt) -^1^(0^’+")=T r T(ub)谢茜等：几类基于0-线性转换的置换多项式59不妨设函数 p(:r) =)，则 p(x+t r y)—P(工）=Tr7l(打6)，固定 u G Fp m,则 t r y 为函数咖）的TiT(u6)-备4结构.另一方面，由于^(x+7i)~9{x)=Tr?(a,(x+7i)pit+pJt)-E^i(^tXpH+pit)(n Jt)e T(U,jt)eTx p f a t^f i p 1 x pJt+a t7i p *+p J，)n I/ Pn_i t p n~if ^p1X~i t+n v\T r!12_^(a,7i+a,71)x1+E T r?(a dV(i t J t)€T/记多项式A(y) =2_^(Q«y+a,yp)(it ,j t)€T根据上述等式及线性结构的定义，若S〇c)存在线性结构则必存在7i €使得y t(7l) = 〇.因此，若函 数存在线性转换，则g(a〇存在线性结构，继而可得方程== 0在上有解.口4置换多项式的构造在第3节的讨论中，我们给出了一类线性化多项式和一类二次齐次多项式/〇r)存在线性转换的必要 条件.在本节中，我们分别对下面线性多项式和二次齐次多项式/〇e)进行讨论：f(x) =Trm(a t a：pt),f{x) =T C(q(x p <+pJ，)<=〇(*«,J«)G T我们考虑/(a：)存在0-线性转换这一特殊情形，此时S :w4u为Fp m上的置换，利用定理1，我们可以得 到形式为（1)的F(a；)为Fp n上的置换多项式.首先，我们讨论/(〇0是线性化多项式的情形.引理1设f c，m,n为正整数且满足n =f c m，则7 e为函数/(n) =J：；^1T C(ata:p t)的0-线 性转换当且仅当Tr&(a t7pt) = 0, at 6 F>，t=0,1，…，m—1.特别地，当a( 6 时，7为函数/(r c)的0-线性转换当且仅当T i^(7) =0.证明：由定理3即可知7为函数/(a〇的〇-线性转换当且仅当T C(af7p t)=(M = 〇,l,…，m—l.当a t 6 F;m时，有Tr=(a*7P ) =t C(7P ) =t C(7)P则7为函数/(a〇的〇-线性转换当且仅当TriOy) = 0. 口由引理1和定理1，我们可得如下结论.定理5设f c，m，n为正整数且满足n =f c m，L为Fp n上的Fpm-线性置换，/I:Fp m-> F p' /(*) =Z：：^1T C(af x p<).若对任意的整数 0 y <m— 1，满足 T C(a(7p、=0,则F{x) =L(x) +L(-r)h(f(x))为Fp n上的置换.特别地，当a, €时，若T C(7) =0,则F⑷为Fp n上的置换.令定理 5 中1/(3：) =〇;，/i(;r) =(x+<5)s, 6 £ Fp m，/(a:) =TrKa;2 )，则可得如下推论:60Jemma/o/CVypfo/o分2c i?esearc/i 密码学报 Vol.8，No.1,Feb. 2021推论1设A：,s,m,n为正整数且n =A:m,若T r l(7) = 0,则F(x) =x7(Tr^(a:2 ) +S)s,0 <i <n — 1为F2n上的置换.注1在推论1中，当i =0,7 =1,s+1，/为正整数且A:为偶数时，F⑷退化成文献[12]中一类置换.因此，本文从0-线性转换的角度推F了文献|121中的一个结论.例 1 设 m = 4, n =8,s = 173,令 L(x) =x,h(x) = 〇c+(5)173,6e F24,由M a g m a程序计算可知，有61200组不同的元（久7,(5)e F;8x F“x F24使得F(x) =7(T r^(/3x)-h S)173 -h x为F28上的置换.同时，由M a g m a计算可知，满足T C W7pl)=0的（久7,(5)€F&x x F24有612〇〇组，其中使得丁1^07^=：〇的（久7)有3825组.