人教版九年级上册数学一元二次方程的根与系数的关系课件
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练习11 如果m，n是两个不相等的实数，且 满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－ mn＋2m＋2015＝___2_0_2_6__．
练习12 若矩形的长和宽是方程2x2-16x+m=0 (0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为____1_6___．
巩固练习
练习13 已知一元二次方程mx2-2mx+m-2=0. (1)若该方程有两个实数根，求m的取值范围；
＋c＝0的一个根，则另一个根为__x_=__-1___．
练 习 6 方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两 个实数根x1，x2满足x12＋x22＝4，则k的值为
____1____．
பைடு நூலகம் 巩固练习
练习7 已知x1,x2是一元二次方程2x2+3x-4＝
0的两个根，试求下列代数式的值：
(1) x12＋x22；
x1 x2 = -15 x1 x2 = -3
1 x1 x2 = 4
巩固练习
4.巩固练习
练习1 不解方程，求下列方程两个根的和与积：
（1） x 2 - 3x = 15
x1 + x2 = 3
（2） 3x 2 + 2 = 1- 4x
x1
+
x2
=
4 3
x1 x2 = -15
1
x1 x2 = 3
巩固练习
练习2 小明和小红一起做作业，在解一道一 元 二 次方程时，由于粗心 ， 在化简时小明写错了 常数项 ， 解得两根为8和2，小红写错了一次项系 数 ， 解 得 两根为-9和-1，若二次项系数是1，你知 道本来的方程是什么吗？
x2 10x 9 0
巩固练习
练习3 已知方程2x2＋4x－3＝0的两根分
别为x1和x2，则x1＋x2的值等于___-_2____．
练习4 设a,b是一元二次方程x2＋x－202X ＝0的两个不相等的实数根,则a2＋2a＋b＝ ___2_0_1_5__．
巩固练习
练习5 已知x＝4是一元二次方程x2－3x
m=-3
巩固练习 练 习 9 已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x＋m2－2 ＝0.试根据下列条件，求m的值．
(1)两根互为相反数； m=-1
1
(2)两根之和等于3； m= 2 (3)两根之积等于1； m= 3
(4)两根的平方和等于8； m=0
(5)两根的和的相反数等于两根之积．m=0
巩固练习
m＞0
(2)设该方程的两个实数根分别为x1，x2，且 |x1-x2|=1,求m的值.
m=8
师生小结
(1)通过本节课的学习，你有哪些收获？ (2)你还有什么疑惑？说给大家听听.
作业布置
必做题：教材第17页第7题. 选做题：若某一元二次方程的两个根 是5,-2，你能求出这个方程吗？
LOGO
练 习 10 已知关于x的一元二次方程x2-(m3)x－m2＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)设这个方程的两个实数根分别为x1，x2 ，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．
m 1, x1 1 2, x2 1 2 或m 5, x1 1 26, x2 1 26
巩固练习
25 4
(2)(x1＋1)(x2＋1)；
-5 2
(3) x1－x2. 41
2
巩固练习
练 习 8 关于x的一元二次方程x2+3x+m-
1=0的两个实数根分别为x1，x2.
(1)求m的取值范围；
Δ≥0，即32－4(m－1)≥0，解得m≤
13 4
(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数 的关系
情境引入
一元二次方程的的根与系数的关 系，常常也称作韦达定理，这是因为 这个定理是16世纪法国杰出的数学家 韦达发现的.聪明的同学们，你能发现 这个定理吗？
自主探究
1.思考：
x2 (x1 x2 )x x1x2 0
x1x2
c a
自主探究
3.典型例题
例4 根据一元二次方程的根与系数的关系， 求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
（1） x 2 - 6x - 15 = 0 x1 + x2 = 6
7 （2）3x 2 + 7x - 9 = 0 x1 + x2 = 3
（3）5x - 1 = 4x 2
5 x1 + x2 = 4
从因式分解法可知,方程(x-x1)(x-x2)=0的两 根为x1和x2,将方程化为x2+px+q=0的情势，你 能看出x1, x2与p,q之间的关系吗？
二次项系数为1的一元二次方程根与系
数的关系：
x1+x2=-p， x1x2=q.
(p为一次项系数,q为常数项)
自主探究
2. 探究
一般地,一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0（a≠0）中, 二次项系数a未必是1，它的两根的和、积与系数分别 有怎样的关系？
(1)试一试.
1
由2x2-3x+1=0，得x1= 1 ，x2= 2 ，
3
- -3
1
于是x1+x2= 2 = 2 , x1x2= 2 .
