广东省东莞市高二数学下学期期末试卷 文(B卷)(含解析)

2013-2014学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（文科）（B
卷）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．
1．（2014春•东莞期末）给出如下“三段论”推理：
因为整数是自然数，…大前提
而﹣5是整数，…小前提
所以﹣5是自然数．…结论
则（）
A．这个推理的形式错误B．这个推理的大前提错误
C．这个推理的小前提错误D．这个推理正确
考点：演绎推理的意义．
专题：计算题；推理和证明．
分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．
解答：解：因为大前提是：整数是自然数，不正确，导致结论错误，
所以错误的原因是大前提错误，
故选：B．
点评：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
2．（2014春•东莞期末）若复数z1=a+2i，z2=2﹣4i，且z1•z2为纯虚数，则实数a的值为（）
A． 4 B． 1 C．﹣4 D．﹣1
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：由已知计算z1•z2，利用z1•z2为纯虚数，得到a值．
解答：解：因为复数z1=a+2i，z2=2﹣4i，且z1•z2为纯虚数，
所以z1•z2=（a+2i）（2﹣4i）=（2a+8）+（4﹣4a）i为纯虚数，
所以2a+8=0且4﹣4a≠0，解得a=﹣4；
故选C．
点评：本题考查了复数的运算以及基本概念；正确进行复数的乘法运算是关键．
3．（2008•福建）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（）
A． B． C．或D．
或
考点：余弦定理的应用．
专题：计算题．
分析：通过余弦定理求出cosB的值，进而求出B．
解答：解：∵，
∴根据余弦定理得cosB=，即，
∴，又在△中所以B为．
故选A．
点评：本题考查了余弦定理的应用．注意结果取舍问题，在平时的练习过程中一定要注意此点．
4．（2014春•东莞期末）求S=1+3+5+…+101的程序框图如图所示，其中①应为（）
A．A=101 B．A≥101C．A≤101D．A＞101
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：根据已知中程序的功能是求S=1+3+5+…+101的值，由于满足条件进入循环，每次累加的是A的值，当A≤101应满足条件进入循环，进而得到答案．
解答：解：∵程序的功能是求S=1+3+5+…+101的值，
且在循环体中，S=S+A表示，每次累加的是A的值，
故当A≤101应满足条件进入循环，
A＞101时就不满足条件
故条件为：A≤101
故选C
点评：本题考查的知识点是程序框图，利用当型循环结构进行累加运算时，如果每次累加的值为循环变量值时，一般条件为循环条件小于等于终值．
5．（2014春•东莞期末）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角至多有一个大于60度
C．假设三内角都大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度
考点：反证法与放缩法．
专题：推理和证明．
分析：熟记反证法的步骤，直接填空即可．
解答：解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于60°．
故选：C．
点评：反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．（2013•北京）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）
A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3
考点：不等关系与不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．
解答：解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；
B、1＞﹣2，但是，故B不正确；
C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；
D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．
故选：D．
点评：熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．
7．（2011•广州一模）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为（）
A．B．C．4 D． 10
考点：圆锥曲线的共同特征．
专题：计算题．
分析：求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的定义得到a，最后利用a，b，c的关系即可求出a的值．
解答：解：双曲线方程化为，（1分）
由此得a=2，b=，（3分）
c=，
焦点为（﹣，0），（，0）．（7分）
椭圆中，则a2=b2+c2=9+7=16．（11分）
则a的值为4．
故选C．
点评：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，会求椭圆的标准方程，是一道综合题．本题还考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键．
8．（2015•枣庄校级模拟）下列命题的说法错误的是（）
A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．
B．“x=1是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．
C．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则￢p：∃x0∈R，．
D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题．
考点：特称命题；复合命题的真假；命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：直接写出原命题的逆否命题判断A；
求出一元二次方程x2﹣3x+2=0的解判断B；
直接写出全称命题的否定判断C；
由复合命题的真值表判断D．
解答：解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．选项A正确；
若x=1，则x2﹣3x+2=0．反之，若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2．
∴“x=1是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．选项B正确；
命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0为全称命题，其否定为特称命题，即￢p：∃x0∈R，
．选项C正确；