对于二次齐次多项式/〇r)，我们可进行如下讨论.以下我们总是假设集合T由（2)式定义.引理2设f c,m,n为正整数且n =fcm,令函数/(工)=t c(〇^p f+pJt)(UJt)er且力满足力=h—/c <Z t < /c.若对任一 L a t,7e I F^n均满足a t^ypJt +af(7p(#)+ ' =〇,Tr^(at7P) =〇则7为函数/($)的〇-线性转换.特别地，当％ €时，若7G满足T C(71+pm“）=0和 = 一1,则7为函数/(4的〇-线性转换.证明：注意到f(x+u-y) -f(x) =T r^(a t(x+U7)p '+pJ，) -^T r^(a t xp t+pJt)(UJt)er(hJt)eT=[T r^(a t(^7)pJ，x p '-\-a t{u^)p 1x p3t a t{u^)p '^p J t)=^up jtTv^(a n pjtx p i t)+J2(n J t)e r(u,jt)eT+Z ww*T C(Qt7w<)(itJt)eT又 V" =f、进而可将/(x+try) —/(:c)写成5：X：-2p i t T C(a a P，t+pJt)(itdt)eT(itJt)er从而7为/(〇:)的一个0-线性转换当且仅当对任一（均有谢茜等：几类基于0-线性转换的置换多项式61且对任意的U€Fp m有u2p i，T C(a t7pit+p3t)=〇从而由题设条件可知，满足条件的7为函数/(4的〇-线性转换.当A时，方程(3)可化为7 +7 =〇将等式两边分别同时p W t h次幂，即可得= -1.另一方面，我们有T C(a t7pi，+pJ，) =a(T C(71+pmi，f * = 〇即T C(71+pm’*) =〇.□注2对于奇素数p,由文献丨13]可知，存在7 e满足7P 为偶数.-1当且仅当g c d(n,2m Z f)gcd(/c,2!t)在引理2中，当集合T中元素个数为2时，我们有如下推论.推论 2设 it, m,n 为正整数且 n=f c m，7 G1?>，令 /〇r) =TrS(aiip i l+p；h +a2a^2+pj2)，其中e F>，6T，t =1，2.则对任意的U e F p m,/(:r+M7)-/(;c)与a:无关若以下任一条件成立：(i)若p11，V1属于同一分圆陪集且p12,p*72属于同一分圆陪集，且at7P f +^V t (fc-it)r»7P其中 b—A: <=1，2.(i i)若pl l,pi2属于同一分圆陪集且V W2属于同一分圆陪集，且Q l7+〇：2 7=〇其中 6i =a i +m/2,62 =a2+—f c <0 <f c 且 （ai,f e i) = (j i,J.2), (a2,&2) = (i i,i2).(i i i)若，V2属于同一分圆陪集且属于同一分圆陪集，且D a t(fc-i t)m+6tQl7 +〇27 =U其中61 =a i +m L，62 =a2 + m Zi，一f c<Z t <f c且,1 7^2，（a i，6i) =(j i，i2), (£12,62) =(i i，J.2).证明：由引理2可知，/(:r+u7) —/(a〇与;r无关当且仅当T r^(a i x p '(u^)^1 +aix1^' (uj)p 1 +a^xp2(wy)p J2 +aixv 2(uj)p2)(4)与:c无关.由于pH+V1和?/2+f2不属于关于pm模pn—1的同一分圆陪集，即不存在整数一 A: <Z <f c 使得p*>+p J i = (p^ +p«)pim(m〇d pn - 1) (5)我们分以下三种情况讨论：(i)若p'炉1属于同一分圆陪集且P'V2属于同一分圆陪集，则i i 三ji(mod m夂 & 三j'2(mod m)62JoumaZ 〇/CVj/ptoZogic iiesearc/i 密码学报 Vol.8, No.1，Feb. 2021由引理2即可得证.