《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业第二章函数、导数及其应用第十二节

二、填空题 7．已知函数 f(x)＝x3＋ mx2＋(m＋ 6)x＋ 1 既存在极大值又存在极小值， 则实数 m 的
取值范围是 ________． 解析 f′x（)＝3x2＋2mx＋ m＋ 6＝ 0 有两个不等实根， 即Δ＝ 4m2－12×(m＋6)>0.
所以 m>6 或 m<－3.
答案 (－∞，－ 3)∪ (6，＋∞ ) 8． (2014 ·济宁模拟 )若函数 f(x)＝x3－ 6bx＋3b 在(0，1)内有极小值，则实数 b 的取
4 即 a≥3即可．
故正实数 a 的取值范围为 43，＋∞ .
是
A ．(－∞， 0)
1 B. 0，2
()
C．(0，1)
D． (0，＋∞ )
B [f′x（)＝ ln x－ax＋ x 1x－ a ＝ln x－2ax＋ 1，函数 f(x)有两个极值点，即
ln
x－2ax＋1＝0 有两个不同的根
(在正实数集上
)，即函数
ln g(x)＝
x＋ x
1 与函数
y
－ln x ＝2a 在(0，＋∞ )上有两个不同交点．因为 g′x（)＝ x2 ，所以 g(x)在
当 x∈(2， e]时， f′x（)>0，故 f(x)在(2，e]上单调递增，
故 f(x)min＝f(2)＝ln 2－1. 2－ e
又∵ f(1)＝ 0， f(e)＝ e <0.
∴f(x)在区间 [1，e]上的最大值 f(x)max＝ f(1)＝0. 综上可知，函数 f(x)在[1， e]上的最大值是 0，最小值是 ln 2－ 1.
x＞－ 2，f′x（)＞0，那么 y＝xf′x（)过点 (0， 0)及(－2，0)．
当 x＜－ 2 时， x＜0，f′x（)＜0，则 y＞0;
当－ 2＜x＜0 时， x＜ 0， f′x（)＞0，y＜0；
当 x＞0 时， f′x（)＞0，y＞0，故 C 正确． ] 3． (理)(2013 辽·宁高考 )设函数 f(x)满足 x2f′ (x)＋ 2xf(x)＝exx，f(2)＝e82，则 x＞0 时，
课时作业
一、选择题
1． (2012 ·辽宁高考 )函数 y＝ 12x2－ ln x 的单调递减区间为
()
A ．(－ 1， 1]
B． (0，1]
C．[1，＋∞ )
D． (0，＋∞ )
B
[对函数
y＝ 12x2－ ln x 求导，得
y′＝
x－1x＝
x2－ x
1 (
x>0)，
x2－1
令
x
≤0， 解得
x∈ (0，1] ．因此函数
1 (1)当 a＝2时，求 f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
1 (2)若函数 g(x)＝f(x)－ 4x 在[1，e]上为增函数，求正实数 a 的取值范围．
解析 (1)当 a＝12时， f(x)＝2（1－x x）＋ln x，
x－2
f′(x)＝
2
x
，令 f′x（)＝0，得 x＝ 2，
∴当 x∈ [1，2)时， f′x（)<0，故 f(x)在[1， 2)上单调递减；
∴ f（1）＝ 12， 即 a＝12， f′（ 1）＝ 0， 2a＋b＝0.
解得 a＝ 12， b＝－ 1.
(2)由 (1)可知 f( x)＝ 12x2－ln x，其定义域是 (0，＋∞ )，
1 （x＋1）（ x－1）
且 f′x（)＝ x－ x＝
x
.
由 f′x（)<0，得 0<x<1；
由 f′x（)>0，得 x>1.
∵a≠0，∴ 3x2－8x＋ 4＝ 0，∴
2 x＝3或
x＝ 2.
∵a＞0，∴当
x∈
－∞，
2 3
或
x∈(2，＋∞ )时， f′x（)＞0.
∴函数 f(x)的单调递增区间为
－∞，
2 3
和(2，＋∞
);
2 ∵当 x∈ 3，2 时， f′x（)＜0， ∴函数 f(x)的单调递减区间为 23， 2 .
(2)∵当
(0，1)上递增，在 (1，＋∞ )上递减，所以 g(x)max＝g(1)＝1，如图．
若 g(x)与 y＝2a 有两个不同交点，须 0＜ 2a＜1. 即 0＜a＜12，故选 B.] 6．函数 f(x)＝x3－ 3x－1，若对于区间 [－3，2] 上的任意 x1，x2，都有 |f(x1)－ f(x2)| ≤t，则实数 t 的最小值是
(2)∵
1 g(x)＝f(x)－4x＝
1－axx＋
ln
x－
1 4x，
－ax2＋4ax－4
∴g′(x)＝
4ax2
(a>0)，
设 φ(x)＝－ ax2＋4ax－4，
由题意知，只需 φ(x)≥ 0 在[1，e]上恒成立即可满足题意．
∵a>0，函数 φ(x)的图象的对称轴为 x＝2，
∴只需 φ(1)＝ 3a－4≥0，
C [由题意可知 f′x（)＝－ (x－2)＋ bx≤ 0 在(1，＋∞ )上恒成立， 即 b≤x(x－2)在 x
∈(1，＋∞ )上恒成立， 由于 φ(x)＝ x(x－2)＝x2－2x(x∈(1，＋∞ ))的值域是 (－1，＋∞ )，故只要 b≤－ 1
即可．正确选项为 C.]