若p∧q为假命题，则p或q为假命题．选项D错误．
故选：D．
点评：本题考查了命题的真假判断及应用，关键是掌握全称命题及特称命题的否定格式，掌握复合命题的真值表，是中档题．
9．（2014春•东莞期末）有一散点图如图所示，在5个（x，y）数据中去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（）
A．残差平方和变小
B．相关系数r变小
C．相关指数R2变小
D．解释变量x与预报变量y的相关性变弱
考点：回归分析．
专题：概率与统计．
分析：利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和，的变化情况．
解答：解：∵从散点图可分析得出：只有D点偏离直线远，去掉D点，
变量x与变量y的线性相关性变强，
∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，
故选：A
点评：本题考察了利用散点图分析数据，判断变量的相关性问题，属于运用图形解决问题的能力，属于容易出错的题目．
10．（2014春•东莞期末）如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为a n，则
+++…+=（）
A．B．C．D．
考点：归纳推理．
专题：推理和证明．
分析：根据图象的规律可得出通项公式a n，根据数列{}的特点可用列项法求其前n项和的公式，而则+++…+=是前2012项的和，代入前n项
和公式即可得到答案．
解答：解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n﹣3，即a n=3n﹣3，
令
S n=+++…+=++…+=1+…+
﹣=，
∴+++…+=．
故选C．
点评：本题主要考查简单的和清推理，求等差数列的通项公式和用裂项法对数列进行求和问题，同时考查了计算能力，属中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．11．（2009•上海）抛物线y2=x的准线方程为x=﹣．
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题．
分析：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，由此可得抛物线y2=x的准线方程．解答：解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1
∴
∴抛物线y2=x的准线方程为x=﹣
故答案为：x=﹣
点评：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键．12．（2014春•东莞期末）设x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为7 ．
考点：简单线性规划．
专题：数形结合；不等式的解法及应用．
分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
解答：解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得：B（2，1），
化z=3x﹣y为y=3x﹣z，
由图可知，当直线y=3x﹣z过B（2，1）时z有最大值为3×2﹣1=7．
故答案为：7．
点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13．（2014春•东莞期末）若a+2bi=2﹣ai，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|=
．
考点：复数求模．
专题：数系的扩充和复数．
分析：首先利用复数相等得到关于a，b 的方程组，求出a，b，然后求模．
解答：解：因为a+2bi=2﹣ai，其中a，b都是实数，i是虚数单位，
所以，解得a=2，b=﹣1，则a+bi=2﹣i，
则|a+bi|=；
故答案为：
点评：本题考查了复数相等以及求模；如果复数a+bi=c+di，那么a=c并且b=d．
14．（2014春•东莞期末）在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是
．
考点：类比推理．
专题：计算题；推理和证明．
分析：从平面图形到空间图形，同时模型不变．
解答：解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：．
故答案为：．
点评：本题主要考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力．解题的关键是掌握好类比推理的定义．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．
15．（12分）（2014春•东莞期末）已知复数z1=1﹣2i，z2=3+4i，i为虚数单位．
（1）若复数z1+az2对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；
（2）若z=，求z的共轭复数．
考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数的基本概念．
专题：计算题．
分析：（1）化简复数z1+az2为a+bi的形式，求出对应点利用点在第四象限，得到不等式组，即可求实数a的取值范围；
（2）化简复数z=，为a+bi的形式，然后求出它的共轭复数．
解答：解：（1）∵z1=1﹣2i，z2=3+4i，
∴复数z1+az2=（1+3a）+（4a﹣2）i．
由题意可得，，解得a．
（2）
z======
=﹣1﹣i，
=﹣1+i．
点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数对应点的位置，共轭复数的求法，考查计算能力．
16．（12分）（2014春•东莞期末）针对时下的网购热，某单位对“喜欢网购与职工性别是否有关”进行了一次调查，其中男职工有60人，女职工人数是男职工人数的，喜欢网购的
男职工人数是男职工人数的，喜欢网购的女职工人数是女职工人数的．
（1）根据以上数据完成下面的2×2列联表．
喜欢网购不喜欢网购总计
男职工
女职工
总计
（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢网购与职工性别有关系？
参考数据及公式：
P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K2=，其中n=a+b+c+d．
考点：独立性检验的应用．
专题：应用题；概率与统计．
分析：（1）本题是一个简单的数字的运算，根据a，b，c，d的已知和未知的结果，做出空格处的结果．
（2）由已知数据可求得观测值，把求得的观测值同临界值进行比较，看能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢网购与职工性别有关系．
解答：解：（1）依题意，2×2列联表为：
喜欢网购不喜欢网购总计
男职工10 50 60
女职工20 10 30
总计30 60 90QUOTE
…（6分）
（2）由K2==22.5≥10.828，…（10分）