(i i)若p11,V2属于同一分圆陪集且V1,f2属于同一分圆陪集，则存在整数-^ < “，丨2 <f c使得p«2 =pMpll-(m〇d p" _ 1),pJ2 =p^pi^(m〇d p" _ 1)由等式（5)可得h #Z2.此时，上式（4)可化为T C((a l7^+a f-l l)m^k-l'M)X^)+u^T r-m((a n pil +^~，2)m+，2)^')由题设条件既可得证.(i i i)若pi]，f2属于同一分圆陪集且P71，Pi2属于同一分圆陪集，同情形（i i)即可得证. 口由引理2和定理1我们可得如下结论.定理6设/c，m,n为正整数且满足n=/c m, Z/为F p n上的F p m-线性置换，/i : F p m—>•F p m，函数/(x) =^T C(af xp t+pJ<)(itJt)er且力满足灸=0一/c <</c•若对任一t，a t,7G均满足t =0,T C(a i7pi，+i*) =〇1>m+，l>m7^-，a(7p J t +a f-，则 F(x)=L(x) +l(7)/i(/(z))为有限域 F pn上的置换.特别地，当 a f 6 时，若 T r i(71+P—) = 0 和7P*一1 = —1，则厂(3〇为Fpn上的置换.例 2 设 m = 3, n = 6，s=456，令 Z/(:r)=2，7 =1，=(工+占)4。
物理学实验中如何处理非线性关系
物理学实验中如何处理非线性关系在物理学实验中，我们常常会遇到非线性关系。
这些关系通常无法用简单的直线来表示，而需要使用更复杂的曲线或函数来描述。
处理非线性关系，能够帮助我们更准确地理解实验数据，揭示物理规律，拓展科学知识的边界。
本文将介绍一些常用的方法和技巧，以帮助读者在物理学实验中处理非线性关系。
一、线性化方法1.1 对数线性化对数线性化是一种常见且简便的处理非线性关系的方法。
当实验数据呈现出指数关系时，可以尝试取对数来线性化数据。
具体步骤如下：（1）将自变量和因变量取对数，得到新的数据集。
（2）绘制新数据集的散点图。
（3）根据散点图的趋势，拟合一条直线。
（4）将直线所对应的方程转化为指数形式，即为原始非线性关系的表达式。
对数线性化方法的优点在于简单直观，能够帮助我们更好地理解非线性关系。
但需要注意的是，在取对数时要确保数据集中没有小于或等于零的值，否则会引起计算错误。
1.2 多项式拟合多项式拟合是另一种常用的线性化方法。
当实验数据呈现出多项式关系时，可以使用多项式拟合来近似曲线。
具体步骤如下：（1）选择适当的多项式阶数，根据数据集的特征进行多项式拟合。
（2）绘制原始数据集和多项式拟合曲线的图像。
（3）通过对多项式拟合曲线的分析，得到对实验数据的近似描述。
多项式拟合方法的优点在于适用于各种多项式关系，能够较好地描述非线性关系。
然而，需要注意的是，过高的多项式阶数可能导致过拟合问题，而过低的阶数可能无法准确描述数据集。
二、数据转换方法2.1 幂函数转换幂函数转换是一种广泛使用的方法，通过对实验数据进行幂次转换，将非线性关系转化为线性关系。
具体步骤如下：（1）根据实验数据的特征，选择适当的幂次。
（2）对自变量和因变量进行幂函数转换。
（3）将幂函数转换后的数据绘制成散点图，分析散点图的线性趋势。
（4）通过线性拟合得到拟合直线的方程，将其转化为幂函数形式，即为原始非线性关系的表达式。
幂函数转换方法的优点在于可以将一些复杂的非线性关系转化为线性形式，方便进一步分析。
在两个值之间变换的函数
在两个值之间变换的函数全文共四篇示例，供您参考第一篇示例：在计算机科学和数学中，经常会遇到需要在两个值之间进行变换的函数。
这种函数通常用来在两个不同的值之间进行转换、插值或映射，以满足特定的需求。
这些函数在不同的领域中被广泛应用，例如图形学、数据处理、信号处理等。
本文将探讨在两个值之间变换的函数的相关概念、应用和实现方法。
让我们来了解一下在两个值之间变换的函数的概念。