5. (2013 ·湖北高考 )已知函数 f(x)＝x(ln x－ ax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围
f(x) A ．有极大值，无极小值
()
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值也无极小值
D [令 F(x)＝ x2f(x)，
则
F′x（)＝
x2f
′(x)＋
2xf(
x)
＝
ex x，
F
(2)＝
4·f(2)＝
e2 2.
由 x2f′(x)＋2xf(x)＝exx，
得
x2f′
(
x)
ex ＝ x －2xf(x)＝
所以函数 y＝f(x)的单调减区间是 (0， 1)，
单调增区间是 (1，＋∞ )． 11．(2014 ·兰州调研 )已知实数 a＞0，函数 f(x)＝ax(x－ 2)2(x∈ R)有极大值 32.
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)求实数 a 的值． 解析 (1)f(x)＝ax3－4ax2＋4ax， f′(x)＝3ax2－ 8ax＋4a. 令 f′x（)＝ 0，得 3ax2－8ax＋4a＝0.
的图象与－ f(－ x) 的图象关于原点成中心对称，所以－ x0 是－ f(－ x)的极小值
点．故 D 正确． ]
4．若
f(x)＝－
1 2(
x－
2)2＋
bln
x
在(1，＋∞ )上是减函数，则
b 的取值范围是
()
A ．[－ 1，＋∞ )
B． (－1，＋∞ )
C．(－∞，－ 1]
D． (－∞，－ 1)
值范围是 __________． 解析 f′x（)＝3x2－6b.
当 b≤0 时， f′x（)≥0 恒成立，函数 f(x)无极值． 当 b＞0 时，令 3x2－ 6b＝0 得 x＝ ± 2b.
由函数 f(x)在 (0，1)内有极小值，可得 0＜ 2b＜ 1，
1 ∴0＜b＜2.
1 答案 0，2
9．已知函数 f(x)＝－ 12x2＋ 4x－3ln x 在 [ t，t ＋1] 上不单调，则 t 的取值范围是
()
A ．20
B． 18
C．3
D．0
A [因为 f′x（)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令 f′(x)＝0，得 x＝±1，所以－ 1， 1
为函数的极值点．又 f(－3)＝－ 19， f(－1)＝1，f(1)＝－ 3， f(2) ＝1，所以在区
间[－ 3，2]上 f(x)max＝1，f(x)min＝－ 19.又由题设知在区间 [－3，2]上 f(x)max－f(x)min ≤t，从而 t≥20，所以 t 的最小值是 20.]
又 x＞0，∴ f′x（)≥0.∴f(x)在(0，＋∞ )上单调递增．
∴f(x)既无极大值也无极小值．故选 D.]
3． (文)(2013 福·建高考 )设函数 f(x)的定义域为 R， x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点，以
下结论一定正确的是
A ．? x∈ R，f(x)≤f(x0)
()
B．－ x0 是 f(－x)的极小值点
得 0＜t＜1 或者 2＜t＜ 3.
答案 (0，1)∪(2，3)
三、解答题
10．已知函数
f(x)＝ax2＋bln
x
在
x＝1
处有极值
1 2.
(1)求 a，b 的值；
(2)判断函数 y＝ f( x)的单调性并求出单调区间．
b 解析 (1)∵f′x（)＝2ax＋ x.
又
f(x)在
x＝ 1
处有极值
1 2.
y＝ 12x2－ ln x 的单调递减区间为
(0，1]．故
x>0，
选 B.]
2． (2014 ·荆州市质检 )设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数是 f ′x（)，且函数 f(x)在
x＝－ 2 处取得极小值，则函数 y＝xf′(x)的图象可能是
()
C [f(x)在 x＝－ 2 处取得极小值，即 x＜－ 2，f′x（)＜0;
__________．
解析
由题意知
f′x（)＝－
x＋
4－3x＝
－x2＋4x－3
x
＝－
（
x－
1）（ x
x－ 3）
，由
f′x（)
＝0 得函数 f(x)的两个极值点为 1，3，则只要这两个极值点有一个在区间 (t，t
＋1)内，函数 f(x)在区间 [ t， t＋1]上就不单调，由 t＜1＜t＋1 或者 t＜ 3＜ t＋1，
ex－
2x2f x
（x）
，
ex－ 2F （ x）
∴f′ (x)＝
x3
.
令 φ(x)＝ ex－2F(x)，
则
φ′x（)＝
ex－
2F′x（)＝ex－2xex＝
ex（
x－2） x
.
∴φ(x)在(0， 2)上单调递减，在 (2，＋∞ )上单调递增， ∴φ(x)的最小值为 φ(2)＝e2－ 2F(2)＝0.
∴φ(x)≥0.
C．－ x0 是－ f(x)的极小值点
D．－ x0 是－ f(－x)的极小值点
Hale Waihona Puke D [由函数极大值的概念知 A 错误；因为函数 f(x)的图象与 f(－ x)的图象关于 y
轴对称，所以－ x0 是 f(－x)的极大值点． B 选项错误；因为 f(x)的图象与－ f(x)
的图象关于 x 轴对称，所以 x0 是－ f(x)的极小值点．故 C 选项错误；因为 f(x)
x∈
－∞，
2 3
时， f′x（)＞ 0；
2 当 x∈ 3， 2 时， f ′x（)＜0；
当 x∈(2，＋∞ )时， f ′x（)＞ 0，
∴f(x)在 x＝ 23时取得极大值，
即
2 a·3
23－ 2
2 ＝ 32.
∴a＝27.
12．(2014 ·郑州质量预测 )已知函数 f(x)＝1－axx＋ ln x.