这说明了什么？
自主探究
(2)对于一般情势为ax2+bx+c=0(a≠0)又有怎样 的关系呢？
结论：方程的两个根x1，x2和系数a,b,c有如下 关系：
x1
x2
b a
练习12 若矩形的长和宽是方程2x2-16x+m=0 (0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为____1_6___．
巩固练习
练习13 已知一元二次方程mx2-2mx+m-2=0. (1)若该方程有两个实数根，求m的取值范围；
＋c＝0的一个根，则另一个根为__x_=__-1___．
练 习 6 方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两 个实数根x1，x2满足x12＋x22＝4，则k的值为
____1____．
பைடு நூலகம் 巩固练习
练习7 已知x1,x2是一元二次方程2x2+3x-4＝
0的两个根，试求下列代数式的值：
(1) x12＋x22；
x1 x2 = -15 x1 x2 = -3
1 x1 x2 = 4
巩固练习
4.巩固练习
练习1 不解方程，求下列方程两个根的和与积：
（1） x 2 - 3x = 15
x1 + x2 = 3
（2） 3x 2 + 2 = 1- 4x
x1
+
x2
=
4 3
x1 x2 = -15
1
x1 x2 = 3
巩固练习
练习2 小明和小红一起做作业，在解一道一 元 二 次方程时，由于粗心 ， 在化简时小明写错了 常数项 ， 解得两根为8和2，小红写错了一次项系 数 ， 解 得 两根为-9和-1，若二次项系数是1，你知 道本来的方程是什么吗？
x2 10x 9 0
巩固练习
练习3 已知方程2x2＋4x－3＝0的两根分
别为x1和x2，则x1＋x2的值等于___-_2____．
练习4 设a,b是一元二次方程x2＋x－202X ＝0的两个不相等的实数根,则a2＋2a＋b＝ ___2_0_1_5__．
巩固练习
练习5 已知x＝4是一元二次方程x2－3x
m=-3
巩固练习 练 习 9 已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x＋m2－2 ＝0.试根据下列条件，求m的值．
(1)两根互为相反数； m=-1
1
(2)两根之和等于3； m= 2 (3)两根之积等于1； m= 3
(4)两根的平方和等于8； m=0
(5)两根的和的相反数等于两根之积．m=0
巩固练习
m＞0
(2)设该方程的两个实数根分别为x1，x2，且 |x1-x2|=1,求m的值.
m=8
师生小结
(1)通过本节课的学习，你有哪些收获？ (2)你还有什么疑惑？说给大家听听.
作业布置
必做题：教材第17页第7题. 选做题：若某一元二次方程的两个根 是5,-2，你能求出这个方程吗？
LOGO
练 习 10 已知关于x的一元二次方程x2-(m3)x－m2＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)设这个方程的两个实数根分别为x1，x2 ，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．
m 1, x1 1 2, x2 1 2 或m 5, x1 1 26, x2 1 26
巩固练习
25 4
(2)(x1＋1)(x2＋1)；
-5 2
(3) x1－x2. 41
2
巩固练习
练 习 8 关于x的一元二次方程x2+3x+m-
1=0的两个实数根分别为x1，x2.
(1)求m的取值范围；
Δ≥0，即32－4(m－1)≥0，解得m≤
13 4
(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数 的关系
情境引入
一元二次方程的的根与系数的关 系，常常也称作韦达定理，这是因为 这个定理是16世纪法国杰出的数学家 韦达发现的.聪明的同学们，你能发现 这个定理吗？
自主探究
1.思考：
x2 (x1 x2 )x x1x2 0
x1x2
c a
自主探究
3.典型例题
例4 根据一元二次方程的根与系数的关系， 求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
（1） x 2 - 6x - 15 = 0 x1 + x2 = 6
7 （2）3x 2 + 7x - 9 = 0 x1 + x2 = 3
（3）5x - 1 = 4x 2
5 x1 + x2 = 4
从因式分解法可知,方程(x-x1)(x-x2)=0的两 根为x1和x2,将方程化为x2+px+q=0的情势，你 能看出x1, x2与p,q之间的关系吗？
二次项系数为1的一元二次方程根与系
数的关系：
x1+x2=-p， x1x2=q.
(p为一次项系数,q为常数项)
自主探究
2. 探究
一般地,一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0（a≠0）中, 二次项系数a未必是1，它的两根的和、积与系数分别 有怎样的关系？
(1)试一试.
1
由2x2-3x+1=0，得x1= 1 ，x2= 2 ，
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1
于是x1+x2= 2 = 2 , x1x2= 2 .
这说明了什么？
自主探究
(2)对于一般情势为ax2+bx+c=0(a≠0)又有怎样 的关系呢？
结论：方程的两个根x1，x2和系数a,b,c有如下 关系：
x1
x2
b a