2017年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)专题11.5 几何证明(讲) 含解析

【最新考纲解读】
内容要
求
备注A B C
几何证明选讲相似三角形
的判定与性
质定理
√
对知识的考查要求依次分为了
解、理解、掌握三个层次(在表中
分别用A、B、C表示）。

了解:要求对所列知识的含义有
最基本的认识，并能解决相关的
简单问题.
理解:要求对所列知识有较深刻
的认识，并能解决有一定综合性
的问题.
掌握:要求系统地掌握知识的内
在联系，并能解决综合性较强的
或较为困难的问题.
射影定理√
圆的切线的
判定与性质
定理
√
圆周角定理,
弦切角定理
√
相交弦定理、
割线定理、切
割线定理
√
圆内接四边
形的判定与
√
性质定理
【考点深度剖析】
1。

江苏近几年的高考,几何证明选讲主要考查相似三角形的判定与性质定理、圆的切线的判定与性质定理、圆周角定理、弦切角定理、切割线定理和圆的内接四边形问题等。

2。

平行截割定理是平行线等分线段定理的一般情形，是研究相似形最重要和最基本的理论，其证明体现了化归的思想，把它应用在三角形上就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础.本讲的内容在初中已经通过观察、实验和操作的方法初步了解，这里不仅是对初中知识的深化，更侧重于逻辑推理与抽象思维。

【经典例题精析】
考点1：相似三角形
【1-1】【徐州2015质量检测】如图,F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于G，E两点，EF＝16，GF＝12，则BE的长为________．
【答案】8
【解析】由DF＝AD，AB∥CD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG ＝4，故BE＝8。

【1—2】【2015届高考模拟考试（二）】在△ABC中，点D在线段
BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16,则CD的长为________．【答案】4
【1—3】【2015·扬州调研考试】如图，D，E分别是△ABC的边AB,AC 上的点,DE∥BC且错误!＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是________．
【答案】错误!
【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴错误!＝错误!。

∵错误!＝2,
∴AD
AB＝错误!，∴错误!＝错误!，∴错误!＝错误!。

【1-4】【苏州2015联考】如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D点,BC2＝BD·AB，则∠ACB＝______.
【答案】90°
【解析】在△ABC与△CBD中,由BC2＝BD·AB,
得BC
BD＝错误!,且∠B＝∠B，
所以△ABC∽△CBD。

则∠ACB＝∠CDB＝90°。

【1-5】如图，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE 交BD于F,则BF∶FD等于________．
【答案】错误!
【基础知识】
1．平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线
上截得的线段也相等．
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
推论2：经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
3．相似三角形的判定与性质
（1)判定定理：
（2)
【思想方法】。

1．判定两个三角形相似的常规思路
（1)先找两对对应角相等；
（2）若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；
（3）若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．
2．借助图形判断三角形相似的方法
(1）有平行线的可围绕平行线找相似；
（2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；
（3）有公共边的可将图形旋转，观察其特征,找出相等的角或成比例的对应边．
【温馨提醒】1．判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．
2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．
考点2：直线与圆
【2—1】【2014苏州模拟】如图所示，在四边形ABCP中，线段AP 与BC的延长线交于点D，已知AB＝AC且A,B，C，P四点共圆．
(1）求证：错误!＝错误!；
(2)若AC＝4,求AP·AD的值．
【答案】（1）详见解析（2）16
(2）
因为AB＝AC，所以∠ACB＝∠ABC，又∠ACD＋∠ACB＝180°,所以∠ACD＋∠ABC＝180°.由于∠ABC＋∠APC＝180°,所以∠ACD＝∠APC,又∠CAP＝∠DAC,所以△APC∽△ACD，所以错误!＝
错误!，所以AP·AD＝AC2＝16。

【2—2】(如皋2015模拟考试) 如图，EB,EC是⊙O的两条切线,B，C是切点,A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠BAD等于________．
【答案】99°
【2-3】【2015无锡模拟】如图，PA是⊙O的切线，切点为A，过PA的中点M作割线交⊙O于点B和C，若∠BMP＝110°,∠BPC＝30°,则∠MPB＝________。

【答案】20°
【解析】由切割线定理得，MA2＝MB·MC,又MA＝MP,故MP2＝MB·MC，即错误!＝错误!，又∠BMP＝∠PMC.故△BMP∽△PMC，所以∠MPB＝∠MCP,所以30°＋∠MPB＋∠MCP＝∠AMB＝180°－110°＝70°，所以∠MPB＝20°.
【2—4】如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于点A，点B，且PB＝7，C是圆上一点，使得BC＝5，∠BAC＝∠APB,则AB＝________.
【答案】错误!
【解析】由PA为圆O的切线可得，∠PAB＝∠ACB,又∠BAC＝∠APB，于是△APB∽△CAB,所以错误!＝错误!，而PB＝7，BC＝5，故AB2＝PB·BC＝7×5＝35,
即AB＝35。

【2-5】如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD ∥AC。

过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F。

若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．
【答案】错误!
【基础知识】
1．圆周角定理
(1)圆周角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
(2）圆心角定理
圆心角的度数等于它所对弧的度数．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
2．圆内接四边形的性质与判定定理
（1）性质
定理1:圆内接四边形的对角互补．
定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
(2)判定
判定定理:如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆．
3．圆的切线性质及判定定理
(1）性质：
性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
4．与圆有关的比例线段
（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等．
（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
【思想方法】
1．与圆有关的辅助线的五种作法
（1）有弦，作弦心距．
(2）有直径，作直径所对的圆周角．
(3）有切点，作过切点的半径．
（4)两圆相交,作公共弦．
（5）两圆相切，作公切线．
2．证明四点共圆的常用方法
（1)利用圆内接四边形的判定定理,证明四点组成的四边形的对角互补;
（2）证明它的一个外角等于它的内对角；
(3)证明四点到同一点的距离相等．
当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．
3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．
【温馨提醒】1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系,从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点,常作直径(或半径)或向弦(弧）两端作圆周角或弦切角.。