这种函数通常表示为f(x, a, b)，其中x 是输入值，a 和b 分别是两个边界值。
函数f(x, a, b) 的目标是将输入值x 映射到区间[a, b] 中的某个值，实现从一个范围到另一个范围的转换。
将一个数值从[0, 100] 转换到[0, 1]，或者将一个点在屏幕上的坐标转换到另一个方向上的坐标。
在实际应用中，在两个值之间变换的函数通常被用来实现数值的插值和映射。
在图形学中，将一个三维模型的顶点坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系；在数据处理中，将一个采样点的数值从一个范围映射到另一个范围。
这些操作可以帮助我们实现数据的转换和处理，满足不同场景下的需求。
关于在两个值之间变换的函数的应用，可以举出许多实际例子。
在计算机图形学中，线性插值函数常常被用来实现三维模型的变换和动画效果；在数据处理中，sigmoid 函数通常被用来对数据进行归一化和压缩。
这些应用展现了在两个值之间变换的函数在实际工程中的重要性和价值。
如何实现在两个值之间变换的函数呢？通常我们会使用一些数学方法和算法来实现这类函数。
线性插值函数是一种简单而常用的实现方式，通过对两个端点的值进行插值来得到中间的值。
也可以使用更复杂的插值方法，如样条插值、多项式插值等。
对于非一维的情况，还可以使用矩阵变换来实现数据的映射和转换。
在实际工程中，我们需要根据具体情况选择适合的方法来实现在两个值之间变换的函数。
在现实生活中，我们也会遇到许多与在两个值之间变换的函数相关的场景。
当我们调节灯光的亮度时，实际上就是在进行一个亮度值的变换；当我们调节音量时，也涉及到将一个音量值映射到另一个范围。
t sint的拉氏变换
t sint的拉氏变换（原创实用版）目录1.引言2.拉氏变换的定义和性质3.拉氏变换的应用4.结论正文1.引言在信号与系统领域，拉普拉斯变换（Laplace Transform，简称拉氏变换）是一种重要的数学工具，用于分析线性时不变系统。
拉氏变换可以将一个信号从时域转换到频域，从而方便我们观察信号的频率特性。
本文将从拉氏变换的定义和性质入手，介绍其在实际应用中的重要作用。
2.拉氏变换的定义和性质拉氏变换是一种积分变换，用于将一个函数从一个域（如时域）转换到另一个域（如频域）。
拉氏变换的基本公式为：F(s) = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，F(s) 是函数的拉氏变换，f(t) 是原始函数，t 是自变量，s 是变换后的变量。
拉氏变换具有以下性质：1) 时域的线性组合对应频域的乘积：若 f1(t) 和 f2(t) 是两个时域函数，则 (f1(t) + f2(t)) 的拉氏变换等于 F1(s) + F2(s)。
2) 时域的乘积对应频域的卷积：若 f1(t) 和 f2(t) 是两个时域函数，则 (f1(t) * f2(t)) 的拉氏变换等于 F1(s)F2(s)。
3) 指数函数的拉氏变换是简单的：e^(-at) 的拉氏变换为 1/s^2 +a/s。
4) 性质三：时域的微分对应频域的变换：f"(t) 的拉氏变换等于F(s)/s。
3.拉氏变换的应用拉氏变换在信号与系统领域有很多应用，如求解线性时不变系统的稳态响应、分析系统的稳定性等。
下面以求解线性时不变系统的稳态响应为例，介绍拉氏变换的应用。
假设我们有一个线性时不变系统，其输入信号为 u(t)，输出信号为y(t)，系统函数为 G(s)。
根据线性时不变系统的性质，系统的稳态响应可以表示为 y(t) = G(s)u(t)。
为了求解 y(t)，我们需要对 G(s) 和 u(t) 进行拉氏变换，然后将它们的拉氏变换相乘，再对 s 进行逆变换。
工程数据线性转换方案
工程数据线性转换方案一、引言在工程中，数据线性转换是一种常见的操作，它将一组输入数据转换为另一组输出数据，通常通过线性方程来实现。