因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为喜欢网购与职工性别有关．…（12分）点评：本题考查独立性检验的列联表．考查假设性判断，解题的过程比较麻烦，但这种问题的解答原理比较简单，是一个送分题目．
17．（14分）（2014春•东莞期末）通过市场调查，得到某产品的资金投入x（万元）与获得的利润y（万元）的数据，如表所示：
资金投入 x 2 3 4 5 6
利润y 2 3 5 7 8
（1）画出表中数据对应的散点图；
（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程=x+；
（3）现投入资金15（万元），估计获得的利润为多少万元？
参考公式：
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：=，==．
考点：回归分析的初步应用．
专题：应用题；概率与统计．
分析：（1）根据所给的五对数据，在坐标系中描出对应的点，画出散点图，可以看出这组数据是线性相关的关系．
（2）作出横标和纵标的平均数，得到样本中心点的坐标，利用最小二乘法作出线性回归方程的系数，得到方程．
（3）把所给的x的值代入线性回归方程，求出y的预报值，得到投入资金15（万元），估计获得的利润为22.6万元．
解答：解：（1）由x、y的数据可得对应的散点图为：…（3分）
（2）由题意，=4，=5，…
b==1.6，…（9分）
∴a=5﹣1.6×4=﹣1.4，即=1.6x﹣1.4．…（11分）
（3）由（2）可得，当x=15，=22.6．…（13分）
∴投入资金15（万元）时，估计获得的利润为22.6万元．…（14分）
点评：本题考查线性回归方程，是一个中档题，本题解题的关键是正确利用最小二乘法来计算线性回归方程的系数．
18．（14分）（2014春•东莞期末）已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1=1，na n+1=2S n（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；
（2）求数列{a n}的通项公式．
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）通过a1=1、na n+1=2S n（n∈N*）直接代入计算即可；
（2）当n＞1时利用na n+1﹣（n﹣1）a n=2S n﹣2S n﹣1可知na n+1=（n+1）a n，进而=，
利用累乘法计算并验证当n=1时亦成立即可．
解答：解：（1）∵a1=1，na n+1=2S n（n∈N*），
∴a2=2S1=2a1=2，
∵2a3=2S2=2（a1+a2）=2（1+2）=6，
∴a3=3，
∵3a4=2S3=2（a1+a2+a3）=2（1+2+3）=12，
∴a4=4；
（2）当n＞1时，由na n+1=2S n得（n﹣1）a n=2S n﹣1，
∴na n+1﹣（n﹣1）a n=2S n﹣2S n﹣1=2a n，
化简得：na n+1=（n+1）a n，
∴=，
∵a2=2，
∴=，
=，
…
=，
以上（n﹣1）个式子相乘得：a n=…×=n，
又a1=1满足上式，
∴a n=n（n∈N*）．
点评：本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（14分）（2014春•东莞期末）已知抛物线y2=2px（p＞0）经过点M（2，4），其焦点为椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，椭圆的离心率e=．
（1）求这两条曲线的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点作抛物线的切线l，求切线l的方程．
考点：抛物线的简单性质．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）利用抛物线y2=2px（p＞0）经过点M（2，4），可得抛物线的方程，即可求出
椭圆的焦点，利用椭圆的离心率e=，求出a，b，即可得出椭圆的方程；
（2）设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y=k（x+2），带入抛物线方程，利用判别式等于0，即可得出结论．
解答：解：（1）∵抛物线y2=2px（p＞0）经过点M（2，4），
∴42=2p×2，解得p=4，…（2分）
∴抛物线的标准方程为y2=8x．…（3分）
∴抛物线的焦点为（2，0），即椭圆的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），即c=2．…（4分）
又∵椭圆的离心率e==，∴a=4，b=2，…（6分）
∴椭圆的标准方程为．…（7分）
（2）由题意知切线l的斜率存在，设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y=k（x+2）．…（8分）
由消去y，得方程k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0．…（10分）
∵l与抛物线相切，∴△=（4k2﹣8）2﹣4k2•4k2=0，∴k=±1，…（12分）
∴切线l的方程为y=x+2或y=﹣x﹣2．…（14分）
点评：本题考查抛物线、椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．（14分）（2014春•东莞期末）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2af（x）（a∈R且a≠0）．（1）若a=1，求函数g（x）在区间[1，2]上的最小值；
（2）若f（x）＜g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）先求出函数g（x）的导数，根据x的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间；
（2）问题转化为1+2a＜在x∈（1，+∞）上恒成立，令h（x）=（x＞1），通过求
导得到函数h（x）的最小值，进而求出a的范围．
解答：解：（1）当a=1时，g（x）=x2﹣2lnx，x∈[1，2]，
∴g′（x）=2x﹣=，
因为x∈[1，2]，所以g′（x）≥0，
所以g（x）在区间[1，2]上单调递增，即x=1时，g（x）min=g（1）=1，
（2）要使得f（x）＜g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，
即lnx＜x2﹣2alnx在x∈（1，+∞）上恒成立，
亦即1+2a＜在x∈（1，+∞）上恒成立，
令h（x）=（x＞1），则h′（x）=，
当x∈（1，）时，2xlnx﹣x＜0，h′（x）＜0，
即h（x）在（1，）上为单调递减函数；
当x∈（，+∞）时，2xlnx﹣x＞0，h′（x）＞0，
即h（x）在（，+∞）上为单调递增函数，
因此h（x）min=h（）=2e，
所以要使得 1+2a＜在x∈（1，+∞）上恒成立，
就有1+2a＜h（x）min=2e，
∴a＜e﹣，
∴a＜e﹣时，f（x）＜g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立．
点评：不同考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．。