数据线性转换可以用于多种应用，例如传感器数据的校准、信号处理、仪表读数转换等。
在本文中，将讨论工程数据线性转换方案的原理、方法和实施过程。
二、线性转换的原理在工程中，线性转换通常是通过线性方程来实现的。
线性方程的一般形式为：Y = aX + b其中，Y是输出数据，X是输入数据，a和b分别是线性转换的斜率和截距。
通过调整a和b的数值，可以实现对输入数据的线性转换，从而得到所需的输出数据。
线性转换的原理在数学上非常简单，但在实际应用中可能涉及到一些复杂的工程问题。
首先，需要确定输入数据和输出数据的取值范围，以便确定合适的线性方程。
其次，需要根据具体的应用要求来确定线性转换的斜率和截距。
最后，需要根据具体的实际情况考虑误差补偿、温度校准等问题，以保证线性转换的准确性和稳定性。
三、线性转换的方法1. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的线性转换方法，它通过最小化误差平方和来确定线性方程的参数。
具体来说，最小二乘法可以通过以下步骤来实现：a. 收集一组已知的输入数据和对应的输出数据。
b. 假设线性方程的形式，并确定线性方程的参数。
c. 使用已知的数据来计算线性方程的参数，使得误差平方和最小。
d. 对线性方程进行误差分析，以评估线性转换的准确性和稳定性。
2. 数据拟合法数据拟合法是一种通过曲线拟合来实现线性转换的方法。
它可以通过多项式拟合、曲线拟合等技术来实现线性转换。
数据拟合法通常通过以下步骤来实现：a. 收集一组已知的输入数据和对应的输出数据。
b. 选择合适的拟合函数，并确定拟合函数的参数。
c. 通过已知的数据来计算拟合函数的参数，以实现线性转换。
d. 对拟合函数进行误差分析，以评估线性转换的准确性和稳定性。
3. 系统识别法系统识别法是一种通过系统建模来实现线性转换的方法。
它可以通过数学建模、神经网络模型等技术来实现线性转换。
讲座2 信号变换基础 -- 线性空间及正交变换的基本理论
讲座2 信号变换基础 --- 线性空间及正交变换的基本理论2.1 前言在电子技术、通信工程、自动控制等领域，怎样描述和分析信号，抽取其特征，这对于信号处理是非常重要的。
这个问题的理论基础是高等代数中的线性空间变换问题。
人们知道，三维空间中的向量一般要用它在正交坐标系的三个分量来描述。
但是，如果适当地旋转坐标轴（进行正交变换），使所讨论的向量与其中一个坐标轴重合，而垂直于其它两个坐标轴，那么，向量就可以只用它在该坐标轴上的投影来描述。
对于平面上的向量也可以作类似的处理。
一般信号看起来很复杂，可视为无限维空间的一个向量。
人们很难从这样的向量获知信号的本质，从而也难以对其进行有效的处理。
所以，对信号进行分析就理所当然地涉及坐标系的变换，即从时域变换到频域或相反。
这种变换就是高等代数中的正交变换。
正交变换具有“能量”不变性（即向量长度不变）。
傅里叶变换是信号处理中常用的正交变换。
它有四种基本形式，即 1．连续时间周期函数的傅里叶级数变换 2．连续时间非周期函数的傅里叶变换 3．离散时间非周期函数的序列傅里叶变换4．离散时间周期序列的序列傅里叶级数变换为了使读者从更宽广的角度领会本书的内容，作者认为非常有必要开设本讲座。
本讲座的任务是帮助读者复习一些先修课程的重要内容。
作者将按以下顺序导出正交变换：线性空间 ---〉线性空间的线性变换 ---〉欧几里德空间 ---〉正交变换2.2 空间n K2.2.1 n 元向量空间人们在解析几何中已经知道，三维几何空间在取定三个互相正交的单位向量1e ，2e和3e ，形成一个Descartes直角坐标系后，任一向量与它在各坐标轴上的投影（图2.2.1），即三个有序实数1ξ，2ξ，3ξ 一一对应：T321),,(ξξξ↔x图2.2.1 三维向量这里，x是由行向量),,(321ξξξ转置而成的列向量，”T ”表示转置。
向量的数乘是指T 321),,(ξξξa a a x a ↔向量还有加法运算。